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初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）4.2 整式的加减课文内容ppt课件
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这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）4.2 整式的加减课文内容ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了8n5n，xy-3xy，abc，x2y，6x+1，去括号化简整式，–73y–4，去括号法则，–3a–7b，–9a2+5a–4等内容，欢迎下载使用。
在西宁到拉萨路段，列车在冻土地段的行驶速度是100 km/h，在非冻土地段的行驶速度是120 km/h，列车通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的2.1倍 ，如果通过冻土地段需要t h，你能用含t的式子表示这段铁路的全长吗？
如果有一罐硬币(分别为一角、五角、一元的)，你会如何去数呢?
1. 理解同类项的概念，会判断同类项.
2. 理解合并同类项的法则，会进行合并同类项.
3. 能在合并同类项的基础上进行化简、求值运算.
有八只小白兔，每只身上都标有一个单项式，你能根据这些单项式的特征将这些小白兔分到不同的房间里吗？（用几个房间都可以）
3ab2 -ab2
-7a2b 2a2b
我们把具有以上两个特征的单项式称为同类项.
2. 相同字母指数也相同.
所有的常数项也看做同类项.
先判断每一组是否是同类项，不是的，为前者配一个.
（1）同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，与 字母在单项式中的排列顺序无关；（2）抓住“两个相同”，一是所含的字母要完全相同， 二是相同字母的指数要相同，这两个条件缺一不可.
（3）不要忘记几个单独的数也是同类项.
（2）如果2a2bn+1与-4amb3是同类项，则m= ，n= .
例1（1）在6xy-3x2-4x2y-5yx2+x2中没有同类项的项是 .
分析：根据同类项的定义，可知a的指数相同，b的指数也相同，即m=2，n+1=3.
同类项概念的识别及应用
1．下列各组中的两个单项式是同类项的是（ ） A．3x与x2 B．3m2n与3mn2 C. abc与－abc D．2与x2． 已知x|m|y3与－ynx4是同类项，则m＝______，n＝____．3． 若－x2my与 ynmx是同类项，则－2m＋n＝____．
周末，小明一家要外出游玩，爸爸、妈妈和小明各自选了他们要吃的东西：
买的时候，小明怎么说？
2个汉堡+1个汉堡+1个汉堡= 个汉堡
2个草莓+3个草莓+3个草莓= 个草莓
2.合并同类项的法则：
同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母同它的指数不变.
1.把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.
3 ab²+ 5 ab²= 8 ab²
下列合并同类项合并对了吗？不对的，说明理由.
（1）a+a=2a（2）3a+2b=5ab（3）5y2-3y2=2
（4）4x2y-5xy2=-x2y（5）3x2+2x3=5x5（6）a+a-5a=-3a
注：（2）（4）（5）中的单项式不是同类项，不能合并. （3）是同类项，但合并结果不对.
用不同的标记把同类项标出来!
4. 合并同类项： （1）6x＋2x2－3x＋x2＋1； （2） －3ab＋7－2a2－9ab－3.
解：（1）原式=(6x－3x)＋(2x2＋x2)＋1 =3x＋3x2＋1
（2）原式=(－3ab－9ab)－2a2＋(7－3) =－12ab－2a2＋4
“合并同类项”的方法： 一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出； 二移，利用加法的交换律、结合律，将不同类的同类项集中到不同的括号内； 三并，将同一括号内的同类项相加即可.
分析：在多项式求值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再代入求值，这样可以简化计算.
5.当x=2019时，求多项式x4-5x2+2x3-x4+5x2-2x3+2x-1的值.
解： x4-5x2+2x3-x4+5x2-2x3+2x-1 = (x4-x4)+(-5x2+5x2)+(2x3-2x3)+2x-1 = 2x-1 当x=2019时，原式=2×2019-1=4037.
例5 一天，王村的小明奶奶提着一篮子土豆去换苹果，双方商定的结果是：1千克土豆换0.5千克苹果. 当称完带篮子的土豆重量后，摊主对小明奶奶说：“别称篮子的重量了，称苹果时也带篮子称，这样既省事又互不吃亏.”你认为摊主的话有道理吗？请你用所学的有关数学知识加以判定.
解：设土豆重a千克，篮子重b千克，则应换苹果0.5a千克.若不称篮子，则实换苹果为0.5a＋0.5b－b＝(0.5a－0.5b)千克，很明显小明奶奶少得苹果0.5b千克. 所以摊主说得没有道理，这样做小明奶奶吃亏了.
