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    山东省实验中学2025届高三上学期第一次诊断考试数学试题(Word版附答案)

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    这是一份山东省实验中学2025届高三上学期第一次诊断考试数学试题(Word版附答案),共11页。试卷主要包含了10,已知集合,则下列结论正确的是,在的展开式中,常数项为,若,则,已知,下列说法正确的是等内容,欢迎下载使用。

    说明:本试卷满分150分。试题答案请用2B铅笔和0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上,书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟。
    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
    1.已知集合,则下列结论正确的是
    A.B.C.D.
    2.在的展开式中,常数项为
    A.B.C.D.
    3.已知为奇函数,则曲线在点处的切线方程为
    A.B.C.D.
    4.在中,“”是“”的
    A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
    5.由这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有
    A.98个B.105个C.112个D.210个
    6.已知函数在R上满足,且当时,成立,若,则的大小关系是
    A.B.C.D.
    7.若,则
    A.-1B.1C.D.-1或
    8.已知函数,若有6个零点,则的取值范围是
    A.B.C.[4,5]D.
    二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
    9.已知,下列说法正确的是
    A.若,则B.若,则
    C.D.
    10.已知分别为随机事件A,B的对立事件,,则
    A.B.
    C.若A,B独立,则D.若A,B互斥,则
    11.已知函数在区间上有两个不同的零点,,且,则下列选项正确的是
    A.的取值范围是B.
    C.D.
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.若,且,则___________.
    13.已知二次函数的值域为,则的最小值为___________.
    14.一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.现随机地将骰子抛掷三次(各次抛掷结果相互独立),其向上的点数依次为,则事件“”发生的概率为_____.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    15.(13分)已知函数.
    (1)求的值;
    (2)求函数的单调递增区间;
    (3)求函数在区间上的值域.
    16.(15分)设是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称,对任意,,都有,且.
    (1)求;
    (2)证明:函数的一个周期为2;
    (3)记,求.
    17.(15分)甲、乙两家公司进行公开招聘,招聘分为笔试和面试,通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目,且每门科目是否通过相互独立.若小明报考甲公司,每门科目通过的概率均为,报考乙公司,每门科目通过的概率依次为,其中.
    (1),分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率;
    (2)招聘规则要求每人只能报考一家公司,若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策,当小明更希望通过乙公司的笔试时,求的取值范围.
    18.(17分)已知函数;
    (1)求函数的极值;
    (2)若不等式当且仅当在区间上成立(其中e为自然对数的底数),求ab的最大值;
    (3)实数m,n满足,求证:.
    19.(17分)已知定义域为的函数是关于的函数,给定集合U且,当取U中不同的数值时可以得到不同的函数.例如:定义域为的函数,当时,有,若存在非空集合满足当且仅当时,函数在上存在零点,则称是上的“悦动函数”.
    (1)设,若函数是上的“悦动函数”,求集合;
    (2)设,若不存在集合使为上的“悦动函数”,求所有满足条件的集合的并集;
    (3)设为上的“悦动函数”,满足,,若对于任意,均有的零点,求实数的最大值.
    山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试
    数学试题答案2024.10
    一、单项选择题
    BCDADBCD
    二、多项选择题
    BCDACDBCD
    三、填空题
    四、解答题
    15.(13分)解:(1)
    ……………………..3分
    则;………………………………………………………5分
    (2)令:,解得
    的单调递增区间为:;……………………………9分
    (3)因为…………………………………………11分
    ,
    在区间上的值域为:.………………………………………13分
    16.(15分)解:(1)因为对任意的,都有,
    所以,……………………………………1分
    又,
    ,……………………3分
    ………………………………………………………………5分
    (2)因为的图象关于直线对称,故,
    即……………………………………………………………7分
    又是偶函数,
    所以,……………………………………………………………9分
    ,
    将上式中以代换,得(这一步不写不扣分)
    则是R上的周期函数,且2是它的一个周期……………………………………………10分
    (3)由(1)知,
    ………………………………………………………………12分
    所以……………………………………………………………………………………15分
    的一个周期是2,
    ,因此.……………………………………………………………15分
    17.(15分)解:(1)设小明报考甲公司恰好通过一门笔试科目为事件,小明报考乙公司恰好通过一门笔试科目为事件,………………………………………………………………………………………1分
    根据题意可得,……………………………………………………………3分
    ..……………………………………………………6分
    (2)设小明报考甲公司通过的科目数为,报考乙公司通过的科目数为,
    根据题意可知,,则,……………………………………………8分
    的取值为0,1,2,3,…………………………………………………………………………………………9分
    ………………………………………………………………………………13分
    所以,……………………………………………14分
    令,即,解得,
    即的取值范围是……………………………………………………………………………15分
    18.(17分)解:(1)由函数,得
    ,…………………………………………………………………………………………1分
    当时,,当时,,
    则函数在上单调递减,在上单调递增,…………………………………………3分
    所以当时,函数取得极小值,无极大值.…………………………………………………4分
    (2)(法一)函数,求导得,函数在上单调递增,
    依题意,,即,解得,…………………………………………………6分
    当时,令,
    ,所以在单调递增,………………………………7分
    因为,所以存在唯一实数
    在上,,在,
    所以在上单调递减,在上单调递增,………………………………………………8分
    因为,

