2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（二）

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【答案】C
【解析】令，则．
①当时，若；若，由，得．
所以由可得或．
如图所示，满足的有无数个，方程只有一个解，不满足题意；
②当时，若，则；若，由，得．
所以由可得，当时，由，可得，
因为关于的方程有且仅有两个实数根，则方程在]上有且仅有一个实数根，
若且，故；
若且，不满足题意．
综上所述，实数的取值范围是，
故选：C．
2．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，
则到渐近线的距离，所以，
因为，所以，可得，
即，可得，
所以，所以，
又，所以双曲线的离心率的取值范围是.
故选：B
3．（湖南省部分学校2025届新高三联合教学质量检测数学试题）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（ ）
A．大于B．等于C．小于D．无法确定
【答案】A
【解析】设天平左臂长为，右臂长为，且，
，，
，，
故选：A．
4．（湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知数列an满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以为等差数列，公差，首项，
所以，所以，
所以
.
故选：D．
5．（湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为为奇函数，所以其定义域关于原点对称，
易知，所以，即有，得到，
所以，函数定义域为且，
得到，所以，
故，
有，即，满足题意，
所以，定义域为且，
又，所以或，
当，即或，时，，
此时在上单调递增，不合题意，
当，时，，
，
由，得到或（舍去），
又在区间上有最小值，所以，解得，
此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，满足题意，
故选：A.
6．（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题）已知为双曲线的左焦点，为双曲线左支上一点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【解析】设为双曲线的右焦点，由余弦定理可得，所以，
由双曲线的定义可得，即，故双曲线的离心率.
故选：D.
7．（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题）若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以①，
，
即②，
①-②得，
所以，
同理③，
，
即④，
③+④得
所以，
所以，
两式平方相加得，
所以，
因为，
且在上单调递增，
所以，
所以.
故选：D.
8．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期8月入学考试数学试题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为所以，
等式左边，
所以，即，
故．
故选：A.
9．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期8月入学考试数学试题）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，即，
所以为椭圆的右半部分．
当时，直线与有两个公共点；
当时，直线，令，
将代入，得，
则，得，则．
由图可知，所以．
综上，的取值范围是．
故选：D.
10．（湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的是（ ）
A．第一次朝上面的数字是偶数B．第一次朝上面的数字是1
C．两次朝上面的数字之和是8D．两次朝上面的数字之和是7
【答案】D
【解析】抛掷骰子两次，共有个基本事件数，
则，
共18个基本事件，则，
设事件为第一次朝上面的数字是偶数，则事件与事件是对立事件，故A错误；
设事件为第一次朝上面的数字是1，则，故B错误；
设事件为两次朝上面的数字之和是8，
则共5个基本事件，则，
且，则，
，所以C错误；
设事件两次朝上面的数字之和是7，则，
则，且，则，
因为，所以事件与事件相互独立.
故选：D
11．（湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ）
A．10B．55C．89D．99
【答案】C
【解析】依题意，（，），，，
所以.
故选：C
12．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）已知（，）的部分图象如图所示，点是与坐标轴的交点，若是直角三角形，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由正弦函数性质有，，，
由是直角三角形，可得，
结合有，
，
，
解得或（舍去），
，
，
.
故选：C.
13．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）记A，B为随机事件，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】记，由全概率公式有，
代入数据有，解得，
，
故选：D．
14．（湖南省部分学校2025届高三上学期8月开学考试数学试题）已知等差数列中，.记，其中表示不大于的最大整数，则数列的前2024项和为（ ）
A．4965B．4964C．1893D．1892
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，则，，解得，则，
于是，当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以数列的前项和为.
故选：A
15．（湖南省部分学校2025届高三上学期8月开学考试数学试题）已知三棱锥中，，其余各校长均为2，P是三棱锥外接球的球面上的动点，则点P到平面BCD的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】取的中点，连结，，
则，，且，平面，
所以平面，
点，分别是，的中心，由等边三角形的性质可知，
点分别在上，且，
由题意可知，，则，
分别过点作，，
因为平面，平面，所以平面平面，
且平面平面，
所以平面，同理平面，
则点在平面内，点到的距离相等，所以点为三棱锥外接球的球心，
连结，因为，则，
所以平分，所以，
连结，
则，，
所以三棱锥的外接球的半径为，
则点P到平面的距离的最大值为
故选：D
16．（湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测数学试题）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．方程有解
C．是偶函数D．是偶函数
【答案】C
【解析】对于A，因为函数的定义域为，且满足，
取，得，则，
取，得，则，故错误；
对于B，取，得，则，
所以，
以上各式相加得，
所以，
令，得，此方程无解，故B错误.