利用合并同类项解答实际问题
6.为建立“图书角”，七年级一班的各组同学踊跃捐书，其中一组捐x本书，二组捐的书是一组的2倍还多2本，三组捐的书是一组的3倍少1本，则三个小组共捐书________本.
解析：由题意知，二组捐了(2x+2)本，三组捐了(3x-1)本，所以三个小组共捐书为x+2x+2+3x-1=(6x+1)（本）.
2. 计算3x2﹣x2的结果是（ ）. A．2B．2x2C．2x D．4x2
2. 下列运算中正确的是（ ）. A．3a2-2a2=a2 B．3a2-2a2=1 C．3x2-x2=3 D．3x2-x=2x
3．如果5x2y与xmyn是同类项，那么m =____，n =____． 4．合并同类项： （1）-a-a-2a=________； （2）-xy-5xy+6yx=______； （3）0.8ab2-a2b+0.2ab2=_______； （4）3a2b-4ab2-4+5a2b+2ab2+7=___________．
8a2b-2ab2+3
5. 三角形的三边长分别为 ，则这个三角形的周长为 . 当 时，周长为 cm.
求多项式4x2+2xy+9y2-2x2-3xy+y2的值，其中x=2，y=1.解：4x2+2xy+9y2-2x2-3xy+y2 =(4-2)x2+(2-3)xy+(9+1)y2 =2x2-xy+10y2. 当x=2，y=1时, 原式=2×22-2×1+10×12=8-2+10=16.
解：(2x3-3x2y-2xy2)-(x3-2xy2+y3)+(-x3+3x2y-y3) =2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y3-x3+3x2y-y3 =-2y3=-2×(-1)3=2.因为化简的结果中不含x，所以原式的值与x值无关.
一找、二移、三并、四计算
小明在求多项式6a–5b与多项式8a–4b的差时，列出算式(6a–5b)–(8a–4b). 但小明想：这种含括号的式子该如何计算呢？
1. 理解去括号法则.
2. 会利用去括号法则将整式化简.
两种方法，一种是先计算括号内的部分，再相乘；另一种是利用乘法分配律运算.
计算: ，你有几种方法？
（1）3(x+8)=3x+8
（2）–3(x–8)= –3x–24
（4）–2(6–x)= –12+2x
（3）4(–3–2x)= –12+8x
错因：分配律，数字8漏乘3.
错因：括号前面是负数，去掉负号和括号后每一项都变号.
错因：括号前面是正数，去掉正号和括号后每一项都不变号.
1. 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；2. 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
讨论比较+(x–3)与 –(x–3)的区别？
+(x–3)与–(x–3)可以分别看作1与–1分别乘(x–3).
注意：准确理解去括号的规律. 去括号时括号内的每一项的符号都要考虑，做到要变都变，要不变则都不变；另外，括号内原来有几项，去掉括号后仍然有几项.
例1 化简下列各式：
（1）8a+2b+(5a–b)； （2）(5a–3b)–3(a2–2b)；
解：（1）原式=8a+2b+5a–b =13a+b
（2）原式=(5a–3b)–(3a2–6b) =5a–3b–3a2+6b = –3a2+5a+3b
（3）(2x2＋x)–[4x2–(3x2–x)]．[
（3）原式=2x2＋x–(4x2–3x2＋x) =2x2＋x–(x2＋x) =2x2＋x–x2–x =x2．
要点归纳：1.当括号前面有数字因数时，可应用乘法分配律将这个数字因数乘以括号内的每一项，切勿漏乘． 2. 当含有多重括号时，可以由内向外逐层去括号，也可以由外向内逐层去括号．每去掉一层括号，若有同类项可随时合并，这样可使下一步运算简化，减少差错．
1.化简：（1）3(a2–4a+3)–5(5a2–a+2)；（2）3(x2–5xy)–4(x2+2xy–y2)–5(y2–3xy)；（3）abc–[2ab–(3abc–ab)+4abc].
解：（1）原式=3a2–12a＋9–25a2+5a–10 = –22a2–7a–1；
（2）原式=3x2–15xy–4x2–8xy+4y2–5y2+15xy = –x2–8xy–y2；
（3）原式=abc–(2ab–3abc+ab+4abc) =abc–3ab–abc= –3ab.
例2 两船从同一港口出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时.
问: （1）2小时后两船相距多远？ （2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米?
