专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23231" 【题型1 导数的定义及其应用】 PAGEREF _Tc23231 \h 2
\l "_Tc413" 【题型2 （复合）函数的运算】 PAGEREF _Tc413 \h 3
\l "_Tc1458" 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 PAGEREF _Tc1458 \h 5
\l "_Tc13649" 【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 PAGEREF _Tc13649 \h 6
\l "_Tc16651" 【题型5 与切线有关的参数问题】 PAGEREF _Tc16651 \h 8
\l "_Tc9099" 【题型6 切线的条数问题】 PAGEREF _Tc9099 \h 9
\l "_Tc10933" 【题型7 两条切线平行、垂直问题】 PAGEREF _Tc10933 \h 11
\l "_Tc2596" 【题型8 公切线问题】 PAGEREF _Tc2596 \h 14
\l "_Tc19008" 【题型9 与切线有关的最值问题】 PAGEREF _Tc19008 \h 16
1、导数的概念及其意义、导数的运算
【知识点1 导数的运算的方法技巧】
1.导数的运算的方法技巧
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
【知识点2 复合函数的导数】
1.复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函
数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
2.复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y
对u的导数与u对x的导数的乘积.
3.求复合函数导数的步骤
第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步：变量回代：把中间变量代回.
【知识点3 切线问题的解题策略】
1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
(1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
(1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.
3.与切线有关的参数问题的解题策略：
(1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上，故满足切线方程；
③切点在曲线上，故满足曲线方程.
(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
4.公切线问题的解题思路
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般
是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
【题型1 导数的定义及其应用】
【例1】（2024·重庆·模拟预测）limΔx→02+Δx3−23Δx=（ ）
A．72B．12C．8D．4
【解题思路】令fx=x3，根据导数的概念，可求解.
【解答过程】令fx=x3，根据导数的概念，
limΔx→02+Δx3−8Δx=limΔx→02+Δx3−23Δx=limΔx→0f2+Δx−f2Δx =f′2，
f′x=3x2，所以f′2=12.
故选：B．
【变式1-1】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数fx在x0处的导数为f′x0，则limΔx→0fx0−fx0−mΔxΔx等于（ ）
A．mf′x0B．−mf′x0C．−1mf′x0D．1mf′x0
【解题思路】利用导数的定义即可求出．
【解答过程】limΔx→0fx0−fx0−mΔxΔx=mlimΔx→0fx0−mΔx−fx0x0−mΔx−x0=mf′x0，
故选：A．
【变式1-2】（23-24高二下·江西赣州·期中）设fx存在导函数且满足limΔx→0f1−f1−2Δx2Δx=−1，则曲线y=fx上的点1,f1处的切线的斜率为（ ）
A．−1B．−2C．1D．2
【解题思路】由导数的定义及几何意义即可求解.
【解答过程】解：因为fx存在导函数且满足limΔx→0f1−f1−2Δx2Δx=limΔx→0f1−f1−2Δx1−1−2Δx=−1，
所以f′1=−1，即曲线y=fx上的点1,f1处的切线的斜率为−1，
故选：A.
【变式1-3】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=−1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则f1k−1与1k−1大小关系一定是（ ）
A．f1k−1≥1k−1B．f1k−1≤1k−1
C．f1k−1>1k−1D．f1k−1<1k−1
【解题思路】根据导数的定义，结合题意得出fx+1x>k>1，令x=1k−1，整理化简即可得到正确答案.
【解答过程】∵f′x=limx→0fx−f0x−0且f′(x)>k>1，
∴fx−f0x>k>1，即fx+1x>k>1.
令x=1k−1，得：f1k−1+1>k×1k−1=kk−1，
∴f1k−1>kk−1−1=1k−1，所以f1k−1>1k−1.
故选：C.
【题型2 （复合）函数的运算】
【例2】（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数fx=2xx−2x−22x−23x−24x−25x−26，则f′0=（ ）
A．220B．221C．222D．223
【解题思路】观察f(x)，构造函数φx=x−2x−22x−23x−24x−25x−26，利用导数的四则运算得到f′(x)=2φ(x)+2xφ′(x)，代入x=0即可得解.
【解答过程】设φx=x−2x−22x−23x−24x−25x−26，
则f(x)=2xφ(x)，故f′(x)=2φ(x)+2xφ′(x)，
所以f′(0)=2φ(0)=20−20−220−230−240−250−26
=21+1+2+3+4+5+6=222.
故选：C.
【变式2-1】（2024·山东·二模）已知fx为定义在R上的奇函数，设f′x为fx的导函数，若fx=f2−x+4x−4，则f′2023=（ ）
A．1B．−2023C．2D．2023
【解题思路】根据fx=f2−x+4x−4进行f′x奇偶性和周期性的推导，得到f′x是周期为4的偶函数，从而算出f′2023的值.
【解答过程】因为fx=f2−x+4x−4，所以两边求导，得f′(x)=−f′(2−x)+4，
即f′(x)+f′(2−x)=4①
因为fx为定义在R上的奇函数，则f(−x)=−f(x)，
所以两边求导，得f′(x)=f′(−x)，所以f′(x)是定义在R上的偶函数，
所以f′(2−x)=f′(x−2)，结合①式可得，f′(x)+f′(x−2)=4，
所以f′(x−2)+f′(x−4)=4，两式相减得，f′(x)=f′(x−4)，
所以f′(x)是周期为4的偶函数，
所以f′(2023)=f′(−1)=f′(1).