对于CD，由知，
所以是偶函数，
不是偶函数，故C正确，错误.
故选：C.
17．（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题）如图，已知正方体的棱长为，圆锥在正方体内，且垂直圆锥的底面，当该圆锥底面积最大时，圆锥体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，取的中点，记为，，
根据正方体的性质易知六边形为正六边形，此时的中点在正六边形的中心，且平面，
当圆锥底面内切于正六边形时该圆锥的底面积最大，
设此时圆锥底面圆半径为，因为，所以，
所以，圆锥底面积为，圆锥顶点为处，
圆锥体积.
故选：C.
18．（湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依题意令，则，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，，故A不正确；
所以，即，即，故B不正确；
又，即，即，故C错误；
因为，即，即，故D正确；
故选：D.
19．（湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为（ ）
A．70B．64C．60D．58
【答案】D
【解析】由题意知：要使正方体的顶点为顶点构成三棱锥，则4个顶点不共面，
1、8个顶点任选4个，有种，
2、8个顶点任选4个，共面的有12种，
∴以正方体的顶点为顶点的三棱锥有个.
故选：D
20．（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题 ）一个三角形纸板的三个顶点为，以边上的高所在直线为旋转轴，将三角形纸板旋转，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
，而为三角形内角，故，
故，故，故，
故几何体的体积为
故选：A.
21．（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题 ）若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则恒成立，
又，
当时，恒成立，所以在上单调递增，且时，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
所以，
令，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即的取值范围是.
故选：B
22．设函数，若，则a，b满足的关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
且恒成立，在定义域上单调增且零点为，
在定义域上单调减且零点为，
故与在定义域内函数值正负相反且零点重合，则.
故选：C
23．小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．与6的大小无法确定
【答案】B
【解析】X服从二项分布，则，
最大即为满足，
解得，
又，故为整数时，结合题设要求，；
不为整数时N为小于，，故，
故选：B
24．（多选题）（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知函数，则（ ）
A．的一个对称中心为
B．的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C．在区间上单调递增
D．若在区间上与有且只有6个交点，则
【答案】BD
【解析】对于A，由，故A错误；
对于B，的图象向右平移个单位长度后得：
，为奇函数，故B正确；
对于C，当时，则，由余弦函数单调性知，在区间上单调递减，故C错误；
对于D，由，得，解得或，
在区间上与有且只有6个交点，
其横坐标从小到大依次为：，
而第7个交点的横坐标为，
，故D正确.
故选：BD
25．（多选题）（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．是以8为周期的周期函数
C．
D．
【答案】ABC
【解析】由题意，且，
即①，
用替换中的，得②，
由①+②得，
所以的图象关于点2,1对称，且，故A正确；
由，可得，
所以，
所以是以8为周期的周期函数，故B正确；
由①知，则，
故，因此也是以8为周期的周期函数，
所以，C正确；
又因为，所以，
令，则有，
令，则有…，
令，则有，
所以
所以，故D错误.
故选：ABC
26．（多选题）（湖南省部分学校2025届新高三联合教学质量检测数学试题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的单调递增区间是
B．的值域为
C．
D．若，，，则
【答案】BD
【解析】的定义域为，
在定义域上恒成立，
所以的单调递增区间为，，故错误；
当趋近于0时，趋于，
当趋近于1，且在1的左侧时，趋于，
所以的值域为，故正确；
，
所以，
又，
所以，故错误；
，
因为，所以，又，
所以，即，故正确.
故选：.