（2）2小时后甲船比乙船多航行（单位：km） 2(50+a)–2(50–a)=100+2a–100+2a =4a.
解：（1）顺水速度=船速+水速=(50+a)km/h， 逆水速度=船速–水速=(50–a)km/h. 2小时后两船相距（单位：km） 2(50+a)+2(50–a)=100+2a+100–2a=200.
2. 飞机的无风航速为x千米/时，风速为20千米/时，飞机顺风飞行4小时的行程是多少？飞机逆风飞行3小时的行程是多少？两个行程相差多少？ 解：顺风航速=无风航速___风速=_________________ 逆风航速=无风航速___风速=_________________ 飞机顺风飞行4小时的行程是 飞机逆风飞行3小时的行程是 两个行程相差
4(x+20)=(4x+80)（千米）
(x– 20)（千米）
3(x–20)=(3x–60)（千米）
(4x+80)–(3x–60)= 4x+80–3x+60=x+140(千米)
归纳总结：在化简时要注意去括号时是否变号；在代入时若所给的值是负数、分数、有乘方运算的，代入时要添上括号.
解：原式=5xy2–(–xy2＋2x2y)＋2x2y–xy2 =5xy2.
当x＝–4，y＝ 时，原式=5×(–4)×( )2= –5.
解：∵ m是绝对值最小的有理数，∴m=0∵ 与 是同类项∴ ∴∴
3. 已知m是绝对值最小的有理数， 且 与是同类项，求 的值.
1. 已知a2+2a=1，则3(a2+2a)+2的值为 ．
解析：∵a2+2a=1， ∴3(a2+2a)+2=3×1+2=5.
解析：A. x=3、y=3时，输出结果为32+2×3=15； B. x= –4、y= –2时，输出结果为(–4)2–2×(–2)=20； C. x=2、y=4时，输出结果为22+2×4=12； D. x=4、y=2时，输出结果为42+2×2=20．
2. 按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是（ ） A．x=3，y=3 B．x= –4，y= –2 C．x=2，y=4 D．x=4，y=2
1. 下列去括号的式子中，正确的是（ ） A. a2–(2a–1)= a2–2a–1 B. a2+(–2a–3)= a2–2a+3 C. 3a– [5b – (2c–1)]= 3a–5b +2c–1 D. –(a +b) + (c–d)= –a – b –c+d
3. 已知a–b= –3，c+d=2，则(b+c)–(a–d)的值为（ ） A.1 B.5 C.–5 D.–1
化简下列各式：（1）8m＋2n＋(5m–n)； （2）(5p–3q)–3( )．
先化简，再求值：2(a＋8a2＋1–3a3)–3(–a＋7a2–2a3)，其中a＝–2.
解：原式=–5a2＋5a＋2
a＝–2时，原式=–28.
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
重复几次看看，谁能先发现这些和有什么规律？对于任意一个两位数都成立吗？
1. 熟练掌握整式的加减运算.
2. 利用整式的加减解决实际问题.
如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为： .交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是： .将这两个数相加：
结论：这些和都是11的倍数.
+ = .
10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)
你又发现什么了规律？
举例：原三位数728，百位与个位交换后的数为827，由728 –827= – 99.你能看出什么规律并验证它吗？
任意一个三位数可以表示100a+10b+c
验证：设原三位数为100a+10b+c，百位与个位交换后的数为100c+10b+a,它们的差为
(100a+10b+c) –( 100c+10b+a)= 100a+10b+c–100c–10b–a=99a–99c=99(a–c)
在上面的两个问题中，分别涉及了整式的什么运算？说说你是如何运算的？
去括号、合并同类项
例1 计算： （1）(2a–3b)+(5a+4b)；
=2a–3b+5a+4b
=8a–7b–4a+5b
考查整式加减的运算能力
（2）(8a–7b)–(4a–5b)
1.计算：2a+3b–5(a+2b)的结果是
解析：2a+3b–5(a+2b) =2a+3b–5a–10b = –3a–7b.答案：–3a–7b
变式训练：求上述两多项式的差.
答案： − 12x2+5x+7
整式的加减的列式求和问题
3. 运算结果，常将多项式的某个字母（如x）的降幂(升幂)排列.
1. 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减符号连接，然后进行运算．
2. 整式加减实际上就是去括号、合并同类项.
2. 求3x2–6x+5与4x2+7x–6的差. 解：(3x2–6x+5) –(4x2+7x–6) = 3x2–6x+5–4x2–7x+6 = –x2–13x+11.