    所以不等式在区间上成立………………………………………9分
    于是,当且仅当时取等号,
    所以ab的最大值是.………………………………………………………………………………10分
    (法二),……………………………………………………5分
    令,则,
    若,则恒成立,所以在单调递增,…………………………………………7分
    所以,即.
    所以,当时,ab取最大值.…………………………………………………8分
    若,因为,所以当时,不等式在成立,不合题意,当时,.…9分
    综上ab的最大值.……………………………………………………………………………10分
    (3)(法一)依题意,,……11分
    令,由,得,令,求导得,
    函数在上单调递增,,因此,
    即,于是;
    ,…………………14分
    令,求导得,函数在上单调递减,
    ,…………………………………………………………………………………16分
    因此,即,则,
    所以…………………………………………………………17分
    (法二)
    .……………………………………………………………………………13分
    令,则
    当时,,所以在上单调递增,
    当时,,所以在上单调递减,
    所以,即,………………………………………………………15分
    所以成立,即原不等式成立.………………17分
    19.(17分)解:(1)依题意,所求的A为使得在上有零点的全体。
    由于在上有零点,
    等价于关于的方程在上有解,
    注意到当时,的取值范围是(0,9],…………………………………………………………2分
    故关于的方程在上有解,
    当且仅当,从而所求.………………………………………………………………4分
    (2)依题意,不存在集合A使为A上的“悦动函数”,
    当且仅当对任意的在上都不存在零点.
    这表明,全体满足条件的的并集,
    就是使得在上不存在零点的全体构成的集合。
    从而我们要求出全部的,
    使得在上没有零点,
    即关于的方程在上没有解.………………………………6分
    该方程在上可等价变形为,
    ①当时,方程恒无解,…………………………………………………………………………7分
    ②当时,可变形为.
    因为,所以令,解得或分
    综上,使得在上没有零点的构成的集合为,
    故所求的集合为.…………………………………………………………………10分
    (3)首先用数学归纳法证明:对任意正整数,有.
    当时,有,故结论成立;
    假设结论对成立,即,则有:
    故结论对也成立。
    综上,对任意正整数,有。
    当为奇数时,对,
    有,
    所以在上没有零点;
    当为偶数时,对,
    有,
    ,
    从而在上一定存在零点,
    所以在上一定有零点.
    故对在上有零点当且仅当是偶数.……………………………………………13分
    因此,只需要求实数的最大值,使得对于任意,
    均有的零点.
    我们现在有,
    由于当时,

    故在上的零点必定大于2.
    而对任意给定的,我们定义函数,
    则。
    取,
    则当时,
    有,
    这表明在上单调递减,
    所以当时,
    有,
    取正整数,使得且,
    则我们有
    ,
    但我们又有,
    这表明在上必有一个零点,
    从而在上必有一个满足的零点.………………………………………16分
    综上所述,的最大值是2.……………………………………………………………………………17分
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