专题1.5 二次函数与一元二次方程、不等式（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc10329" 【题型1 不含参一元二次不等式的解法】 PAGEREF _Tc10329 \h 3
\l "_Tc3022" 【题型2 含参一元二次不等式的解法】 PAGEREF _Tc3022 \h 4
\l "_Tc12291" 【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】 PAGEREF _Tc12291 \h 6
\l "_Tc30231" 【题型4 其他不等式的解法】 PAGEREF _Tc30231 \h 7
\l "_Tc28789" 【题型5 一元二次不等式根的分布问题】 PAGEREF _Tc28789 \h 10
\l "_Tc11640" 【题型6 二次函数的单调性、最值问题】 PAGEREF _Tc11640 \h 11
\l "_Tc31817" 【题型7 一元二次不等式恒成立问题】 PAGEREF _Tc31817 \h 13
\l "_Tc8123" 【题型8 一元二次不等式有解问题】 PAGEREF _Tc8123 \h 15
1、二次函数与一元二次方程、不等式
【知识点1 一元二次不等式】
1．一元二次不等式的解法
(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
②计算对应方程的判别式；
③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
2．分式、高次、绝对值不等式的解法
(1)解分式不等式的一般步骤：
①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
(2)解高次不等式的一般步骤：
高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.
(3)解绝对值不等式的一般步骤：
对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.
3．一元二次不等式恒成立、存在性问题
不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ≤0.))
【方法技巧与总结】
1．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足；
2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
3．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足；
4．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
【题型1 不含参一元二次不等式的解法】
【例1】（2023·广东珠海·模拟预测）不等式x2+x−6<0的解集是（ ）
A．−6,1B．−1,6C．−2,3D．−3,2
【解题思路】利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集.
【解答过程】由x2+x−6<0得x−2x+3<0，解得−3故原不等式的解集为−3,2.
故选：D.
【变式1-1】（2024·天津·一模）设x∈R，则“x<0”是“x2−x>0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】解出不等式x2−x>0后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.
【解答过程】由x2−x>0，解得x>1或x<0，
故“x<0”是“x2−x>0”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式1-2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）不等式x2−1<3x+1的解集是（ ）
A．x∣x<4B．x∣−4C．x∣−14
【解题思路】将不等式化简成一元二次不等式的标准形式，即可求得结果.
【解答过程】由不等式x2−1<3x+1可得x2−3x−4<0，
即x−4x+1<0，可得−1因此不等式x2−1<3x+1的解集是x∣−1故选：C.
【变式1-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知命题p：集合A=xx2+x−2>0，命题q：集合B=xx2+2x−3>0，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【解题思路】解出集合A、B，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【解答过程】∵A=xx2+x−2>0=xx+2x−1>0=xx<−2或x>1，B=xx2+2x−3>0=xx+3x−1>0=xx<−3或x>1，
∴ B是A的真子集，
因此，p是q的必要不充分条件.
故选：B.
【题型2 含参一元二次不等式的解法】
【例2】（23-24高一上·海南海口·期中）若0A．x1m1m或xmD．xm【解题思路】根据0m，从而写出x−mx−1m<0的解集.
【解答过程】因为0m，
所以x−mx−1m<0的解集为xm故选：D.
【变式2-1】（23-24高一上·山东·阶段练习）不等式ax2−a+1x+1≥0a<0的解集为（ ）.
A．x1a≤x≤1B．x1≤x≤1a
C．xx≤1a或x≥1D．xx≤1或x≥1a
【解题思路】由一元二次不等式的解法求解.
【解答过程】原不等式可化为ax−1x−1≥0即a(x−1a)(x−1)≥0，而a<0，故1a<1，
y=ax2−(a+1)x+1图象开口向下，故原不等式的解集为x1a≤x≤1.
故选：A.
【变式2-2】（23-24高一上·河南开封·期中）关于x的不等式ax2−a+1x+1<0的解集不可能是（ ）
A．∅B．xx>1C．x11a
【解题思路】将原不等式化为ax−1x−1<0，再分类讨论a的取值情况进行求解.
【解答过程】由题意，原不等式可化为ax−1x−1<0
当a=0时，原不等式为−x+1<0，解得x>1，原不等式的解集为xx>1；
当a>1时，0<1a<1，原不等式的解集为x|1a当01，原不等式的解集为x|1当a=1时，1a=1，原不等式的解集为∅；
当a<0时，1a<1，原不等式的解集为x|x<1a或x>1；
综上，当a=0时，原不等式的解集为xx>1；
当a>1时，原不等式的解集为x|1a当0当a=1时，原不等式的解集为∅；
当a<0时，原不等式的解集为x|x<1a或x>1；
故不可能的解集为x|x<1或x>1a.
故选：D.