当 时，
的值，其中 .
先将式子化简，再代入数值进行计算.
3.先化简下列各式，再求值:（1） 3a2–2(2a2+a)+2(a2–3a)，其中a= –2.（2）5x2y– [3x2y–2(2xy–x2y) –4x2]–3xy，其中x= –3, y= –2.
解：原式=5x2y–[3x2y–4xy+2x2y–4x2]–3xy =5x2y–3x2y+4xy–2x2y+4x2–3xy =4x2+xy. 当x= –3, y= –2时,原式=4×(–3)2+(–3)×(–2)=36+6=42.
解：3a2–2(2a2+a)+2(a2–3a) =3a2–4a2–2a+2a2–6a =a2–8a. 当a= –2时,原式=(–2)2–8×(–2)=4+16=20.
例4 一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本4本，买圆珠笔3支. 买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？
解：小红买笔记本和圆珠笔共花费(3x+2y)元，小明买笔记本和圆珠笔共花费(4x+3y)元.
小红和小明一共花费(单位：元)
(3x+2y)+(4x+3y)
=3x+2y+4x+3y
另解：小红和小明买笔记本共花费(3x+4x)元，买圆珠笔共花费(2y+3y)元.
(3x+4x)+(2y+3y)
分别计算笔记本和圆珠的花费.
4. 一块地共有(6a+14b)亩，其中有(4a+8b)亩种粮食，种蔬菜的亩数是种粮食的 剩下的地种果树，求种果树的地有多少亩. 解：由题意知，种蔬菜的亩数是 则种果树的地有： =6a+14b–4a–8b–2a–4b=2b（亩）. 答：种果树的地有2b亩.
例5 做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）: （1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
解：小纸盒的表面积是( )cm2 .
（1）做这两个纸盒共用料 (2ab+2bc+2ac)+(6ab+8bc+6ac)
= 2ab+2bc+2ac+6ab+8bc+6ac
= 8ab+10bc+8ac （cm2）
做大纸盒比做小纸盒多用料:
(6ab+8bc+6ac)–(2ab+2bc+2ac)
= 6ab+8bc+6ac– 2ab–2bc–2ac
= 4ab+6bc+4ac（cm2 ）
（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？
小纸盒的表面积是(2ab+2bc+2ac)cm2.大纸盒的表面积是(6ab+8bc+6ac)cm2.
整式加减解决实际问题的一般步骤： （1） 根据题意列代数式； （2）去括号、合并同类项； （3） 得出最后结果.
5. 小红和小兰房间窗户的装饰物如图所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成(半径相同).问谁的房间的光线好，请说明理由.
解：要知谁的房间的光线好，只要比较谁的房间窗户装饰物用的材料少即可.此时小红的房间用料为 而小兰的房间用料为 由于 所以小兰的房间用的材料少，即小兰的房间光线好.
据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（ ） A．b=(1+22.1%×2)a B．b=(1+22.1%)2a C．b=(1+22.1%)×2a D．b=22.1%×2a
解析：因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，所以b=(1+22.1%)2a．
1. 有三种不同质量的物体“ ”“ ”“ ”，其中，同种物体的质量都相等，现在在左右手中同样的盘子上放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（ ）
2. 若A是一个二次二项式，B是一个五次五项式，则B –A一定是（ ） A.二次多项式 B. 三次多项式 C.五次三项式 D. 五次多项式
A.2 B.–2 C.4 D.–4
2. 若mn = m+3，则2mn+3m–5mn+10=______.
（1）– ab3+2a3b– a2b–ab3– a2b–a3b （2） (7m2–4mn–n2)–(2m2–mn+2n2) （3） –3(3x+2y)–0.3(6y–5x)（4） a3–2a–6)– ( a3–4a–7)
某公司计划砌一个形状如下图(1)的喷水池，后有人建议改为如下图(2)的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够，请你比较两种方案，哪一种需用的材料多(即比较两个图形的周长)？若将三个小圆改为n个小圆，又会得到什么结论？
解：设大圆半径为R，小圆半径依次为r1，r2，r3， 则图(1)的周长为4πR，图(2)的周长为2πR+2πr1+2πr2+2πr3=2πR+2π(r1+r2+r3)， 因为2r1+2r2+2r3=2R， 所以r1+r2+r3=R，因此图(2)的周长为 2πR+2πR=4πR． 这两种方案，用材料一样多，将三个小圆改为n个小圆，用料还是一样多．
2r1+2r2+2r3=2R
整式的加减
在西宁到拉萨路段，列车在冻土地段的行驶速度是100 km/h，在非冻土地段的行驶速度是120 km/h，列车通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的2.1倍 ，如果通过冻土地段需要t h，你能用含t的式子表示这段铁路的全长吗？
如果有一罐硬币(分别为一角、五角、一元的)，你会如何去数呢?
