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    浙江省强基联盟2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷

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    浙江省强基联盟2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷

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    这是一份浙江省强基联盟2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷,共11页。
    浙江强基联盟研究院 命制
    考生注意:
    1.本试卷满分150分,考试时间120分钟。
    2.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。
    一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.在空间直角坐标系中,已知点,,则
    A.B.
    C.D.
    2.直线的倾斜角为
    A.1B.C.D.
    3.已知为一条直线,,为两个不重合的平面,且,则“”是“”的
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    4.在平面直角坐标系中,直线,则直线过
    A.一、二、三象限B.一、二、四象限
    C.二、三、四象限D.一、三、四象限
    5.设复数满足方程,在复平面内对应的点为,则
    A.B.
    C.D.
    6.已知点,平面,其中,则点到平面的距离是
    A.B.C.2D.3
    7.正八面体结构(正八面体每个面都是正三角形)作为一种对称稳定的几何结构,在物质世界中具有广泛的应用.从晶体材料到生物分子,正八面体结构都发挥着重要作用,影响着物质的性质.如六氟化硫(化学式为)分子结构为正八面体结构,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,有良好的绝缘性,在电器工业方面具有广泛用途.则在如图所示的正八面体中,二面角的正弦值为
    A.B.C.D.
    8.已知正三角形的边长为1,在平面内,若向量满足,则的最大值为
    A.B.
    C.2D.3
    二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9.在空间直角坐标系中,已知,,下列结论正确的有
    A.B.
    C.若,且,则D.若且,则
    10.已知曲线,点在曲线上,则下列结论正确的是
    A.曲线有4条对称轴B.的最小值是
    C.曲线围成的图形面积为D.的最大值是1
    11.正方体的棱长为,,分别是,的中点,点在正方体表面上运动,且,记点的轨迹长度为,则下列结论正确的是
    A.
    B.
    C.若平面,且点平面,则的最小值为
    D.若,则
    三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.已知直线,直线,若,则实数的值为________.
    13.已知在直三棱柱中,,,,是的中点,若,则________.
    14.在平面直角坐标系中,已知圆,直线,过上一点作圆的切线,切点为,则的最小值为________.
    四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
    15.(13分)
    已知空间三点,,,以向量,为一组邻边组成平行四边形,
    (1)求点坐标;
    (2)求平行四边形的面积.
    16.(15分)
    如图,在直三棱柱中,底面是等腰三角形,,,,分别是棱,的中点.
    (1)求证:平面;
    (2)求直线与平面所成的角的正弦值.
    17.(15分)
    已知平面直角坐标系中,圆,点,
    (1)若是圆上的动点,线段的中点为,求的轨迹方程;
    (2)以为直径的圆交圆于,两点,求.
    18.(17分)
    如图,三棱锥中,底面是边长为2的等边三角形,.
    (1)若,求三棱锥的外接球的表面积;
    (2)若异面直线和所成角的余弦值为,点是线段(不含端点)上的一个动点,平面与平面的夹角为,求的取值范围.
    19.(17分)
    古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯(Pappus,公元3世纪末)在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题:平面上,到两条已知直线距离的乘积是到第三条直线距离的平方的倍的动点轨迹为二次曲线(在平面上,由二元二次方程所表示的曲线,叫做二次曲线).常数的大小和直线的位置等决定了曲线的形状.为了研究方便,我们设平面内三条给定的直线为,当三条直线中有相交直线时,记,,,动点到直线的距离为,且满足.阅读上述材料,完成下列问题:
    (1)当,时,若,且与的距离为2,点在与之间运动时,求动点的轨迹所围成的面积.
    (2)若是等腰直角三角形,是直角,点在内(包括两边)运动,试探求为何值时,的轨迹是圆?
    (3)若是等腰三角形,,点在内(包括两边)任意运动,当时,问在此等腰三角形对称轴上是否存在一点,使为大于1的定值.若存在,求出点的位置,若不存在,请说明理由.
    浙江强基联盟2024年10月高二联考
    数学卷参考答案与评分标准
    1.A 根据向量减法运算,得,故选A.
    2.C 由方程得直线斜率,所以倾斜角.故选C.
    3.B 若,,则或;若,,则内必存在一条直线平行于,则,则,所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.
    4.D 直线在轴上截距为2,轴上截距为,画出直线,发现直线过一、三、四象限,故选D.
    5.D 由已知,,则由,可得,即,可得.故选D.
    6.C 由题意,,为平面的法向量,,,所以,故选C.
    7.B 取中点,连结,,,由正八面体定义可知,为所求的二面角的平面角,不妨设,则,,在中,由余弦定理,得,所以.故选B.
    8.A 以为坐标原点,为轴建立平面直角坐标系,如图,设,则,,所以,满足的点坐标满足:,即在以为圆心,1为半径的圆上,当,,三点共线,且在如图所示位置时,最大,由余弦定理,得,所以.故选A.
    9.BC 因为,,所以,,所以错误;因为,所以正确,若,且,则,则,所以正确,若且,因为,所以,所以错误.故选BC.
    10.ACD 当,时,原方程化为,是圆心为,半径为的圆在第一象限的部分,又由于图象关于轴,轴对称,所以曲线如图所示.对于,由图可知正确,四条对称轴分别是轴,轴,,;对于,表示曲线上的点到直线:的距离的倍,如图,显然当是时,距离最小,为,所以最小值为,故B错误;对于C,曲线围成的图形由四个直径为的半圆和一个边长为的正方形组成,故面积为,故正确;对于,设表示点与点确定的直线的斜率,设该直线方程为,根据图象,可知当,,即,则圆心为,半径为的圆在第四象限的部分与直线相切时,该切线的斜率是的最大值,则由,得,解得或(舍).则的最大值为1.故D正确.故选ACD.
    11.AD 对于选项A、B,等于以为球心,1为半径的球与正方体表面的交线总长,所以,故选项正确;等于以为球心,为半径的球与正方体表面的交线总长,由于,所以球与过的三个正方体表面没有交线,与另外三个面的交线长为,故选项B错误;对于选项,如图,取的中点H,的中点,易知平面平面,则当点平面时,平面,又点平面,所以点的轨迹是线段,则当时,最小,此时,即的最小值为,故选项C错误;对于选项D,因为,所以点与点,,共面,从而点的轨迹为平面与正方体表面的交线,根据面面平行的性质定理,画出交线如图,所以的轨迹为等腰梯形(如图),故轨迹总长,故选项正确.故选AD.