【变式2-3】（23-24高一上·浙江台州·期中）不等式ax2+bx+c>0的解集为x−3A．a+b+c<0
B．9a+3b+c>0
C．不等式cx2+ax+b>0的解集为x−13D．不等式cx2+bx+a>0的解集为xx>12或x<−13
【解题思路】赋值法可解AB，消去参数可解CD.
【解答过程】记fx=ax2+bx+c，因为1∈x−3所以f1=a+b+c>0，故A错误；
因为3∉x−3所以f3=9a+3b+c≤0，故B错误；
由题知−3和2是方程ax2+bx+c=0的两个实根，
所以−ba=−3+2=−1，ca=−3×2=−6且a<0
解得b=a,c=−6a
故cx2+ax+b=−a6x2−x−1>0⇔6x2−x−1>0⇔x>12或x<−13，C错误；
cx2+bx+a=−a6x2−x−1>0⇔6x2−x−1>0⇔x>12或x<−13，D正确；
故选：D.
【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】
【例3】（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于x的不等式x2−m+1x+m<0的解集中恰有三个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．−3,−2∪4,5B．−2,−1∪4,5C．−3,1∪4,5D．−3,5
【解题思路】分类讨论x2−(m+1)x+m=0的两根大小，结合已知条件，通过求一元二次不等式即可求解.
【解答过程】原不等式可化为(x−1)(x−m)<0，
当m>1时，得1当m<1时，得m综上所述，m的取值范围是[−3,−2)∪(4,5].
故选：A.
【变式3-1】（2024·广东·一模）已知a,b,c∈R且a≠0，则“ax2+bx+c>0的解集为xx≠1”是“a+b+c=0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】
根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.
【解答过程】由题意，二次不等式ax2+bx+c>0的解集为xx≠1，
则等价于a>0−b2a=1Δ=b2−4ac=0，即a=c>0,b=−2a，即a+b+c=0，
当a+b+c=0时，不能推出a=c>0,b=−2a，
所以“ax2+bx+c>0的解集为xx≠1”是“a+b+c=0”的充分不必要条件，
故选：A.
【变式3-2】（23-24高三上·云南德宏·期末）已知关于x的不等式x2−ax+b≤0的解集为x2≤x≤3，则关于x的不等式x2−bx+a<0的解集为（ ）
A．x2C．x2【解题思路】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出a、b的值，再解不等式.
【解答过程】根据题意，方程x2−ax+b=0的两根为2和3，
则a=2+3=5,b=2×3=6，
则x2−bx+a<0为x2−6x+5<0，其解集为x1故选：D.
【变式3-3】（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于x的不等式x2−ax−6a<0的解集是{x|mA．−25,−24B．0，1
C．−25,−24∪0，1D．−25,−24∪0，1
【解题思路】先求出m=a−a2+24a2，n=a+a2+24a2，再根据n−m≤5，即可求出．
【解答过程】关于x的不等式x2−ax−6a<0的解集是{x|m∴m,n是方程x2−ax−6a=0的两个根，
∴Δ=a2+24a>0即a(a+24)>0，
∴a<−24或a>0，
∴m=a−a2+24a2，n=a+a2+24a2，
∵n−m≤5，
∴a+a2+24a2−a−a2+24a2≤5，
即a2+24a−25≤0，
即(a−1)(a+25)≤0，
解得−25≤a≤1，
综上所述−25≤a<−24，或0故选：D.
【题型4 其他不等式的解法】
【例4】（23-24高一上·湖南长沙·期末）解下列不等式：
(1)2xx−1≥4；
(2)2x−3+x−2≤3.
【解题思路】（1）将分式不等式化为2x−2x−1≤0且x≠1，求出解集；
（2）将绝对值不等式化为分段函数，零点分段法求解绝对值不等式.
【解答过程】（1）不等式2xx−1≥4，移项得2xx−1−4≥0，通分得4−2xx−1≥0，
可转化为2x−2x−1≤0且x≠1，
解得1（2）令y=2x−3+x−2=3x−5,x≥2,x−1,32当x≥2时，3x−5≤3，解得x≤83，即x∈2,83；
当32当x≤32时，−3x+5≤3，解得x≥23，即x∈23,32；
综上所述：不等式解集为x23≤x≤83.
【变式4-1】（23-24高一上·江苏扬州·期中）求下列不等式的解集
(1)3x−1x+1>4；
(2)2x−3x+1<1
(3)x+2<1
【解题思路】（1）将原不等式3x−1x+1>4等价转换为x−13x+5>0，解一元二次不等式即可.
（2）将原不等式2x−3x+1<1等价转换为x+1x−4<0，解一元二次不等式即可.
（3）将原不等式x+2<1等价转换为x+1x+3<0，解一元二次不等式即可.