1. 理解同类项的概念，会判断同类项.
2. 理解合并同类项的法则，会进行合并同类项.
3. 能在合并同类项的基础上进行化简、求值运算.
有八只小白兔，每只身上都标有一个单项式，你能根据这些单项式的特征将这些小白兔分到不同的房间里吗？（用几个房间都可以）
3ab2 -ab2
-7a2b 2a2b
我们把具有以上两个特征的单项式称为同类项.
2. 相同字母指数也相同.
所有的常数项也看做同类项.
先判断每一组是否是同类项，不是的，为前者配一个.
（1）同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，与 字母在单项式中的排列顺序无关；（2）抓住“两个相同”，一是所含的字母要完全相同， 二是相同字母的指数要相同，这两个条件缺一不可.
（3）不要忘记几个单独的数也是同类项.
（2）如果2a2bn+1与-4amb3是同类项，则m= ，n= .
例1（1）在6xy-3x2-4x2y-5yx2+x2中没有同类项的项是 .
分析：根据同类项的定义，可知a的指数相同，b的指数也相同，即m=2，n+1=3.
同类项概念的识别及应用
1．下列各组中的两个单项式是同类项的是（ ） A．3x与x2 B．3m2n与3mn2 C. abc与－abc D．2与x2． 已知x|m|y3与－ynx4是同类项，则m＝______，n＝____．3． 若－x2my与 ynmx是同类项，则－2m＋n＝____．
周末，小明一家要外出游玩，爸爸、妈妈和小明各自选了他们要吃的东西：
买的时候，小明怎么说？
2个汉堡+1个汉堡+1个汉堡= 个汉堡
2个草莓+3个草莓+3个草莓= 个草莓
2.合并同类项的法则：
同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母同它的指数不变.
1.把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.
3 ab²+ 5 ab²= 8 ab²
下列合并同类项合并对了吗？不对的，说明理由.
（1）a+a=2a（2）3a+2b=5ab（3）5y2-3y2=2
（4）4x2y-5xy2=-x2y（5）3x2+2x3=5x5（6）a+a-5a=-3a
注：（2）（4）（5）中的单项式不是同类项，不能合并. （3）是同类项，但合并结果不对.
用不同的标记把同类项标出来!
4. 合并同类项： （1）6x＋2x2－3x＋x2＋1； （2） －3ab＋7－2a2－9ab－3.
解：（1）原式=(6x－3x)＋(2x2＋x2)＋1 =3x＋3x2＋1
（2）原式=(－3ab－9ab)－2a2＋(7－3) =－12ab－2a2＋4
“合并同类项”的方法： 一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出； 二移，利用加法的交换律、结合律，将不同类的同类项集中到不同的括号内； 三并，将同一括号内的同类项相加即可.
分析：在多项式求值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再代入求值，这样可以简化计算.
5.当x=2019时，求多项式x4-5x2+2x3-x4+5x2-2x3+2x-1的值.
解： x4-5x2+2x3-x4+5x2-2x3+2x-1 = (x4-x4)+(-5x2+5x2)+(2x3-2x3)+2x-1 = 2x-1 当x=2019时，原式=2×2019-1=4037.
例5 一天，王村的小明奶奶提着一篮子土豆去换苹果，双方商定的结果是：1千克土豆换0.5千克苹果. 当称完带篮子的土豆重量后，摊主对小明奶奶说：“别称篮子的重量了，称苹果时也带篮子称，这样既省事又互不吃亏.”你认为摊主的话有道理吗？请你用所学的有关数学知识加以判定.
解：设土豆重a千克，篮子重b千克，则应换苹果0.5a千克.若不称篮子，则实换苹果为0.5a＋0.5b－b＝(0.5a－0.5b)千克，很明显小明奶奶少得苹果0.5b千克. 所以摊主说得没有道理，这样做小明奶奶吃亏了.