27．（多选题）（湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知点，圆，则（ ）
A．圆与圆公共弦所在直线的方程为
B．直线与圆总有两个交点
C．圆上任意一点都有
D．是的等差中项，直线与圆交于两点，当最小时，的方程为
【答案】BCD
【解析】对于A:两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程：；错误
对于B：过定点，而在圆的内部，所以直线与圆总有两个交点，正确；
对于C:设，由可得：化简可得： ，所以满足条件的轨迹就是圆，正确；
对于D：因为是的等差中项，所以（不同时为0）
所以可化为，即
可令，
解得，则直线过定点，
设的圆心为，
当与直线垂直时，最小，此时，
即，得，结合
所以，解得
直线的方程为.正确
故选：BCD
28．（多选题）（湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题）在边长为1的正方体中，分别为棱的中点，为正方形的中心，动点平面，则（ ）
A．正方体被平面截得的截面面积为
B．若，则点的轨迹长度为
C．若，则的最小值为
D．将正方体的上底面绕点旋转，对应连接上、下底面各顶点，得到一个侧面均为三角形的十面体，则该十面体的体积为
【答案】ACD
【解析】对于A，连接并延长，与所在直线交于点，连接，交于点，交直线于点，连接，交于点，连接，如图所示，则正方体被平面截得的截面为六边形，
连接，则，
因为为正方体，所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，又分别为棱的中点，所以，
所以，则点为中点，，
同理可得，，
所以六边形为正六边形，则，故A正确；
对于B，由A可知，平面即为平面，
以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，连接，取中点，连接，如图所示，
则，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
因为，所以，令，则，
因为，所以，所以平面，
又平面，所以，
因为，，
所以，
所以点的轨迹为以为圆心半径为的圆，点的轨迹长度为，故B错误；
对于C，因为，所以为靠近的三等分点，则，
连接，由，，得，
所以，所以关于平面的对称点为点，
所以，故C正确；
对于D，如图所示，即为侧面均为三角形的十面体，在平面，以为对角线作正方形，连接，则是上底和下底都是正方形的四棱台，底面边长为和1，高为1，
所以，
因为，
所以，故D正确；
故选：ACD．
29．（多选题）（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题）已知，且，则（ ）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【解析】对于选项A，由得，，又，可得，
所以，又，所以，故选项A正确；
对于选项B，易知，，所以，当且仅当时取等号，所以选项B错误；
对于选项C，由选项A知，所以，得到，
所以，所以，整理得，所以选项C正确；
对于选项D，由得到，，得，所以选项D正确.
故选：ACD.
30．（多选题）（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题）已知首项为1的正项数列的前项和为，且，设数列的前项和为，则（ ）
A．为等比数列B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由题意可得，即，得或，
若，则，则，这与矛盾，所以不成立；
若，则，所以数列是首项为1，公比为9的等比数列，即，故A正确；
由，可得，两式相减得，，且时，，即，得，
那么，故故B错误；
当时，，
当时，，
当时，符合上式，故，即，故C正确；
易得时，，故D正确.
故选：ACD.
31．（多选题）（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期8月入学考试数学试题）若S，T为某空间几何体表面上的任意两点，则这两点的距离的最大值称为该几何体的线长度.已知圆锥的底面直径与线长度分别为2，4，正四棱台的线长度为6，且，则（ ）
A．圆锥的体积为
B．与底面所成角的正切值为3
C．圆锥内切球的线长度为
D．正四棱台外接球的表面积为
【答案】BC
【解析】因为圆锥的底直径与线长度分别为2，4，所以圆锥的母线长为4，高为，则圆锥的体积为，A错误．
设圆锥内切球的半径为r，则相似三角形知识知道，即，
得到，解得，所以圆锥内切球的线长度为，C正确.
因为，所以，所以．
过A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则，
所以，则.
与底面所成的角为，且，B正确.
设正四棱台外接球的半径为R，球心为N，
设正四棱台上、下底面的中心分别为，
则，且N在上.
设，由，得，解得，
则正四棱台外接球的表面积为，D错误.
故选：BC.
32．（多选题）（湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点，，都在抛物线上，且，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线方程为B．F是的重心
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由在抛物线上可得，即抛物线方程为，错误；
对于B，分别取的中点，则，，即在中线上，同理可得也在中线上，所以是的重心，正确；
对于C，由抛物线的定义可得，
所以.
由是的重心，所以，即，
所以，正确；
对于D，，；
同理,，
所以，正确.
故选：BCD.