【解答过程】（1）由题意3x−1x+1>4⇔3x2+2x−1>4⇔3x2+2x−5>0⇔x−13x+5>0，
解不等式得x<−53或x>1，
从而不等式3x−1x+1>4的解集为−∞,−53∪1,+∞.
（2）由题意2x−3x+1<1⇔x−4x+1<0⇔x+1x−4<0，
解不等式得−1从而不等式2x−3x+1<1的解集为−1,4.
（3）由题意x+2<1⇔x+22−12<0⇔x+1x+3<0，
解不等式得−3从而不等式x+2<1的解集为−3,−1.
【变式4-2】（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）解下列不等式：
(1)5−xx2−2x−3<−1；
(2)(x−1)(x+2)2≥0.
【解题思路】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.
【解答过程】（1）5−xx2−2x−3<−1⇔x2−3x+2x2−2x−3<0⇔(x+1)(x−1)(x−2)(x−3)<0，由数轴标根法得，解集为(−1,1)∪(2,3)；
（2）(x−1)(x+2)2≥0⇔x−1≥0x+2≠0或x+2=0，
易得解集为{−2}∪[1,+∞).
【变式4-3】（2023高一·上海·专题练习）解下列关于x的不等式．
(1)x+4x+522−x3<0；
(2)x2−4x+13x2−7x+2<1．
【解题思路】（1）由题意不等式等价于x≠−5x+4x−23>0，由零点标根法画图即可求解.
（2）由题意不等式等价于(2x−1)(x−1)(3x−1)(x−2)>0，由零点标根法画图即可求解.
【解答过程】（1）原不等式等价于x+4x+52x−23>0，
所以x≠−5x+4x−23>0，
如图所示：
解得x<−4或x>2且x≠−5，
所以原不等式解集为x|x<−5或−52.
（2）由x2−4x+13x2−7x+2<1得，−2x2+3x−13x2−7x+2<0，
∴原不等式等价于2x−1x−13x−1x−2>0，即(2x−1)(x−1)(3x−1)(x−2)>0，
如图所示：
解得x<13 或122，
所以原不等式的解集为{x|x<13 或122}．
【题型5 一元二次不等式根的分布问题】
【例5】（2024高三·全国·专题练习）关于x的方程ax2+a+2x+9a=0有两个不相等的实数根x1,x2，且x1<1A．−2725
C．a<−27D．−211【解题思路】说明a=0时，不合题意，从而将ax2+a+2x+9a=0化为x2+1+2ax+9=0，令y=x2+1+2ax+9，结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.
【解答过程】当a=0时，ax2+a+2x+9a=0即为2x=0，不符合题意；
故a≠0，ax2+a+2x+9a=0即为x2+1+2ax+9=0，
令y=x2+1+2ax+9，
由于关于x的方程ax2+a+2x+9a=0有两个不相等的实数根x1,x2，且x1<1则y=ax2+a+2x+9a与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，
故x=1时，y<0，即1+1+2a×1+9<0，解得2a<−11，故−211故选：D.
【变式5-1】（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于x的方程x2−2ax+a+2=0在区间−2,1上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．−65,−1B．−65,1
C．−∞,−65∪−1,+∞D．−∞,−65∪1,+∞
【解题思路】
令gx=x2−2ax+a+2，依题意可得Δ>0−20g1>0，解得即可.
【解答过程】
令gx=x2−2ax+a+2，因为方程x2−2ax+a+2=0在区间−2,1上有两个不相等的实数解，
所以Δ>0−20g1>0，即Δ=4a2−4a+2>0−201−2a+a+2>0，解得−65所以a的取值范围是−65,−1．
故选：A．
【变式5-2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数aA．aC．a【解题思路】由题可知x1+x2=a+b，再利用中间量m，根据x1+x2与x1x2之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、x1、x2之间的关系.
【解答过程】由题可得：x1+x2=a+b，x1x2=ab+1.由a0，所以m>0.故x1>a，x2故选：A.
【变式5-3】（23-24高三·全国·阶段练习）方程x2+(m−2)x+5−m=0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则m的取值范围是（ ）
A．(−5,−4)B．−133,−2C．−133,−4D．(−5,−2)
【解题思路】令f(x)=x2+(m−2)x+5−m，由二次函数根的分布性质有f(2)>0，f(3)<0)，f(4)>0，求得m的取值范围.
【解答过程】令f(x)=x2+(m−2)x+5−m，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2,3)内，
另一根在区间（3，4）内，
只需f(2)>0f(3)<0f(4)>0，即4+2(m−2)+5−m>09+3(m−2)+5−m<016+4(m−2)+5−m>0，
解不等式组可得−133故选：C.