利用合并同类项解答实际问题
6.为建立“图书角”，七年级一班的各组同学踊跃捐书，其中一组捐x本书，二组捐的书是一组的2倍还多2本，三组捐的书是一组的3倍少1本，则三个小组共捐书________本.
解析：由题意知，二组捐了(2x+2)本，三组捐了(3x-1)本，所以三个小组共捐书为x+2x+2+3x-1=(6x+1)（本）.
2. 计算3x2﹣x2的结果是（ ）. A．2B．2x2C．2x D．4x2
2. 下列运算中正确的是（ ）. A．3a2-2a2=a2 B．3a2-2a2=1 C．3x2-x2=3 D．3x2-x=2x
3．如果5x2y与xmyn是同类项，那么m =____，n =____． 4．合并同类项： （1）-a-a-2a=________； （2）-xy-5xy+6yx=______； （3）0.8ab2-a2b+0.2ab2=_______； （4）3a2b-4ab2-4+5a2b+2ab2+7=___________．
8a2b-2ab2+3
5. 三角形的三边长分别为 ，则这个三角形的周长为 . 当 时，周长为 cm.
求多项式4x2+2xy+9y2-2x2-3xy+y2的值，其中x=2，y=1.解：4x2+2xy+9y2-2x2-3xy+y2 =(4-2)x2+(2-3)xy+(9+1)y2 =2x2-xy+10y2. 当x=2，y=1时, 原式=2×22-2×1+10×12=8-2+10=16.
解：(2x3-3x2y-2xy2)-(x3-2xy2+y3)+(-x3+3x2y-y3) =2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y3-x3+3x2y-y3 =-2y3=-2×(-1)3=2.因为化简的结果中不含x，所以原式的值与x值无关.
一找、二移、三并、四计算
小明在求多项式6a–5b与多项式8a–4b的差时，列出算式(6a–5b)–(8a–4b). 但小明想：这种含括号的式子该如何计算呢？
1. 理解去括号法则.
2. 会利用去括号法则将整式化简.
两种方法，一种是先计算括号内的部分，再相乘；另一种是利用乘法分配律运算.
计算: ，你有几种方法？
（1）3(x+8)=3x+8
（2）–3(x–8)= –3x–24
（4）–2(6–x)= –12+2x
（3）4(–3–2x)= –12+8x
错因：分配律，数字8漏乘3.
错因：括号前面是负数，去掉负号和括号后每一项都变号.
错因：括号前面是正数，去掉正号和括号后每一项都不变号.
1. 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；2. 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
讨论比较+(x–3)与 –(x–3)的区别？
+(x–3)与–(x–3)可以分别看作1与–1分别乘(x–3).
注意：准确理解去括号的规律. 去括号时括号内的每一项的符号都要考虑，做到要变都变，要不变则都不变；另外，括号内原来有几项，去掉括号后仍然有几项.
例1 化简下列各式：
（1）8a+2b+(5a–b)； （2）(5a–3b)–3(a2–2b)；
解：（1）原式=8a+2b+5a–b =13a+b
（2）原式=(5a–3b)–(3a2–6b) =5a–3b–3a2+6b = –3a2+5a+3b
（3）(2x2＋x)–[4x2–(3x2–x)]．[
（3）原式=2x2＋x–(4x2–3x2＋x) =2x2＋x–(x2＋x) =2x2＋x–x2–x =x2．
要点归纳：1.当括号前面有数字因数时，可应用乘法分配律将这个数字因数乘以括号内的每一项，切勿漏乘． 2. 当含有多重括号时，可以由内向外逐层去括号，也可以由外向内逐层去括号．每去掉一层括号，若有同类项可随时合并，这样可使下一步运算简化，减少差错．
1.化简：（1）3(a2–4a+3)–5(5a2–a+2)；（2）3(x2–5xy)–4(x2+2xy–y2)–5(y2–3xy)；（3）abc–[2ab–(3abc–ab)+4abc].
解：（1）原式=3a2–12a＋9–25a2+5a–10 = –22a2–7a–1；
（2）原式=3x2–15xy–4x2–8xy+4y2–5y2+15xy = –x2–8xy–y2；
（3）原式=abc–(2ab–3abc+ab+4abc) =abc–3ab–abc= –3ab.
例2 两船从同一港口出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时.
问: （1）2小时后两船相距多远？ （2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米?
（2）2小时后甲船比乙船多航行（单位：km） 2(50+a)–2(50–a)=100+2a–100+2a =4a.
