山东省实验中学2025届高三上学期第一次诊断考试数学试题（Word版附答案）

这是一份山东省实验中学2025届高三上学期第一次诊断考试数学试题（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了10，已知集合,则下列结论正确的是，在的展开式中,常数项为，若,则，已知,下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

说明：本试卷满分150分。试题答案请用2B铅笔和0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,则下列结论正确的是
A.B.C.D.
2.在的展开式中,常数项为
A.B.C.D.
3.已知为奇函数,则曲线在点处的切线方程为
A.B.C.D.
4.在中,“”是“”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.由这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有
A.98个B.105个C.112个D.210个
6.已知函数在R上满足,且当时,成立,若,则的大小关系是
A.B.C.D.
7.若,则
A.-1B.1C.D.-1或
8.已知函数,若有6个零点,则的取值范围是
A.B.C.[4,5]D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
9.已知,下列说法正确的是
A.若，则B.若,则
C.D.
10.已知分别为随机事件A,B的对立事件,,则
A.B.
C.若A,B独立,则D.若A,B互斥,则
11.已知函数在区间上有两个不同的零点,,且,则下列选项正确的是
A.的取值范围是B.
C.D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若,且,则___________.
13.已知二次函数的值域为,则的最小值为___________.
14.一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.现随机地将骰子抛掷三次（各次抛掷结果相互独立），其向上的点数依次为，则事件“”发生的概率为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)已知函数.
（1）求的值;
(2)求函数的单调递增区间;
(3)求函数在区间上的值域.
16.(15分)设是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称,对任意,,都有,且.
(1)求;
(2)证明:函数的一个周期为2;
(3)记,求.
17.（15分）甲、乙两家公司进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立.若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为，报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，其中.
（1），分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（2）招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围.
18.(17分)已知函数；
（1）求函数的极值;
（2）若不等式当且仅当在区间上成立（其中e为自然对数的底数),求ab的最大值;
（3）实数m,n满足,求证:.
19.(17分)已知定义域为的函数是关于的函数,给定集合U且，当取U中不同的数值时可以得到不同的函数.例如：定义域为的函数，当时，有，若存在非空集合满足当且仅当时，函数在上存在零点,则称是上的“悦动函数”.
（1）设，若函数是上的“悦动函数”，求集合；
（2）设,若不存在集合使为上的“悦动函数”，求所有满足条件的集合的并集；
（3）设为上的“悦动函数”，满足，，若对于任意，均有的零点，求实数的最大值.
山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试
数学试题答案2024.10
一、单项选择题
BCDADBCD
二、多项选择题
BCDACDBCD
三、填空题
四、解答题
15.（13分）解：（1）
……………………..3分
则；………………………………………………………5分
（2）令:,解得
的单调递增区间为:；……………………………9分
（3）因为…………………………………………11分
,
在区间上的值域为:.………………………………………13分
16.（15分）解：（1）因为对任意的,都有,
所以,……………………………………1分
又,
,……………………3分
………………………………………………………………5分
（2）因为的图象关于直线对称，故,
即……………………………………………………………7分
又是偶函数,
所以,……………………………………………………………9分
,
将上式中以代换,得（这一步不写不扣分）
则是R上的周期函数，且2是它的一个周期……………………………………………10分
(3)由（1）知,
………………………………………………………………12分
所以……………………………………………………………………………………15分
的一个周期是2,
,因此.……………………………………………………………15分
17.（15分）解：（1）设小明报考甲公司恰好通过一门笔试科目为事件，小明报考乙公司恰好通过一门笔试科目为事件，………………………………………………………………………………………1分
根据题意可得，……………………………………………………………3分
..……………………………………………………6分
(2)设小明报考甲公司通过的科目数为，报考乙公司通过的科目数为，
根据题意可知，，则，……………………………………………8分
的取值为0,1,2,3,…………………………………………………………………………………………9分
………………………………………………………………………………13分
所以,……………………………………………14分
令,即,解得,
即的取值范围是……………………………………………………………………………15分
18.(17分)解:（1）由函数，得
,…………………………………………………………………………………………1分
当时,,当时,,
则函数在上单调递减,在上单调递增,…………………………………………3分
所以当时,函数取得极小值,无极大值.…………………………………………………4分
(2)(法一)函数,求导得,函数在上单调递增,
依题意,,即,解得,…………………………………………………6分
当时，令，
,所以在单调递增,………………………………7分
因为,所以存在唯一实数
在上,,在，
所以在上单调递减,在上单调递增,………………………………………………8分
因为,
又
所以不等式在区间上成立………………………………………9分
于是,当且仅当时取等号,
所以ab的最大值是.………………………………………………………………………………10分
（法二），……………………………………………………5分
令,则,
若,则恒成立,所以在单调递增,…………………………………………7分
所以,即.
所以,当时,ab取最大值.…………………………………………………8分
若,因为,所以当时,不等式在成立,不合题意,当时,.…9分
综上ab的最大值.……………………………………………………………………………10分
（3）（法一）依题意，,……11分
令,由,得,令,求导得,
函数在上单调递增,,因此,
即,于是;
,…………………14分
令,求导得,函数在上单调递减,
,…………………………………………………………………………………16分
因此,即,则,
所以…………………………………………………………17分
(法二)
.……………………………………………………………………………13分
令,则
当时,,所以在上单调递增,
当时,,所以在上单调递减,
所以,即,………………………………………………………15分
所以成立,即原不等式成立.………………17分
19.（17分）解：（1）依题意，所求的A为使得在上有零点的全体。
由于在上有零点，
等价于关于的方程在上有解，
注意到当时，的取值范围是(0,9]，…………………………………………………………2分
故关于的方程在上有解,
当且仅当,从而所求.………………………………………………………………4分
（2）依题意，不存在集合A使为A上的“悦动函数”，
当且仅当对任意的在上都不存在零点.
这表明，全体满足条件的的并集，
就是使得在上不存在零点的全体构成的集合。
从而我们要求出全部的,
使得在上没有零点，
即关于的方程在上没有解.………………………………6分
该方程在上可等价变形为，
①当时，方程恒无解，…………………………………………………………………………7分
②当时,可变形为.
因为,所以令,解得或分
综上，使得在上没有零点的构成的集合为，
故所求的集合为.…………………………………………………………………10分
（3）首先用数学归纳法证明：对任意正整数，有.
当时,有,故结论成立;
假设结论对成立，即，则有:
故结论对也成立。
综上，对任意正整数，有。
当为奇数时，对，
有,
所以在上没有零点；
当为偶数时，对，
有，
,
从而在上一定存在零点,
所以在上一定有零点.
故对在上有零点当且仅当是偶数.……………………………………………13分
因此,只需要求实数的最大值,使得对于任意,
均有的零点.
我们现在有，
由于当时，
有
故在上的零点必定大于2.
而对任意给定的，我们定义函数，
则。
取,
则当时，
有,
这表明在上单调递减,
所以当时，
有，
取正整数,使得且,
则我们有
,
但我们又有,
这表明在上必有一个零点,
从而在上必有一个满足的零点.………………………………………16分
综上所述,的最大值是2.……………………………………………………………………………17分