    12. 因为,所以两直线的斜率之积为,即,所以.
    13. 以为坐标原点,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,设,则由题意:,,,则,,,解得,即.
    14.3 由题意,圆的半径,根据向量数量积的几何意义,得
    .所以只要最小即可,当时,,所以的最小值为.
    15.解:(1)设,则,,,
    由平行四边形法则:,3分
    所以,,,即点坐标为.6分
    (2)由题意,,,,所以.10分
    所以.13分
    16.(1)证明:如图,建立空间直角坐标系,不妨设,
    则,,,,.2分
    则,,.
    设平面的一个法向量,
    则可取,5分
    所以.所以,平面.
    又平面,所以平面(其他方法,按步给分).7分
    (2)解:由题意,,,.所以,,
    设平面的一个法向量为,
    则可取,9分
    又,设直线与平面所成的角为,则,
    所以直线与平面所成的角的正弦值为.15分
    (其他方法,按步给分)
    17.解:(1)设,,则3分
    所以代入圆,得,
    化简得,即为的轨迹方程.7分
    (2)由题意,以为直径的圆的方程为:,即.
    由得直线的方程:.11分
    圆心到直线的距离,,
    ,,
    所以.15分
    18.解:(1)当时,,,两两垂直,可将其补成正方体,正方体的体对角线即为外接球的直径.所以三棱锥的外接球直径为:,
    两边平方得,所以.4分
    (2)如图,取中点,由题意,,,设,,,.
    则,,,因为,所成角的余弦值为,
    所以,
    得.7分
    又,,,
    解得或(舍去).所以,此时,
    这样,可以以,,分别为,,轴正方向,建立空间直角坐标系(如图).10分
    则,,,,设,
    因为点,所以设,
    ,,所以.
    所以得.
    因为,,设平面的一个法向量,
    则取,13分
    又,,
    同理可求得平面的一个法向量为.14分
    因为平面与平面的夹角为,
    所以,
    设,,,则,
    记,,显然在上单调递增,
    所以,当时,,所以.
    即的取值范围是.17分
    19.解:(1)以为轴,为轴,建立平面直角坐标系,,设,
    因为在,之间,所以,,,
    由定义得,所以,化简得,表示以为圆心,1为半径的圆.
    所以动点的轨迹围成的图形面积.4分
    (2)以为坐标原点,为轴,为轴,建立平面直角坐标系.
    设,点,则,,,,
    代入坐标得:.6分
    化简整理:①
    当时,方程①没有项,此时方程①为:.
    即,此方程表示圆心为,半径为的圆,
    所以当时,的轨迹是圆.9分
    (3)以为坐标原点,的角平分线为轴,建立平面直角坐标系,
    设,,,点,
    先求点的轨迹方程:由,因为在内部,所以,得.
    同理:,又.
    由题意,当时,得.
    化简整理得:.②13分
    假设存在点,满足条件,则③
    由②得:.
    代入③得.
    要使此式为定值,则,化简得,
    故存在点,即点为与的角平分线的交点,即点为中点,
    此时.17分

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