安徽省宣城市第二中学2024-2025学年高一上学期第一次调研测试（10月）数学试题

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命题人：桂晓纯 审题人：金丽
分值：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
第I卷（选择题）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.集合用列举法表示为（ ）
A. B. C. D.
2.下列四组中表示同一集合的为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知，则下列结论错误的是（ ）
A.的取值范围为 B.的取值范围为
C.的取值范围为 D.取值范围为
5.若，则这三个集合间的关系是（ ）
A. B.
C. D.
6.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C.或 D.或
7.已知，且，则的最小值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
8.设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意成立，则以下说法正确的是（ ）
A.①②都是真命题 B.①是真命题②是假命题
C.①是假命题②是真命题 D.①②都是假命题
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.已知全集，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
10.已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A.
B.不等式的解集是
C.
D.不等式的解集为
11.，运算“”为，则（ ）
A.
B.
C.
D.若，则
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知命题，若为真命题，则实数的取值范围为__________.
13.“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有__________位.
14.对任意实数，给出下列命题：
①“”是“”的充要条件；
②“”是“”的充分条件；
③“”是“”的必要条件；
④“是无理数”是“是无理数”的充要条件.
其中真命题的序号为__________.
四､解答题
15.已知集合.
（1）当时，求和；
（2）若，求的取值范围.
16.已知数集A含有个元素，定义集合.
（1）若，写出；
（2）写出一个集合A，使得；
（3）当时，是否存在集合A，使得？若存在，写出一个符合条件的集合A；若不存在，说明理由.
17.《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法.
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等.
例如，，求证：.证明：原式.
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值
是多少？
解：，即，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2.请根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）已知，求的值.
（2）若，解关于的方程.
18.某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约21元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）
（1）写出单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
19.设.
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求的最小值；
（3）解关于的不等式.
宜城二中2027届高一第一学期第一次调研测试
数学试卷参考答案：
1.C
【分析】首先解不等式组，再用列举法表示即可.
【详解】由，解得，
所以.
故选：C
2.B
【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可.
【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误；
选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确；
选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误；
选项D：是以0为元素的集合，是数字错误.
故选：B
3.B
【分析】根据充分性和必要性的概念，结合文中含义判断即可.
【详解】由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，反之未必，
所以“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件，
故选：B
4.B
【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案.
【详解】因为，
所以，
所以的取值范围为的取值范围为，故A正确，B错误；
因为
所以，
所以的取值范围为的取值范围为，故C正确，D正确.
故选：B
5.C
【分析】先化简集合，再结合集合的包含关系判断集合间关系即可.
【详解】依题意，，，而偶数，
因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合A中的元素，即
所以.
故选：C.
6.B
【分析】根据和，结合判别式即可求解.
【详解】当时，恒成立，则符合题意；
当时，由题意可得解得.
综上，实数的取值范围是.
故选：B.
7.A
【分析】变形给定的等式，再利用基本不等式求解即得.
【详解】由，得，由，得，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为3.
故选：A
8.A
【分析】对于①，分类讨论和五种情况分别求解即可判断；
对于②，分类讨论为整数和不为整数时原式是否成立，对于不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可.
【详解】对于①：
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，则，不符合题意；
当时，，则，不符合题意；
当时，；
则符合题意，不符合题意；
综上，是单元素集，故①正确.
对于②：
当为整数时，成立；
当不为整数时，设为整数，，
当时，，
此时，成立；
当时，，则，
此时，成立；
当时，，
此时，成立；
综上，对于任意成立，故②正确.
故选：A
【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
9.AC
【分析】根据给定的韦恩图，结合集合运算直接判断即得.
【详解】依题意，图中阴影部分在集合A中，不在集合中，
因此该阴影部分表示的集合为或，A，C正确，BD错误.
故选：AC
10.ABD
【分析】A选项，根据不等式的解集得到；BC选项，转化为和3是关于的方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，求出，解不等式，得到的解集，并得到选项，变形得到的解集即可.
【详解】A选项，关于的不等式的解集为，
，A选项正确；
BC选项，已知和3是关于的方程的两根，
由根与系数的关系得，
则，
不等式，即，解得，B正确；
且，C错误；
D选项，不等式，即，即，
解得或，D正确.
故选：ABD
11.ABCD
【分析】由运算“”的定义分别计算判断A､B､C，用分析法分别从条件和结论出发证明得到D.
【详解】对于，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于，
，
所以，故C正确；
对于D，若，则，
要证，只需要证，即证，
即证，即证，即证，
因为，所以上式成立，所以，故D正确.
故选：ABCD.
12.
【分析】利用分离常数法来求得的取值范围.
【详解】命题，
依题意为真命题，则在区间上恒成立，
，
所以.
故答案为：
13.70
【分析】由题意结合图可知：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有10人，再计算即可得解.
【详解】根据题意使用过“扫码支付”､“共享单车”的人数用图表示如图，
使用过“共享单车”或“扫码支付”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，
则可得：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有人，
又使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，
则使用过“共享单车”的学生人数为，
故答案为：70.
14.③④
【详解】对于①，因为“”时成立，时，不一定成立，所以“”是“”的的充分不必要条件，故①错，对于②，时，时，，所以“”是“”的的既不充分也不必要条件，
故②错，对于③，因为“”时一定有“”成立，所以“”是“”的必要条件，
③正确；对于④“是无理数”是“是无理数”的充要条件，④正确，故答案为③④.
15.（1）
（2）或
【分析】（1）求出集合后根据集合的运算法则计算；
（2）根据集合运算得出集合间包含关系，再由包含关系求参数范围.
【详解】（1）当时，，
因为，
所以；
（2）因为，
所以或，
因为，所以，
因为，
所以或，
得或，
所以的取值范围为或.
16.（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据集合的新定义，写出中元素即可得解；
（2）根据条件分析集合中元素即可得解；
（3）根据题意可得不存在，利用反证法证明即可.
【详解】（1）因为，
所以为中元素，
故.
（2）取，此时，
满足.
（3）当时，不存在集合A，使得.
（反证法）
假设时，存在集合A，使得，
不妨设且
则
所以为中7个不同的元素，
所以，
由解得.
此时，与矛盾，
所以假设不成立，
故不存在这样的集合A.
17.（1）1
（2）
【分析】（1）由题意把代入式中化简计算即可得解；
（2）将代入方程后化简计算即可得解；
【详解】（1）由题意得；
（2）由，
故原方程可化为：，
即：，
，即，解得：；
18.（1）
（2）当施肥量为3千克时，利润最大，最大利润是540元
【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出的最大值.
【详解】（1）由题意可知，，
（2）当时，，对称轴，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以的最大值为，
当时，
，
当，即时取等号，有最大值540元，
因为
所以当施肥量为3千克时，利润最大，最大利润是540元.
19.（1）
（2）4
（3）答案见解析
【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解；
（2）变形为，利用基本不等式求解可得；
（3）整理得，根据二次系数是否为0､相应二次函数开口分析､两根的大小关系分类讨论即可.
【详解】（1）由恒成立得：对一切实数恒成立.
当时，不等式为不合题意；
当时，，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
（2），
，
（当且仅当，即时取等号），的最小值为4.
（3）由得：；
①当时，，解得：，即不等式解集为；
②当时，令，解得：；
1）当，即时，不等式解集为；
2）当，即时，不等式解集为；
3）当，即时，不等式可化为，
不等式解集为；
4）当，即时，不等式解集为；
综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
B
C
B
A
A
AC
ABD
题号
11
答案
ABCD