【题型6 二次函数的单调性、最值问题】
【例6】（23-24高一上·江苏南京·期末）若函数fx=x2−mx+3在区间−∞,2上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A．−∞,2B．2,+∞C．−∞,4D．4,+∞
【解题思路】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解.
【解答过程】因为函数fx=x2−mx+3在区间−∞,2上单调递减，
所以m2≥2，解得m≥4.
故选：D.
【变式6-1】（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知函数f(x)=2x2−kx−8在[-2，1]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）
A．k≤-8B．k≥4C．k≤-8或k≥4D．-8≤k≤4
【解题思路】根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，建立条件求解即可.
【解答过程】函数f(x)=2x2−kx−8对称轴为x=k4，
要使f(x)在区间[-2，1]上具有单调性，则
k4≤−2或k4≥1，∴k≤−8或k≥4
综上所述k的范围是：k≤-8或k≥4.
故选：C.
【变式6-2】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若函数y=x2−2x−3的定义域为[−1,t]，值域为[−4,0]则实数t的取值范围为（ ）
A．1≤t≤3B．1C．−1【解题思路】利用分类讨论−11，求解t范围.
【解答过程】由y=x2−2x−3的定义域为−1，t，
对称轴为x=1,y=x2−2x−3
当−1而函数的值域为−4,0，则t2−2t−3=−4，解得t=1，故t=1，
当t>1时，y=x2−2x−3在−1，1单调递减，在1，t单调递增，
则ymin=12−2×1−3=−4，y=−12−2×−1−3=0，
y=t2−2t+3，故−4≤t2−2t−3≤0，解得−1≤t≤3，
故1综上所述，t的取值范围为1≤t≤3，
故选：A.
【变式6-3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=x2+ax+ba,b∈R的最小值为0，若关于x的不等式fxA．9B．8C．6D．4
【解题思路】先由fx=x2+ax+ba,b∈R的最小值为0，得到Δ=0，再由f(x)【解答过程】因为fx=x2+ax+ba,b∈R开口向上，最小值为0，
∴Δ=a2−4b=0,∴b=a24，
则f(x)=x2+ax+a24=x+a22，
∵f(x)即m,m+4是x2+ax+a24−c=0的两个不等实根，
所以m+m+4=−a，则m=−a−42，
∴c=f(m)=m+a22=−a−42+a22=4.
故选：D.
【题型7 一元二次不等式恒成立问题】
【例7】（2023·福建厦门·二模）不等式ax2−2x+1>0（a∈R）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．a>2B．a≥1C．a>1D．0【解题思路】
分a=0和a≠0两种情况讨论求出a的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【解答过程】当a=0时，−2x+1>0，得x<12，与题意矛盾，
当a≠0时，则a>0Δ=4−4a<0，解得a>1，
综上所述，a>1，
所以不等式ax2−2x+1>0（a∈R）恒成立的一个充分不必要条件是A选项.
故选：A.
【变式7-1】（2023·江西九江·模拟预测）无论x取何值时，不等式x2−2kx+4>0恒成立，则k的取值范围是（ ）
A．−∞,−2B．−∞,−4C．−4,4D．−2,2
【解题思路】由题知4k2−16<0，再解不等式即可得答案.
【解答过程】解：因为无论x取何值时，不等式x2−2kx+4>0恒成立，
所以，4k2−16<0，解得−2所以，k的取值范围是−2,2
故选：D.
【变式7-2】（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的x∈(0,+∞),x2−mx+1>0恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．(−2,2)B．(2,+∞)C．(−∞,2)D．(−∞,2]
【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.
【解答过程】∀x∈(0,+∞),x2−mx+1>0⇔m0时，x+1x≥2x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时取等号，
则m<2，所以m的取值范围是(−∞,2).
故选：C.
【变式7-3】（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当x∈−1,1时，不等式2kx2−kx−38<0恒成立，则k的取值范围是（ ）
A．−3,0B．−3,0C．−3,18D．−3,18
【解题思路】
对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.
【解答过程】当x∈−1,1时，不等式2kx2−kx−38<0恒成立，
当k=0时，满足不等式恒成立；
当k≠0时，令fx=2kx2−kx−38，则fx<0在−1,1上恒成立，
函数fx的图像抛物线对称轴为x=14，
k>0时，fx在−1,14上单调递减，在14,1上单调递增，
则有f−1=2k+k−38≤0f1=2k−k−38≤0，解得0k<0时，fx在−1,14上单调递增，在14,1上单调递减，
则有f14=2k16−k4−38<0，解得−3综上可知，k的取值范围是−3,18.
故选：D.
【题型8 一元二次不等式有解问题】
【例8】（2023·福建宁德·模拟预测）命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥1B．a≥4
C．a≥−2D．a≤4
【解题思路】根据能成立问题求a的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.
