陕西省西安市铁一中学曲江校区2024-2025学年上学期八年级第一次月考数学试题（解析版）

这是一份陕西省西安市铁一中学曲江校区2024-2025学年上学期八年级第一次月考数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1. 实数9的算术平方根是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的定义，明白“一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，0的算术平方根是0”是解题的关键．
解：实数9的算术平方根，
故选：C．
2. 若点P的坐标为，则点P在（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系各象限点的坐标特点即可求解，熟知四个象限点的坐标的符号特点是解题关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
解：点的坐标为，则点在第二象限．
故选：B
3. 已知是的三边，下列条件中，能够判断为直角三角形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，根据三角形内角和为180度，求出中最大的内角的度数即可判断A、B；若三角形中，两较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断C、D．
解：A、∵，，
∴最大角，
∴不是直角三角形，不符合题意；
B、∵，，
∴，
∴
∴不是直角三角形，不符合题意；
C、∵，
∴不妨设a=2k，b=2k，c=3kk>0，
∵，
∴不是直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴是直角三角形，符合题意；
故选：D．
4. 下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的相关运算，掌握相关运算法则是解题关键．
解：不说同类二次根式，不能相加，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选：C
5. 如图，在某一时刻，一艘货轮与导航灯相距10千米，我们用有序数对（北偏东，）来描述货轮相对于导航灯的位置，那么导航灯相对于货轮的位置可描述为（）
A. （北偏东，）B. （南偏东，）
C. （北偏西，）D. （南偏西，）
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了方位角表示位置，根据北偏东与南偏西相对，且二者的距离和对应的角度不变即可得到答案．
解：∵用有序数对（北偏东，）来描述货轮相对于导航灯的位置，
∴导航灯相对于货轮的位置可描述为（南偏西，），
故选：D．
6. 下列说法中，正确的是（）
A. 带根号的数一定是无理数B. 两个无理数的和一定是无理数
C. 一个正数有两个平方根且互为相反数D. 数轴上的点表示的都是有理数
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的定义，平方根的概念，实数与数轴，根据无理数的定义可判断A；根据实数的运算法则可判断B；根据平方根的概念可判断C；根据实数与数轴一一对应可判断D．
解：A、带根号的数不一定是无理数，例如是有理数，原说法错误，不符合题意；
B、两个无理数的和不一定是无理数，例如是有理数，原说法错误，不符合题意；
C、一个正数有两个平方根且互为相反数，原说法正确，符合题意；
D、数轴上的点表示的都是实数，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
7. 如图所示，，，若数轴上点所表示的数为，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图示，可得：点A是以B为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可．
解：由勾股定理得：，
∴，
∴点A是以B为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴和实数及勾股定理，能求出的长是解此题的关键．
8. 如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（ ）
A. 3B. 2+2C. D. 4
【答案】C
【解析】
解：如图展开：
过A作于E，连接AB，则AB长为最短距离，
四边形DFGC正方形，DC=BC=2，
，
,
,
,
,
,
在中，,,EA=1，
由勾股定理得：
故选C．
9. 已知实数满足，那么的值为（）
A. 1B. 2023C. 2024D. 2025
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，实数的性质，代数式求值，根据被开方数要大于等于0得到，据此化简绝对值推出，进而得到，据此代值计算即可．
解：∵式子有意义，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
10. 如图，中，，，，点为中点，交于点，则的长度为（）
A. 6B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，延长到F，使得，连接，可证明得到，则可证明得到，再证明，得到，设，则，在中，由勾股定理得，即，解方程即可得到答案．
解：如图所示，延长到F，使得，连接，
∵点为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11. 的相反数是__________．
【答案】-
【解析】
【分析】只有符号不同的两个数，我们称这两个数互为相反数．
解：的相反数为－．
故答案为：-．
【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，属于基础题型．解决这个问题只要明确相反数的定义即可．
12. 比较大小：______（填“或”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，实数的大小比较，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 已知，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据完全平方公式把所求式子变形为，据此代值计算即可．
解：∵，
∴
，
故答案为：．
14. 已知等腰三角形的两边分别为6和4，则这个等腰三角形腰上的高是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，构成三角形条件，分当腰长为6时，当腰长为4时，两种情况确定三角形的三边长，根据构成三角形的条件确定是否能构成三角形，利用三线合一定理求出的长，进而利用勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的长即可得到答案．
解：如图所示，在中，分别是高，
当腰长为6时，则该三角形的三边长为6，6，4，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴这个等腰三角形腰上的高是；
当腰长为4时，则该三角形的三边长为4，4，6，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴这个等腰三角形腰上的高是；
综上所述，这个等腰三角形腰上的高是或，
