北京西城区北京八中学2024年数学九年级第一学期开学预测试题【含答案】

这是一份北京西城区北京八中学2024年数学九年级第一学期开学预测试题【含答案】，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）计算的结果是（ ）
A．2B．C．D．-2
2、（4分）分式方程的解是( ).
A．x=-5B．x=5C．x=-3D．x=3
3、（4分）在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行B．一组对边平行且另一组对边相等
C．两组邻边相等D．对角线互相垂直
4、（4分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施，调查发现，每件衬衫，每降价1元，平均每天可多销售2件，若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价（ ）
A．5元 B．10元 C．20元 D．10元或20元
5、（4分）若点P(－1，3)在过原点的一条直线上，则这条直线所对应的函数解析式为( )
A．y＝－3xB．y＝x
C．y＝3x－1D．y＝1－3x
6、（4分）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，且OA＝4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长为（ ）
A．2B．2C．2+4D．2+4
7、（4分）若x＞y，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1B．2x＞2yC．x+1＞y+1D．x2＞y2
8、（4分）如图，正方形的边长是4，在上，且，是边上的一动点，则周长的最小值是( )
A．3B．4C．5D．6
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为__________．
10、（4分）已知一组数据：0，2，x，4，5，这组数据的众数是 4，那么这组数据的平均数是_____．
11、（4分）已知关于函数，若它是一次函数，则______.
12、（4分）如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AC＋BD＝10，BC＝3，则△AOD的周长为 ．
13、（4分）关于x的分式方程的解为非正数，则k的取值范围是____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）计算：2﹣1+|﹣1|﹣（π﹣1）0
15、（8分）给出三个多项式：，请选择两个多项式进行加法运算，并把结果分解因式（写出两种情况）．
16、（8分）计算：，
17、（10分）文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.
（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完.）
18、（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM.
（1）菱形ABCO的边长
（2）求直线AC的解析式；
（3）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，
①当0＜t＜时，求S与t之间的函数关系式；
②在点P运动过程中，当S=3，请直接写出t的值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为 ．
20、（4分）因式分解：3x3﹣12x=_____．
21、（4分）方程的解为__________.
22、（4分）若一次函数y=(m-1)x-m的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是______．
23、（4分）数据2，0，1，9的平均数是__________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，是平行四边形的对角线，，分别交于点.
求证：.
25、（10分）江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲、y乙（单位：元）与原价x（单位：元）之间的函数关系如图所示：
（1）直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？
26、（12分）计算：
解方程：．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据分式的混合运算法则进行计算即可得出正确选项。
【详解】
解：
=2
故选：A
本题考查了分式的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2、A
【解析】
观察可得最简公分母是(x+1)(x-1),方程两边乘以最简公分母,可以把分式方程化为整式方程,再求解.
【详解】
方程两边同乘以(x+1)(x-1),
得3(x+1)=2(x-1),
解得x=-5.
经检验:x= -5是原方程的解.
故选A..
本题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
3、A
【解析】
根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．
【详解】
A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选A．
本题考查了平行四边形的判定定理，能熟记平行四边形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：平行四边形的判定定理有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别平行的四边形是平行四边形，④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4、C
【解析】
设每件衬衫应降价x元，则每天可销售（1+2x）件，根据每件的利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】
设每件衬衫应降价x元，则每天可销售（1+2x）件，
根据题意得：（40-x）（1+2x）=110，
解得：x1=10，x2=1．
∵扩大销售，减少库存，
∴x=1．
故选C．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5、A
【解析】
设这条过原点的直线的解析式为：y=kx，
∵该直线过点P（-1，3），
∴-k=3，即k=-3，
∴这条直线的解析式为：y=-3x.
故选A.
6、D
【解析】
由点A在反比例函数的图象上，设出点A的坐标，结合勾股定理可以表现出OA2＝AB2＋OB2，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出AB•OB的值，根据配方法求出（AB＋OB）2，由此即可得出AB＋OB的值，结合三角形的周长公式即可得出结论．
【详解】
解：∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴设点A的坐标为（n，）（n＞0）．
在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OA＝1，
∴OA2＝AB2＋OB2，
又∵AB•OB＝•n＝1，
∴（AB＋OB）2＝AB2＋OB2＋2AB•OB＝12＋2×1＝21，
∴AB＋OB＝2，或AB＋OB＝－2（舍去）．
∴C△ABO＝AB＋OB＋OA＝2＋1．
故答案为2＋1．
故选D.
