湖南省永州市第四中学2025届高三上学期第二次模拟考试数学试卷

这是一份湖南省永州市第四中学2025届高三上学期第二次模拟考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．已知是平面上一点，，且四边形为平行四边形，则( )
A．B．
C．D．
3．已知i为虚数单位，则复数（ ）
A．－2B．2C．D．2i
4．已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的图象的对称轴可以为（ ）．
A．B．
C．D．
5．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数，画在同一坐标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为( )
A．B．
C．D．
6．在中，边上的高等于，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知向量，向量的模长均为2，且.若向量，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．的一个必要不充分条件是
B．若集合中只有一个元素，则
C．已知，，则p的否定对应的x的集合为
D．向量的夹角为钝角的充要条件是“x0时g(x)图像的形状，根据g(x)图像的单调性和切线斜率变化即可判断其导数的图像．
【详解】根据f(x)和g(x)的解析式可知f(x)和g(x)均为偶函数，图像关于y轴对称，
当x>0时，，
设y，则，∴此时f(x)对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆，
∴x>0时，g(x)对应题干中的图像在第四象限的部分，
∵该部分图像单调递增，故的值恒为正，即图像始终在x轴上方，故排除选项BC；且该部分图像的切线斜率先减小后增大，故的值先减小后增大，由此对应的只有A图像满足．
故选：A．
6．D
【分析】作出图形，利用直角三角形边角关系求出，再利用诱导公式及和角的余弦公式计算得解.
【详解】令的内角所对边为，过作于，则，

在直角中，，，则，从而，
在直角中，，
从而，，在中，，
所以.
故选：D
7．C
【分析】由题意首先得，然后，结合约束条件可得，进一步利用三角换元、三角函数性质以及三角恒等变换即可求解.
【详解】因为向量，向量的模长均为2，且，所以，
解得，
不妨设，
所以，
因为，
所以，整理得，
设，
所以
，其中，
所以，等号成立当且仅当，
综上所述，的最大值是.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：关键在于适当转换约束条件得出，结合向量的模长公式即可求解.
8．B
【分析】求导分析的图象可得，再设切点坐标为，由题可得有三根，再构造函数求导分析图象单调性与最值即可
【详解】由，，故当时，，单调递减，且；当时，，单调递增，结合图象易得，过点至多有3条直线与函数的图像相切，故.

此时，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将代入得，存在三条切线即函数有三个不同的根，又，易得在上，，单调递增；在和上，，单调递减，画出图象可得当，即时符合题意

故选：B
【点睛】本题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定根的个数与参数取值范围的问题，属于难题
9．AC
【分析】由充分条件，必要条件的定义即可判断A，分与讨论，即可判断B，由命题的否定即可判断C，由平面向量的坐标运算即可判断D
【详解】对于A，因为由，得成立，即成立，反之不成立，
故“”是“”的一个必要不充分条件，故A正确；
对于B，若集合中只有一个元素，
当时，，符合题意，故B不正确；
对于C，已知，，即，，
故对应的x的集合为，故C正确；
对于D，若向量的夹角为钝角，
则且与不反向共线，
即且，解得且，故D错误；
故选：AC
10．BC
【分析】设，用x表示相应的长度和面积，根据基本不等式的性质，结合图形折叠的性质，结合对勾函数的性质逐一判断即可.
【详解】对于选项A：设，则，
因为，所以．
矩形的面积，
因为，所以无最大值．故A错．
对于选项B：根据图形折叠可知与全等，
所以周长为．故B正确．
对于选项C：设，则，有，
即，得，
，
当时，取最大值．故C正确．
对于选项D：因为，
可知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当，当时函数有最小值，无最大值．故D错误．
故选：BC．
11．AC
【分析】根据函数的奇偶性结合已知得出对称中心判断A,计算得出周期判断B,应用周期性求函数值判断C,反证法判断D.
【详解】对于A，根据题意由可得；又为奇函数，
联立，两式相加可得，因此的图象关于点对称，即A正确；
对于B，由A选项可知，又为偶函数，所以，可得，
即，所以，即是以8为周期的周期函数，可知B错误；
对于C，易知，由可得，又，所以；
所以，即C正确；
对于D，假设存在，使得对，都有，由可得，
可得；因此，又，
即的函数值不唯一，构不成函数关系，假设不成立，即D错误.
故选：AC.
12．1
【分析】根据指数式与对数式的互化，以及换底公式，对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，所以，，
因此．
故答案为：1．
13．
【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论求出的关系，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】在中，点为重心，则，
而点共线，则，
因此，当且仅当时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：
14．
【分析】以为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得，解不等式结合题意得，由此可得答案.
【详解】因为恒成立，
即恒成立，
若存在实数，使得上式成立，则，
则，
可得，可得，
解得，
由，
则取得最大值时，
此时.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以为变量，转化为存在性问题分析求解.
15．(1)
(2)
【分析】（1）表达出，平方后，结合数量积运算法则计算出，求出的长为；
（2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案.
【详解】（1）设，，，由题意知：，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即的长为，
（2）∵，
∴，
∴，
，
∴，
即与夹角的余弦值为．
16．(1)
(2)
【分析】（1）由，代入已知等式，利用正弦定理和余弦定理角化边，可求的值；
（2）已知条件结合三角形面积公式化简求出，由正弦定理结合两角和与差的正弦公式得，由，得，可求周长的取值范围．
【详解】（1）∵，
由正弦定理可得：，
由余弦定理知：，，
可得，
则有，由，解得.
（2）
中由余弦定理知，又在中有，
∴，化简得，
∵，∴.
又，由正弦定理得：，，
，
因在中，，，，
所以，当时，等号成立，
∴周长的取值范围是．
17．(1)的极大值为,的极小值为．
(2),．
【分析】（1）求出函数的导数，进而可得函数单调性，根据导数与极值的关系，即可求得答案；
（2）将化为，由此令，则，则原问题转化为在上单调递增，继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解．
【详解】（1）当时，，定义域为，
则，
令f′x>0，则或；令f′x