【解答过程】∵∃x∈[1,2],x2≤a，则x2min≤a，即a≥1，
∴a的取值范围1,+∞
由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为1,+∞的真子集，
结合选项可知B对应的集合为4,+∞为1,+∞的真子集，其它都不符合，
∴符合的只有B，
故选：B.
【变式8-1】（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式x2+mx−4>0在区间2,4上有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．−3,+∞B．0,+∞C．−∞,0D．−∞,−3
【解题思路】
利用二次函数的图象及根的分布计算即可.
【解答过程】易知Δ=m2+16>0恒成立，即x2+mx−4=0有两个不等实数根x1,x2，
又x1x2=−4<0，即二次函数y=x2+mx−4有两个异号零点，
所以要满足不等式x2+mx−4>0在区间2,4上有解，
所以只需42+4m−4>0，
解得m>−3，所以实数m的取值范围是−3,+∞．
故选A．
【变式8-2】（2023·河南·模拟预测）已知命题“∃x0∈−1,1，−x02+3x0+a>0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．−∞,−2B．−∞,4C．−2,+∞D．4,+∞
【解题思路】由题知x0∈−1,1时，a>x02−3x0min，再根据二次函数求最值即可得答案.
【解答过程】解：因为命题“∃x0∈−1,1，−x02+3x0+a>0”为真命题，
所以，命题“∃x0∈−1,1，a>x02−3x0”为真命题，
所以，x0∈−1,1时，a>x02−3x0min，
因为，y=x2−3x=x−322−94，
所以，当x∈−1,1时，ymin=−2，当且仅当x=1时取得等号.
所以，x0∈−1,1时，a>x02−3x0min=−2，即实数a的取值范围是−2,+∞
故选：C.
【变式8-3】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个x<0，使得关于x的不等式3−3x−a>x2+2x成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．−374,3B．−3,134C．−374,134D．−3,3
【解题思路】
化简不等式3−3x−a>x2+2x，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得a的取值范围.
【解答过程】依题意，至少存在一个x<0，使得关于x的不等式3−3x−a>x2+2x成立，
即至少存在一个x<0，使得关于x的不等式−x2−2x+3>3x−a成立，
画出y=−x2−2x+3x<0以及y=3x−a的图象如下图所示，其中−x2−2x+3>0.
当y=3x−a与y=−x2−2x+3x<0相切时，
由y=3x−ay=−x2−2x+3消去y并化简得x2+5x−a−3=0，
Δ=25+4a+12=0,a=−374.
当y=−3x+a与y=−x2−2x+3x<0相切时，
由y=−3x+ay=−x2−2x+3消去y并化简得x2−x+a−3=0①，
由Δ=1−4a+12=0解得a=134，代入①得x2−x+14=x−122=0，
解得x=12，不符合题意.
当y=−3x+a过0,3时，a=3.
结合图象可知a的取值范围是−374,3.
故选：A.
一、单选题
1．（2023·山东泰安·模拟预测）“c∈−23,23”是“∀x∈R,x2−cx+3≥0成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】化简“∀x∈R,x2−cx+3≥0成立”，再结合充分条件和必要条件的定义判断.
【解答过程】由∀x∈R,x2−cx+3≥0可得Δ=c2−4×3≤0，
化简可得−23≤c≤23，
所以“∀x∈R,x2−cx+3≥0成立”等价于“c∈−23,23”，
“c∈−23,23”可推出“∀x∈R,x2−cx+3≥0成立”，
“∀x∈R,x2−cx+3≥0成立”不能推出“c∈−23,23”
所以“c∈−23,23”是“∀x∈R,x2−cx+3≥0成立”的充分不必要条件，
故选：A.
2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）不等式x−1x−2023≥0的解集为（ ）
A．{x∣x≥2023或x≥1}B．{x∣x≤1或x≥2023}
C．x∣1≤x≤2023D．{x∣x<1或x>2023}
【解题思路】解一元二次不等式即可得解.
【解答过程】因为x−1x−2023≥0，所以x≥2023或x≤1，
故不等式x−1x−2023≥0的解集为{x∣x≤1或x≥2023}.
故选：B.
3．（2024·浙江·模拟预测）若不等式kx2+k−6x+2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围是（ ）
A．2≤k≤18B．−18C．2【解题思路】分类讨论k=0与k≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
【解答过程】当k=0时，不等式kx2+k−6x+2>0可化为−6x+2>0，显然不合题意；
当k≠0时，因为kx2+k−6x+2>0的解为全体实数，
所以k>0Δ=k−62−4k×2<0，解得2综上：2故选：C.
4．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式x2−3x<2−2x的解集是（ ）
A．−1,12B．−12,12C．−1,5−172D．5−172,12
【解题思路】按照x2−3x正负分类讨论取绝对值，运算得解.