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、完全平方公式以及三角形的周长，解题的关键是求出AB＋OB的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用完全平方公式直接求出两直角边之和是关键．
7、D
【解析】
根据不等式的性质逐一进行判断,选项A,在不等式x>y两边都减1,不等号的方向不变,即可判断A的正确性,选项B,在不等式x>y两边都乘上2,不等号的方向不变,即可判断B的正确性;选项C,在不等式x>y两边都加上1,不等号的方向不变,即可判断C的正确性,选项D,可举例说明,例如当x=1,y=-2时,x>y,但x2＜y2,故可判断D的正确性,据此即可得到答案.
【详解】
A、不等式的两边减1，不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、不等式的两边乘2，不等号的方向不变，故B不符合题意；
C、不等式的两边都加1，不等号的方向不变，故C不符合题意；
D、当0＜x＜1，y＜﹣1时，x2＜y2，故D符合题意；
故选D．
本题主要考查了不等式的相关知识质,熟练掌握不等式的性质是解题的关键;
8、D
【解析】
由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为使DN＋MN最小的点，在Rt△BCM中利用勾股定理求出BM的长即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，则BM的长即为DN＋MN的最小值，
又CM＝CD−DM＝4−1＝3，
在Rt△BCM中，BM＝，
故△DMN周长的最小值＝5＋1＝6，
故选：D．
本题考查的是轴对称−最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线AC对称，可知BM的长即为DN＋MN的最小值是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、2
【解析】
正方形为轴对称图形，一条对称轴为其对角线所在的直线；由图形条件可以看出阴影部分的面积为正方形面积的一半．
【详解】
解：依题意有S阴影=×4×4=2cm1．
故答案为：2．
本题考查轴对称的性质以及正方形的性质，运用割补法是解题的关键．
10、3
【解析】
先根据众数的定义求出的值，再根据平均数的计算公式列式计算即可．
【详解】
解：，2，，4，5的众数是4，
，
这组数据的平均数是；
故答案为：3；
此题考查了众数和平均数，根据众数的定义求出的值是本题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．
11、
【解析】
根据一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为2，可得答案．
【详解】
由y＝是一次函数，得
m2-24=2且m-2≠0，
解得m=-2，
故答案为：-2．
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为2．
12、8
【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可得：OA+OD=（AC+BD）=5，AD=BC=3，则△AOD的周长为5+3=8.
考点：平行四边形的性质.
13、k≥1且k≠3.
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非正数，确定出k的范围即可．
【详解】
去分母得：x＋k＋2x＝x＋1，
解得：x＝，
由分式方程的解为非正数,得到⩽0,且≠−1，
解得：k≥1且k≠3，
故答案为k≥1且k≠3.
本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、
【解析】
按顺序先分别进行负指数幂的运算、绝对值的化简、0指数幂的运算，然后再进行加减运算即可.
【详解】
2﹣1+|﹣1|﹣(π﹣1)0
＝+1﹣1
＝．
本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、0指数幂等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
15、答案不唯一，详见解析
【解析】
选择第一个与第二个，第一个与第三个，利用整式的加法运算法则计算，然后再利用提公因式法或平方差公式进行因式分解即可．
【详解】
情形一：
情形二：
此题主要考查了多项式的计算，以及分解因式，关键是正确求出多项式的和，找出公因式．
16、5-2
【解析】
先根据绝对值、整数指数幂和二次根式的性质化简各数，然后进行加减即可得出答案。
【详解】
解：原式=2-1×1-2+4
=5-2
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键。
17、（1）甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元；（2）甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大.