解：（1）顺水速度=船速+水速=(50+a)km/h， 逆水速度=船速–水速=(50–a)km/h. 2小时后两船相距（单位：km） 2(50+a)+2(50–a)=100+2a+100–2a=200.
2. 飞机的无风航速为x千米/时，风速为20千米/时，飞机顺风飞行4小时的行程是多少？飞机逆风飞行3小时的行程是多少？两个行程相差多少？ 解：顺风航速=无风航速___风速=_________________ 逆风航速=无风航速___风速=_________________ 飞机顺风飞行4小时的行程是 飞机逆风飞行3小时的行程是 两个行程相差
4(x+20)=(4x+80)（千米）
(x– 20)（千米）
3(x–20)=(3x–60)（千米）
(4x+80)–(3x–60)= 4x+80–3x+60=x+140(千米)
归纳总结：在化简时要注意去括号时是否变号；在代入时若所给的值是负数、分数、有乘方运算的，代入时要添上括号.
解：原式=5xy2–(–xy2＋2x2y)＋2x2y–xy2 =5xy2.
当x＝–4，y＝ 时，原式=5×(–4)×( )2= –5.
解：∵ m是绝对值最小的有理数，∴m=0∵ 与 是同类项∴ ∴∴
3. 已知m是绝对值最小的有理数， 且 与是同类项，求 的值.
1. 已知a2+2a=1，则3(a2+2a)+2的值为 ．
解析：∵a2+2a=1， ∴3(a2+2a)+2=3×1+2=5.
解析：A. x=3、y=3时，输出结果为32+2×3=15； B. x= –4、y= –2时，输出结果为(–4)2–2×(–2)=20； C. x=2、y=4时，输出结果为22+2×4=12； D. x=4、y=2时，输出结果为42+2×2=20．
2. 按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是（ ） A．x=3，y=3 B．x= –4，y= –2 C．x=2，y=4 D．x=4，y=2
1. 下列去括号的式子中，正确的是（ ） A. a2–(2a–1)= a2–2a–1 B. a2+(–2a–3)= a2–2a+3 C. 3a– [5b – (2c–1)]= 3a–5b +2c–1 D. –(a +b) + (c–d)= –a – b –c+d
3. 已知a–b= –3，c+d=2，则(b+c)–(a–d)的值为（ ） A.1 B.5 C.–5 D.–1
化简下列各式：（1）8m＋2n＋(5m–n)； （2）(5p–3q)–3( )．
先化简，再求值：2(a＋8a2＋1–3a3)–3(–a＋7a2–2a3)，其中a＝–2.
解：原式=–5a2＋5a＋2
a＝–2时，原式=–28.
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
重复几次看看，谁能先发现这些和有什么规律？对于任意一个两位数都成立吗？
1. 熟练掌握整式的加减运算.
2. 利用整式的加减解决实际问题.
如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为： .交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是： .将这两个数相加：
结论：这些和都是11的倍数.
+ = .
10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)
你又发现什么了规律？
举例：原三位数728，百位与个位交换后的数为827，由728 –827= – 99.你能看出什么规律并验证它吗？
任意一个三位数可以表示100a+10b+c
验证：设原三位数为100a+10b+c，百位与个位交换后的数为100c+10b+a,它们的差为
(100a+10b+c) –( 100c+10b+a)= 100a+10b+c–100c–10b–a=99a–99c=99(a–c)
在上面的两个问题中，分别涉及了整式的什么运算？说说你是如何运算的？
去括号、合并同类项
例1 计算： （1）(2a–3b)+(5a+4b)；
=2a–3b+5a+4b
=8a–7b–4a+5b
考查整式加减的运算能力
（2）(8a–7b)–(4a–5b)
1.计算：2a+3b–5(a+2b)的结果是
解析：2a+3b–5(a+2b) =2a+3b–5a–10b = –3a–7b.答案：–3a–7b
变式训练：求上述两多项式的差.
答案： − 12x2+5x+7
整式的加减的列式求和问题
3. 运算结果，常将多项式的某个字母（如x）的降幂(升幂)排列.
1. 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减符号连接，然后进行运算．
2. 整式加减实际上就是去括号、合并同类项.
2. 求3x2–6x+5与4x2+7x–6的差. 解：(3x2–6x+5) –(4x2+7x–6) = 3x2–6x+5–4x2–7x+6 = –x2–13x+11.
当 时，
的值，其中 .
先将式子化简，再代入数值进行计算.