【解答过程】当x2−3x≥0，即x≥3或x≤0时，
不等式x2−3x<2−2x等价于x2−3x<2−2x，即x2−x−2<0，
解得−1当x2−3x<0，即00，
解得x>5+172或x<5−172，所以0综上，不等式x2−3x<2−2x的解集是−1,5−172.
故选：C.
5．（2023·山东·模拟预测）若不等式2x2+bx+c<0的解集是(0,4)，函数f(x)=2x2+bx+c的对称轴是（ ）
A．x=2B．x=4C．x=52D．x=32
【解题思路】由一元二次不等式的解法与二次函数的性质求解．
【解答过程】解：∵不等式2x2+bx+c<0的解集是(0,4)，
∴x=0和x=4是方程2x2+bx+c=0的两个根，
∴−b2=0+4，∴b=−8，
∴函数f(x)=2x2+bx+c的对称轴是x=−b4=2．
故选：A．
6．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式ax2+bx+c>0的解为x−20的解集为（ ）
A．xx>3或x<−2B．xx>2或x<−3
C．x−2【解题思路】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【解答过程】一元二次不等式ax2+bx+c>0的解为x−2所以ax2+bx+c=0的解为x1=−2,x2=3，且a<0，
由韦达定理得x1+x2=−ba=1x1⋅x2=ca=−6⇒b=−ac=−6a，代入得
ax2+ax−6a>0⇒x2+x−6<0⇒−3故选：D.
7．（2023·辽宁鞍山·二模）已知当x>0时，不等式：x2−mx+16>0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．−8,8B．−∞,8C．−∞,8D．8,+∞
【解题思路】先由x2−mx+16>0得m【解答过程】当x>0时，由x2−mx+16>0得m因x>0，故x+16x≥2x×16x=8，当且仅当x=16x即x=4时等号成立，
因当x>0时，m故选：C.
8．（2023·河南·模拟预测）某同学解关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)时，因弄错了常数c的符号，解得其解集为(−∞,−3)∪ (−2,+∞)，则不等式bx2+cx+a>0的解集为（ ）
A．−1,−15B．(−∞,−1)∪−15,+∞
C．15,1D．−∞,15∪(1,+∞)
【解题思路】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得a,b,c的关系式，进而求得不等式bx2+cx+a>0的解集.
【解答过程】由题意可知a<0，且−3+(−2)=−ba,−3×(−2)=−ca，所以b=5a,c=−6a，
所以bx2+cx+a>0化为5x2− 6x+1<0，
5x−1x−1<0，解得15故选：C.
二、多选题
9．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式4x2−5x+1>0的解集是xx>14或x<1
B．不等式2x2−x−6≤0的解集是xx≤−32或x≥2
C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，则a的取值范围是∅
D．若关于x的不等式2x2+px−3<0的解集是q,1，则p+q的值为−12
【解题思路】
对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对a分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p,q，然后即可判断.
【解答过程】对于A，4x2−5x+1>0⇔x−14x−1>0⇔x<14或x>1，故A错误；
对于B，2x2−x−6≤0⇔x−22x+3≤0⇔−32≤x≤2，故B错误；
若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，
当a=0时，21<0是不可能成立的，
所以只能a<0Δ=64a2−84a<0，而该不等式组无解，综上，故C正确；
对于D，由题意得q,1是一元二次方程2x2+px−3=0的两根，
从而q×1=−322+p−3=0，解得p=1,q=−32，
而当p=1,q=−32时，一元二次不等式2x2+x−3<0⇔x−12x+3<0⇔−32所以p+q的值为−12，故D正确.
故选：CD.
10．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式a−1x2−2a−1x−4<0恒成立，则实数a可能是（ ）
A．−2B．0C．−4D．1
【解题思路】首先当a=1，不等式为−4<0恒成立，故满足题意；其次a≠1，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当a−1<0Δ<0，解不等式组即可.
【解答过程】当a=1时，不等式为−4<0恒成立，故满足题意；
当a≠1时，要满足a−1<0Δ<0，
而Δ=4a−12+16a−1=4a−1a+3，
所以解得−3综上，实数a的取值范围是−3,1；
所以对比选项得，实数a可能是−2，0，1.
故选：ABD.
11．（23-24高二上·山东威海·期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为−∞,−2∪3,+∞，则下列选项中正确的是（ ）
A．a<0
B．不等式bx+c>0的解集是x|x<−6
C．a+b+c>0
D．不等式cx2−bx+a<0的解集为(−∞,−13)∪(12,+∞)
【解题思路】根据给定的解集，用a表示出b,c，再逐项判断作答.