【解析】
（1）乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元，根据“用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本”列出方程求解即可；
（2）设甲种图书进货本，总利润元，根据题意列出不等式及一次函数，解不等式求出解集，从而确定方案，进而求出利润最大的方案．
【详解】
（1）设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元．由题意得：
，
解得：．
经检验，是原方程的解．
所以，甲种图书售价为每本元，
答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元．
（2）设甲种图书进货本，总利润元，则
．
又∵，
解得：．
∵随的增大而增大，
∴当最大时最大，
∴当本时最大，
此时，乙种图书进货本数为（本）．
答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系是解应用题的关键．
18、（1）5；（2）直线AC的解析式y=﹣x+；（3）见解析．
【解析】
（1）Rt△AOH中利用勾股定理即可求得菱形的边长；
（2）根据（1）即可求的OC的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
（3）根据S△ABC=S△AMB+S△BMC求得M到直线BC的距离为h，然后分成P在AM上和在MC上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解．
【详解】
（1）Rt△AOH中，
，
所以菱形边长为5；
故答案为5；
（2）∵四边形ABCO是菱形，
∴OC=OA=AB=5，即C（5，0）．
设直线AC的解析式y=kx+b，函数图象过点A、C，得
，解得，
直线AC的解析式；
（3）设M到直线BC的距离为h，
当x=0时，y=，即M（0，），，
由S△ABC=S△AMB+SBMC=AB•OH=AB•HM+BC•h，
×5×4=×5×+×5h，解得h=，
①当0＜t＜时，BP=BA﹣AP=5﹣2t，HM=OH﹣OM=，
S=BP•HM=×（5﹣2t）=﹣t+；
②当2.5＜t≤5时，BP=2t﹣5，h=，
S=BP•h=×（2t﹣5）=t﹣，
把S=3代入①中的函数解析式得，3=﹣t+，
解得：t=，
把S=3代入②的解析式得，3=t﹣，
解得：t=．
∴t=或．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及菱形的性质，根据三角形的面积关系求得M到直线BC的距离h是关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（﹣2，2）
【解析】
试题分析：∵直线y=2x+4与y轴交于B点，
∴x=0时，
得y=4，
∴B（0，4）．
∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，
∴C在线段OB的垂直平分线上，
∴C点纵坐标为2．
将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，
解得x=﹣2．
所以C′的坐标为（﹣2，2）．
考点：2．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．坐标与图形变化-平移．
20、3x（x+2）（x﹣2）
【解析】
先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可．
【详解】
3x3﹣12x
=3x（x2﹣4）
=3x（x+2）（x﹣2），
故答案为3x（x+2）（x﹣2）．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
21、0
【解析】
先去分母转化为一次方程即可解答.
【详解】
解：原式去分母得1-x-(x+1)=0,
得x=0.
本题考查分式方程的解法，掌握步骤是解题关键.
22、0＜＜1
【解析】
一次函数y=（m-1）x-m的图象经过第二、三、四象限，则一次项系数m-1是负数，-m是负数，即可求得m的范围．
【详解】
根据题意得：，
解得：0＜m＜1，
故答案为：0＜m＜1．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
23、1
【解析】
根据算术平均数的定义计算可得．
【详解】
数据2，0，1，9的平均数是=1，
故答案是：1．
考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、详见解析
【解析】
根据平行四边形的性质，证明全等即可证明结论.
【详解】
证明：四边形是平行四边形，
，.
.
.
.
.
.
本题主要考查平行四边形的性质定理，关键在于寻找全等的三角形.
25、（1）y甲=0.8x（x≥0），；（2）当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．
【解析】
（1）利用待定系数法即可求出y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）当0＜x＜2000时，显然到甲商店购买更省钱；当x≥2000时，分三种情况进行讨论即可．
【详解】
（1）设y甲=kx，把（2000，1600）代入，得2000x=1600，解得k=0.8，所以y甲=0.8x（x≥0）；
当0＜x＜2000时，设y乙=ax，把（2000，2000）代入，得2000x=2000，解得k=1，所以y乙=x；
当x≥2000时，设y乙=mx+n，把（2000，2000），（4000，3400）代入，得： ，
解得：．
所以；
（2）当0＜x＜2000时，0.8x＜x，到甲商店购买更省钱；
当x≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x＜0.7x+600，解得x＜6000；
若到乙商店购买更省钱，则0.8x＞0.7x+600，解得x＞6000；
若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x=0.7x+600，解得x=6000；
故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；
当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；
当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．
考点：一次函数的应用；分类讨论；方案型．
26、（1）；（2），．
【解析】
直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案；
直接利用十字相乘法分解因式进而解方程得出答案．
【详解】
解：原式
；
，
解得：，．
此题主要考查了因式分解法解方程以及实数运算，正确掌握解题方法是解题关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分