故答案为：或．
15. 实数、在数轴上的位置如图所示，则化简结果为__________．
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴推出，，再化简绝对值和计算算术平方根，最后合并同类项即可得到答案．
解；由数轴可知，
∴，
∴
，
故答案为：0．
16. 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质，设这4个全等直角三角形的短边为x，则，则由勾股定理可得，；构造如解析图，，设，则，同理由勾股定理可得，，故求的最小值相当于求的最小值，则当M、P、G三点共线时，最小，即此时最小，据此利用勾股定理的长即可．
解：设这4个全等直角三角形的短边为x，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
如下图所示，，
设，则，
同理由勾股定理可得，，
故求的最小值相当于求的最小值，
∴当M、P、G三点共线时，最小，即此时最小，
过点M作交延长线于Q，则，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，
∴的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，计72分）
17. 求下列各式中的值：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求平方根的方法和求立方根的方法解方程：
（1）先把常数项移到方程右边，再把未知数的系数化为1，最后把方程两边同时开平方即可得到答案；
（2）把方程两边同时开立方后解方程即可．
【小问1】
解：∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
18. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）0（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是：
（1）根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的加减即可；
（2）先计算二次根式的乘除、同时根据二次根式的性质化简，然后合并即可；
（3）先根据二次根式的除法法则化简，然后计算二次根式的加减即可；
（4）先根据完全平方公式、平方差公式展开，然后合并即可．
【小问1】
解：
；
【小问2】
解：
；
【小问3】
解：
；
【小问4】
解：
．
19. 如图，假定我们学校南门口的坐标为，4号楼所在位置的坐标为．
（1）请你根据题目条件，画出平面直角坐标系；
（2）写出1号楼、2号楼、3号楼、操场所在位置的坐标．
【答案】（1）见解析（2）1号楼的坐标为，2号楼的坐标为，3号楼的坐标为，操场的坐标为
【解析】
【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置：
（1）根据南门口和4号楼的坐标确定坐标轴的位置并建立坐标系即可；
（2）根据（1）所求写出对应位置的坐标即可．
【小问1】
解：如图所示平面直角坐标系即为所求；
【小问2】
解；由坐标系可知，1号楼的坐标为，2号楼的坐标为，3号楼的坐标为，操场的坐标为．
20. 如图，内部有一点D，且．
（1）判断的形状；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）直角三角形
（2）24
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理的计算是解题的关键：
（1）根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证得；
（2）根据求面积．
【小问1】
∵.
在中，根据勾股定理得：
则，
∵
∴
则是直角三角形；
【小问2】
则四边形面积为24．
21. 如图，小明为了测得学校旗杆的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面点，此时，点到杆底点距离，他又将旗绳拉直到杆底部点，此时，绳子多出一截，量得多出部分长度为，请你帮他计算出旗杆的高度．
【答案】旗杆的高度为米．
【解析】
【分析】此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，根据题意列出已知条件，再根据勾股定理求得旗杆的高度，从实际问题中整理出直角三角形模型是解题的关键．
解：设旗杆的高度为米，则，
在中，由勾股定理可得：
，
整理得：，
解得：，
答：旗杆的高度为米．
22. 已知的平方根是，是的立方根，是的整数部分．
（1）求的值；
（2）若是的小数部分，求的平方根．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据平方根，立方根的定义，估算求出的，，的值，代入计算即可得出答案；
（）先得出的值，即可得出结果；
本题考查了平方根，立方根概念，熟练掌握平方根，立方根概念及运算是解题的关键．
【小问1】
∵的平方根是，
∴，
∵是的立方根，
∴，
∵是的整数部分，而，
∴，
∴；
【小问2】
由（）可知，的整数部分是，
∵是的小数部分，
∴，
∴，
∴平方根是．
23阅读下面问题：
；
；
．
（1）求的值；
（2）计算：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分母有理化：
（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）先根据分母有理化方法推出，据此把所求式子裂项并计算求解即可．
【小问1】
解：；
【小问2】
解：
，
∴
．
24. 问题：如图1，等腰直角三角形中，，、为边上的两点，，线段、和之间有怎样的数量关系？
小涵同学的思路是：如图2所示，将沿着折叠得，连接，利用图形折叠与全等三角形的知识可使问题得到解决．请你参考小涵同学的思路，探究并解决以下问题：
（1）直接写出上面问题中，线段、和之间的数量关系．
（2）如图3，当点在延长线上时，线段、和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
（3）如图4，在图3的基础上，是上一点，，若，，，试求的长．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先由等腰直角三角形的性质得到，再由折叠的性质得到，则，再证明，进而证明得到，则，在中，由勾股定理得，即；
（2）如图所示，作且使得，连接，证明，得到；再证明，进而证明，得到，再证明，则在中，由勾股定理得，即；
（3）如图所示，过点A作于M，连接，则，设，则，，证明，得到，则，即，即可建立方程，解方程得到或（此时，舍去），则，即可得到．
【小问1】
解： ∵等腰直角三角形中，，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，即；
【小问2】
解：，证明如下：
如图所示，作且使得，连接，
∵，，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
【小问3】
解：如图所示，过点A作于M，连接，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据乘法计算法则可知，当两个数的乘积为0时，那么两个乘数中最少有一个为0，
∴或，
∴或（此时，舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．