【解答过程】不等式ax2+bx+c>0的解集为−∞,−2∪3,+∞，则−2,3是方程ax2+bx+c=0的根，且a>0，
则−ba=1,ca=−6,a>0，即b=−a,c=−6a,a>0，A错误；
不等式bx+c>0化为−ax−6a>0，解得x<−6，即不等式bx+c>0的解集是x|x<−6，B正确；
a+b+c=−6a<0，C错误；
不等式cx2−bx+a<0化为−6ax2+ax+a<0，即6x2−x−1>0，解得x<−13或x>12，
所以不等式cx2−bx+a<0的解集为(−∞,−13)∪(12,+∞)，D正确.
故选：BD.
三、填空题
12．（2023·江西鹰潭·模拟预测）若命题p：“∃x∈R，k2−1x2+41−kx+3≤0”是假命题，则k的取值范围是 [1,7) .
【解题思路】本题首先可根据题意得出命题“∀x∈R,k2−1x2+4(1−k)x+3>0”是真命题，然后分为k=1,k=−1,k2−1≠0三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.
【解答过程】因为命题p：“∃x∈R，k2−1x2+41−kx+3≤0”是假命题，
所以命题“∀x∈R,k2−1x2+4(1−k)x+3>0”是真命题，
若k2−1=0，即k=1或k=−1，
当k=1时，不等式为3>0，恒成立，满足题意；
当k=−1时，不等式为8x+3>0，不恒成立，不满足题意；
当k2−1≠0时，则需要满足k2−1>0Δ=16(1−k)2−4×k2−1×3<0，
即(k−1)(k+1)>0(k−1)(k−7)<0，解得1综上所述，k的取值范围是[1,7).
故答案为：[1,7).
13．（2023·河南·模拟预测）已知函数y=kx−k与曲线y=x2−1x有三个交点，则k的取值范围是 −∞,−1∪3,+∞ .
【解题思路】将两曲线表达式联立，得出一元二次方程，利用判别式即可求出k的取值范围.
【解答过程】由题意，
函数y=kx−k与曲线y=x2−1x有三个交点，
y=kx−ky=x2−1x，则x−1x2+1−kx+1=0，
若直线y=kx−k与曲线y=x2−1x有三个交点，
只需满足方程x2+1−kx+1=0有两个不等于1和0的解.
因为该方程的两个解之积x1x2=1，故只需满足Δ=1−k2−4>0，
所以k<−1或k>3，即k的取值范围是−∞,−1∪3,+∞.
故答案为：−∞,−1∪3,+∞.
14．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2a>0的解集为x−1≤x≤3，则3a+b+2c的取值范围是 32,4 ．
【解题思路】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出a的取值范围，最后3a+b+2c都表示成a的形式即可.
【解答过程】因为不等式0≤ax2+bx+c≤2a>0的解集为x−1≤x≤3，
所以二次函数fx=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，
且需满足f−1=2f3=2f1≥0，即a−b+c=29a+3b+c=2a+b+c≥0，解得b=−2ac=−3a+2，
所以a+b+c=a−2a−3a+2≥0⇒a≤12，所以a∈0,12，
所以3a+b+2c=3a−2a−6a+4=4−5a∈32,4.
故答案为：32,4.
四、解答题
15．（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知函数fx=x2−2ax+3．
(1)若关于x的不等式fx≥0的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式fx<0．
【解题思路】（1）由题意可知Δ≤0，进而求出实数a的取值范围；
（2）根据Δ≤0和Δ>0两种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可．
【解答过程】（1）若不等式x2−2ax+3≥0的解集为R，
则Δ=(−2a)2−12≤0，
解得−3≤a≤3，
即实数a的取值范围[−3,3]；
（2）不等式x2−2ax+3<0，
①当Δ≤0时，即−3≤a≤3时，不等式的解集为∅，
②当Δ>0时，即a<−3或a>3时，
由x2−2ax+3=0，解得x=a−a2−3或x=a+a2−3，
所以不等式的解集为{x|a−a2−3综上所述，当−3≤a≤3时，不等式的解集为∅；
当a<−3或a>3时，不等式的解集为{x|a−a2−316．（2024·山东·二模）已知fx是二次函数，且f1=4,f0=1,f3=4．
(1)求fx的解析式；
(2)若x∈−1,5，求函数fx的最小值和最大值．
【解题思路】（1）设二次函数为fx=ax2+bx+c,a≠0，根据题意，列出方程组，求得a,b,c的值，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，求得函数fx的单调区间，进而求得其最值.