3.先化简下列各式，再求值:（1） 3a2–2(2a2+a)+2(a2–3a)，其中a= –2.（2）5x2y– [3x2y–2(2xy–x2y) –4x2]–3xy，其中x= –3, y= –2.
解：原式=5x2y–[3x2y–4xy+2x2y–4x2]–3xy =5x2y–3x2y+4xy–2x2y+4x2–3xy =4x2+xy. 当x= –3, y= –2时,原式=4×(–3)2+(–3)×(–2)=36+6=42.
解：3a2–2(2a2+a)+2(a2–3a) =3a2–4a2–2a+2a2–6a =a2–8a. 当a= –2时,原式=(–2)2–8×(–2)=4+16=20.
例4 一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本4本，买圆珠笔3支. 买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？
解：小红买笔记本和圆珠笔共花费(3x+2y)元，小明买笔记本和圆珠笔共花费(4x+3y)元.
小红和小明一共花费(单位：元)
(3x+2y)+(4x+3y)
=3x+2y+4x+3y
另解：小红和小明买笔记本共花费(3x+4x)元，买圆珠笔共花费(2y+3y)元.
(3x+4x)+(2y+3y)
分别计算笔记本和圆珠的花费.
4. 一块地共有(6a+14b)亩，其中有(4a+8b)亩种粮食，种蔬菜的亩数是种粮食的 剩下的地种果树，求种果树的地有多少亩. 解：由题意知，种蔬菜的亩数是 则种果树的地有： =6a+14b–4a–8b–2a–4b=2b（亩）. 答：种果树的地有2b亩.
例5 做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）: （1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
解：小纸盒的表面积是( )cm2 .
（1）做这两个纸盒共用料 (2ab+2bc+2ac)+(6ab+8bc+6ac)
= 2ab+2bc+2ac+6ab+8bc+6ac
= 8ab+10bc+8ac （cm2）
做大纸盒比做小纸盒多用料:
(6ab+8bc+6ac)–(2ab+2bc+2ac)
= 6ab+8bc+6ac– 2ab–2bc–2ac
= 4ab+6bc+4ac（cm2 ）
（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？
小纸盒的表面积是(2ab+2bc+2ac)cm2.大纸盒的表面积是(6ab+8bc+6ac)cm2.
整式加减解决实际问题的一般步骤： （1） 根据题意列代数式； （2）去括号、合并同类项； （3） 得出最后结果.
5. 小红和小兰房间窗户的装饰物如图所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成(半径相同).问谁的房间的光线好，请说明理由.
解：要知谁的房间的光线好，只要比较谁的房间窗户装饰物用的材料少即可.此时小红的房间用料为 而小兰的房间用料为 由于 所以小兰的房间用的材料少，即小兰的房间光线好.
据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（ ） A．b=(1+22.1%×2)a B．b=(1+22.1%)2a C．b=(1+22.1%)×2a D．b=22.1%×2a
解析：因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，所以b=(1+22.1%)2a．
1. 有三种不同质量的物体“ ”“ ”“ ”，其中，同种物体的质量都相等，现在在左右手中同样的盘子上放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（ ）
2. 若A是一个二次二项式，B是一个五次五项式，则B –A一定是（ ） A.二次多项式 B. 三次多项式 C.五次三项式 D. 五次多项式
A.2 B.–2 C.4 D.–4
2. 若mn = m+3，则2mn+3m–5mn+10=______.
（1）– ab3+2a3b– a2b–ab3– a2b–a3b （2） (7m2–4mn–n2)–(2m2–mn+2n2) （3） –3(3x+2y)–0.3(6y–5x)（4） a3–2a–6)– ( a3–4a–7)
某公司计划砌一个形状如下图(1)的喷水池，后有人建议改为如下图(2)的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够，请你比较两种方案，哪一种需用的材料多(即比较两个图形的周长)？若将三个小圆改为n个小圆，又会得到什么结论？
解：设大圆半径为R，小圆半径依次为r1，r2，r3， 则图(1)的周长为4πR，图(2)的周长为2πR+2πr1+2πr2+2πr3=2πR+2π(r1+r2+r3)， 因为2r1+2r2+2r3=2R， 所以r1+r2+r3=R，因此图(2)的周长为 2πR+2πR=4πR． 这两种方案，用材料一样多，将三个小圆改为n个小圆，用料还是一样多．
2r1+2r2+2r3=2R
整式的加减
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