33．（多选题）（湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题）已知函数是的导函数，则（ ）
A．“”是“为奇函数”的充要条件
B．“”是“为增函数”的充要条件
C．若不等式的解集为且，则的极小值为
D．若是方程的两个不同的根，且，则或
【答案】ACD
【解析】对于A中，当时，函数，则满足，
所以为奇函数，所以充分性成立；
若为奇函数，则，
则恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正确；
对于B中，当时， ，可得，所以为增函数；
由，当为增函数时，，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，所以B错误；
对于C中，由，若不等式的解集为且，
则在上先增后减再增，则，解得，
故，可得，
令，解得或，
当内，，单调递增；
当内，，单调递减；
当内，，单调递增，
所以的极小值为，所以C正确．
对于D中，由，因为是方程的两个不同的根，
所以，即，且，
由，可得，所以，即，
联立方程组，可得，解得或，所以D正确．
故选：ACD．
34．（多选题）（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）已知首项为1的数列满足，记的前项和为，则（ ）
A．可能为等差数列
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【解析】由题意可得或.
注意到若存在使得，则，
对于C项，只能满足，得，
当时也符合，此时，故数列为等差数列，故A正确；
，故C正确；
若，则，故，故B错误；
此时，奇偶分类讨论有，则，故D正确，
故选:ACD.
35．（多选题）（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）已知函数是偶函数，点，点，点在函数的图象上，且，记边上的高为h，则（ ）
A．B．函数是减函数
C．点B可能在以为直径的圆上D．h的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，由是偶函数得到，
则，解得，故A正确；
对于B选项，，
故，且恒成立，
故得为减函数，故B正确；
对于C选项，由B知，即，
由对称性，可设，则．
若点B在以为直径的圆上，则有，
带入即，
即．
若，则，不满足题意；
若，，而，
，
故B不可能在以为直径的圆上，故C错误；
对于D选项，过点B作x轴的垂线交于点D，则（当且仅当时取等），
而，记，
则，
当且仅当的时候取等，即时取等，所以两个不等号能同时取等，
故h的最大值为，故D正确．
故答案选：ABD
36．（多选题）（湖南省部分学校2025届高三上学期8月开学考试数学试题）已知函数的图象关于直线对称，最小正周期，若将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ）
A．
B．
C．在上的值域为
D．在上单调递增
【答案】ACD
【解析】依题意由可得，解得，
又可知；
将代入可得，又因为可得;
因此可得，即A正确；
对于B,将的图象向左平移个单位长度后，得到函数，
因此B错误；
对于C，当时可得，
根据余弦函数性质可得，可得C正确；
对于D，令，解得；
易知当时，可得在上单调递增，即D正确.
故选：ACD
37．（多选题）（湖南省部分学校2025届高三上学期8月开学考试数学试题）已知函数的定义域为，若，且在上单调递增，，则（ ）
A．B．
C．是奇函数D．
【答案】ABD
【解析】对于A，令，得，则，
由在上单调递增，得不恒为1，因此，A正确；
对于B，令，得，则，
而，因此，B正确；
对于C，，取，则，
即有，因此函数是偶函数，又时，，
则函数不是奇函数，C错误；
对于D，，令，则，
当时，；当时，，，，
因此，当时，，，
所以，D正确.
故选：ABD
38．（多选题）（湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测数学试题）“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（ ）
A．点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6
B．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7
C．若，P是半椭圆上的一个动点，则cs∠APB的最小值为
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，
则，，
则，
当位于椭圆的下顶点时取等号，
所以△OAB面积的最大值为6，故A正确；
对于B，半圆上的点到点的距离都是，
半椭圆上的点到点的距离的最小值为，最大值为，
所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B正确；
对于C，是椭圆的两个焦点，
在△PAB中，，由余弦定理知：
，
当且仅当时取等号，
所以cs∠APB的最小值为，故C错误；
对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为，
该点在蒙日圆上，半径为
此时蒙日圆方程为：，故D正确．
故选：ABD．
39．（多选题）（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题）已知定义在区间上的函数，其中，若函数恰有两个极值点，设其极大值､极小值分别记为.则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．实数的取值范围为
C．
D．
【答案】ABC
【解析】因为，其中，则，
所以函数f'x的图象关于直线对称，所以选项A正确；
因为f'x在上单调递减，在上单调递增，
因为在上有两个极值点，且，
所以，解得，所以选项B正确；
因为存在，使得，
当或时，f'x>0；当时，f'x0，单调递增；
当时，f'x