【解答过程】（1）解：设二次函数为fx=ax2+bx+c,a≠0，
因为f1=4,f0=1,f3=4，可得a+b+c=4c=19a+3b+c=4，解得a=−1,b=4,c=1，
所以函数fx的解析式fx=−x2+4x+1．
（2）解：函数fx=−x2+4x+1，开口向下，对称轴方程为x=2，
即函数fx=−x2+4x+1在−1,2单调递增，在2,5单调递减，
所以f(x)min=f−1=f5=−4，f(x)max=f2=5．
17．（23-24高二上·江苏南通·期中）设m∈R，关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为∅.
（1）求m的取值范围；
（2）求关于x的不等式mx2+(m−2)x−2≥0的解集.
【解题思路】（1）由一元二次不等式恒成立的性质运算即可得解；
（2）转化条件为mx−2x+1≥0，按照m=0、0【解答过程】（1）因为关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为∅，
所以关于x的不等式x2+2mx+m+2≥0恒成立，
所以Δ=4m2−4m+2≤0，解得−1≤m≤2，
所以m的取值范围为−1≤m≤2；
（2）不等式mx2+(m−2)x−2≥0等价于mx−2x+1≥0，
当m=0时，不等式可化为−2x−2≥0，解集为xx≤−1；
当0−1，此时不等式的解集为xx≤−1或x≥2m；
当−1≤m<0时，2m<−1，此时不等式的解集为x2m≤x≤−1.
18．（2024·全国·模拟预测）设函数fx=2x+1−2x−4 ．
(1)求fx>0的解集；
(2)若fx+4x−2>2m2−3m恒成立，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）分区间讨论去掉绝对值号求解即可；
（2）求出gx=fx+4x−2的最小值，解不等式即可得解.
【解答过程】（1）当x≥2时，fx=2x+1−2x−4=5，fx>0恒成立，则x≥2；
当−12≤x<2时，fx=2x+1+2x−4=4x−3，fx>0，即4x−3>0，
解得34当x<−12时，fx=−5,fx>0不成立，则x∈∅．
综上，不等式fx>0的解集为34,+∞．
（2）令gx=fx+4x−2，
则gx=2x+1+2x−4≥2x+1−2x−4=5，
当且仅当2x+12x−4≤0时，即−12≤x≤2时，等号成立，
即gx的值域为5,+∞．
所以不等式gx>2m2−3m恒成立，可转化为2m2−3m<5恒成立，
即2m2−3m−5<0，解得−1即实数m的取值范围为−1,52．
19．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设函数f(x)=ax2+(1−a)x+a−2.
（1）若关于x的不等式fx≥−2有实数解，求实数a的取值范围；
（2）若不等式fx≥−2对于实数a∈−1,1时恒成立，求实数x的取值范围；
（3）解关于x的不等式：f(x)【解题思路】(1)将给定的不等式等价转化成ax2+(1−a)x+a≥0，按a=0与a≠0并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；
(2)将给定的不等式等价转化成(x2−x+1)a+x≥0，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；
(3)将不等式化为ax2+(1−a)x−1<0，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答.
【解答过程】(1)依题意，fx≥−2有实数解，即不等式ax2+(1−a)x+a≥0有实数解，
当a=0时，x≥0有实数解，则a=0，
当a>0时，取x=0，则ax2+(1−a)x+a=a>0成立，即ax2+(1−a)x+a≥0有实数解，于是得a>0，
当a<0时，二次函数y=ax2+(1−a)x+a的图象开口向下，要y≥0有解，当且仅当Δ=(1−a)2−4a2≥0⇔−1≤a≤13，从而得−1≤a<0，
综上，a≥−1，
所以实数a的取值范围是a≥−1；
(2)不等式fx≥−2对于实数a∈−1,1时恒成立，即∀a∈[−1,1],(x2−x+1)a+x≥0，
显然x2−x+1>0，函数g(a)=(x2−x+1)a+x在a∈−1,1上递增，从而得g(−1)≥0，即−x2+2x−1≥0，解得x=1，
所以实数x的取值范围是{1}；
(3) 不等式f(x)当a=0时，x<1，
当a>0时，不等式可化为(x+1a)(x−1)<0，而−1a<0，解得−1a当a<0时，不等式可化为(x+1a)(x−1)>0，
当−1a=1，即a=−1时，x∈R,x≠1，
当−1a<1，即a<−1时，x<−1a或x>1，
当−1a>1，即−1−1a，
所以，当a=0时，原不等式的解集为(−∞,1)，
当a>0时，原不等式的解集为(−1a,1)，
当−1≤a<0时，原不等式的解集为(−∞,1)∪(−1a,+∞)，
当a<−1时，原不等式的解集为(−∞,−1a)∪(1,+∞).
考点要求
真题统计
考情分析
(1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式
(2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式
(3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法
2020年I卷：第1题，5分
2023年新高考I卷：第1题，5分
一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年高考情况来看，三个“二次”
的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中；此外，“含参不等式恒成立与能成立问题”也是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.