重庆市万州第三中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

这是一份重庆市万州第三中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关系中正确的个数为（ ）
①，②③，④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是（ ）
A．3B．4C．5D．9
3．命题，则是（ ）
A．B．C．D．
4．下列各组函数相等的是（ ）
A．B．
C．D．
5．满足⫋的集合的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．15
6．已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
7．已知实数集A满足条件：若，则，则集合A中所有元素的乘积为（ ）
A．1B．-1C．D．与的取值有关
8．记表示x，y，z中最大的数．已知x，y均为正实数，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件B．“”是“”的充分不必要条件
C．若，则“”的充要条件是“”
D．若，则“”是“”的充要条件
10．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
11．下列结论中，错误的结论有（ ）
A．取得最大值时的值为1B．若，则的最大值为-2
C．的最小值为2D．若，且，那么的最小值为
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．
13．已知，则的取值范围是______．
14．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根．
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若p、q有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
16．（13分）已知集合，集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17．（15分）已知定义在上的函数满足：．
（1）求函数的表达式；
（2）若不等式在[1，3]上恒成立，求实数的取值范围．
18．（17分）已知函数．
（1）若不等式的解集为R，求的取值范围；
（2）解关于的不等式；
（3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
19．（17分）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．
例如，，求证：．证明：原式．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．
阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？
解：，即，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）已知，求的值．
（2）若，解关于的方程．
（3）若正数a，b满足，求的最小值．
重庆市万州第三中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题答案
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【答案】C，【解析】对于①，显然正确；对于②，是无理数，故②正确；对于③，是自然数，故③正确；对于④，是无理数，故④错误．故正确个数为3．
2．【答案】B，【解析】设两项都合格的人数为，则由题意得，解得，即这两项成绩都合格的人数是4．
3．【答案】C，【解析】因为命题，所以．故选：C．
4．【答案】D【详解】A、B、C选项中的定义域为R，而A选项的定义域为，
B、C选项中的定义域为，
所以选项中两个函数的定义域不一样，不是同一函数，故选项都错误；
对于D选项，定义域都为R，解析式，值域都相同，D正确．故选：D
5．【答案】B，【解析】因为集合A满足⫋，
则集合A中必有1，2，集合A还可以有元素3，4，5，
满足条件的集合有，共7个．故选：B．
6．【答案】A，【解析】由题设，，
当且仅当时等号成立，
要使恒成立，只需，
．故选：A．
7．【答案】A
【解析】由题意，若，
综上，集合．
所以集合中所有元素的乘积为．故选A．
8．【答案】C
【解析】由题意可知：x，y均为正实数，
设，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
可得，即，所以的最小值为2．故选C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．【答案】BD
【解析】对于A选项，当时，；当时，，所以两者既不充分也不必要，故A错误；
对于B选项，当时，可取，但，当时，，故B正确；
对于C选项，当时，，从而，反之，时，若，则，所以两者不是充要条件，故C错误；
对于D选项，若，则a，b不会同时为0，则；若不会同时为0，则，故D正确，
故选BD．
10．【答案】BCD
【解析】对A，若，则，两边同时除以ab，所以错误；
对B，由可得正确；
对C，因为，所以，即，C正确；
对D，由可得，，所以，D正确．故选：BCD．
11．【答案】ABC
【解析】对于A，因为，
所以取得最大值时的值为，故A错误；
对于B，令，
若，当时取等号，
所以，则，则的最大值为-3，故B错误；
对于C，，令，当时，解得，不满足题意，故C错误；
对于D，若，且，
所以，
当时，即时取等号，
所以的最小值为，故D正确．
故选ABC．
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】
【详解】因为的定义域为，要使有意义，
则，解得，
所以函数的定义域为．故答案为：
13．【答案】
【解析】因为，所以，又，所以．
14．【答案】
【解析】令，解得或．
当，即时，不等式的解集为，则，解得；
当，即时，不等式无解，所以不符合题意；
当，即时，不等式的解集为，则，解得．
综上，的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）【详解】（1）对于命题，因关于的方程无实数根，
所以，即．
因为真，故实数的取值范围为…………………………6分
（2）若命题为真，因关于的方程有两个不相等的实数根，
所以，即或．
p、q有且仅有一个为真命题，所以p、q一真一假，
当真假时，，即或；
当假真时，，即．
综上所述：实数的取值范围为……………………13分
16．（13分）【详解】（1）由题意可知，
又，当时，，解得，
当时，或，解得，
综上所述，实数的取值范围为；……………………7分
（2）命题是命题的必要不充分条件，集合是集合A的真子集，
当时，，解得，
当时，（等号不能同时成立），解得，
综上所述，实数的取值范围为……………………15分
17．（15分）【答案】（1）
【详解】（1）将的替换为得，
联立
解得……………………7分
（2）不等式为，化简得，
要使其在[1，3]上恒成立，则，
，
当且仅当取等，所以．……………………15分
18．（17分）【详解】（1）由题意，
当，即时，，解集不为R，不合题意；
当，即时，的解集为R，
，即故时，．
综上，．……………………6分
（2）由题意得，
在，即，
当，即时，解集为；
当，即时，，即，解集为；
当，即时，解集为．
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．……………………11分
（3）由题意，
，即，
恒成立，，
设，则，
，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，
当时，，
的取值范围为……………………17分
19．（17分）【解析】（1）因为，
所以．……………………4分
（2）由，
故原方程可化为：，……………………6分
即：，
，即，解得：．……………………10分
（3）由，
则有，……13分
，
当且仅当，即时，等号成立，……………………15分
有最小值，此时有最大值，
从而有最小值，即有最小值．………………17分