由①式，令x=1，得f′(1)=2，所以f′(2023)=f′(1)=2.
故选：C.
【变式2-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设fx=sinx，f1x=f′x，f2x=f′1x，⋯,fn+1x=f'nx，
则i=12024fiπ6等于（ ）
A．0B．32C．3−12D．12
【解题思路】根据题意分析可知：可知fn+4x=fnx，且f1x+f2x+f3x+f4x=0，结合周期性分析求解.
【解答过程】由题意可得：f1x=csx,f2x=−sinx,f3x=−csx,f4x=sinx,f5x=csx，
可知fn+4x=fnx，且f1x+f2x+f3x+f4x=0，
且2024=506×4，所以i=12024fiπ6=0.
故选：A.
【变式2-3】（2024·新疆喀什·二模）已知函数fx,gx的定义域均为R,g′x为gx的导函数，且fx+g′x=2，fx−g′2−x=2，若gx为偶函数，则f2023+g′2024+g′2025=（ ）
A．2B．1C．0D．-1
【解题思路】由题意分析可得g′(x)=−g′(2−x)，再推导得g′(x)的奇偶性和周期性，利用特殊值求出g′(0),g′(1)，进而分析得到，计算可得答案.
【解答过程】由题意fx+g′x=2，fx−g′2−x=2可知，g′(x)=−g′(2−x)①，
令x=1可得，g′(1)=−g′(1)，所以g′(1)=0.
又因为gx为偶函数，所以g(−x)=g(x)，两边同时求导可得，−g′(−x)=g′(x)②
令x=0可得，−g′(0)=g′(0)，所以g′(0)=0，
联立①②可得，g′(−x)=g′(2−x)，化简可得g′(x)=g′(x+2)，所以g′(x)是周期为2的函数，所以g′(2025)=g′(2023)=g′(1)=0，g′(2024)=g′(0)=0，
又因为fx+g′x=2，所以f(2023)+g′(2023)=2，所以f(2023)=2，
所以f2023+g′2024+g′2025=2.
故选：A.
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】
【例3】（2024·福建厦门·一模）已知直线l与曲线y=x3−x在原点处相切，则l的倾斜角为（ ）
A．π6B．π4C．3π4D．5π6
【解题思路】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.
【解答过程】由y′=3x2−1，则y′|x=0=−1，即直线l的斜率为−1，
根据倾斜角与斜率关系及其范围知：l的倾斜角为3π4.
故选：C.
【变式3-1】（2024·河北唐山·模拟预测）已知曲线fx=2xcsx在x=0处的切线为l，则l的斜率为（ ）
A．ln2B．−ln2C．1D．−1
【解题思路】由导数的几何意义结合导数运算即可求解.
【解答过程】对fx=2xcsx求导得，f′x=ln2×2x⋅csx−2x⋅sinx，由题意曲线fx=2xcsx在x=0处的切线l的斜率为kl=f'0=ln2×20⋅cs0−20⋅sin0=ln2.
故选：A.
【变式3-2】（2024·新疆阿克苏·一模）若直线y=kx+n与曲线y=lnx+1x相切，则k的取值范围是（ ）
A．−∞,14B．4,+∞C．−4,+∞D．14,+∞
【解题思路】根据导数的几何意义，求导数的取值范围，即可求解.
【解答过程】y′=1x−1x2=−1x−122+14≤14，
由导数的几何意义可知，k≤14.
故选：A.
【变式3-3】（2024·贵州·模拟预测）设点P是函数fx=x3−12f′1x+f′2图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A．0,3π4B．0,π2∪3π4,πC．π2,3π4D．0,π2∪3π4,π
【解题思路】求出f′x，令x=1后可求f′x，再根据导数的取值范围可得tanα的范围，从而可得α的取值范围.
【解答过程】∵fx=x3−12f′1x+f′2，∴f′x=3x2−12f′1，
∴f′1=3−12f′1，∴f′1=2，∴f′x=3x2−1≥−1，
∴tanα≥−1，∴0≤α<π2或3π4≤α<π.
故选：B.
【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】
【例4】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=x3−f′12⋅lnx+3，则曲线y=fx在e,fe处的切线斜率为（ ）
A．e2−12eB．3e2−12eC．e2−1eD．3e2−1e
【解题思路】先求导，令x=1，求出f′1，再结合导数的几何意义即可求解.
【解答过程】依题意，f′x=3x2−f′12x，令x=1，
故f′1=3−f′12，解得f′1=2，故f′x=3x2−1x，故f′e=3e2−1e．
故选：D．
【变式4-1】（2024·河南洛阳·模拟预测）曲线y=xex+2x−2在x=0处的切线方程是（ ）
A．3x+y+2=0B．2x+y+2=0
C．2x−y−2=0D．3x−y−2=0
【解题思路】利用导数的几何意义去求曲线y=xex+2x−2在x=0处的切线方程
【解答过程】y=xex+2x−2，则y′=x+1ex+2，
当x=0时，y=−2，y′=3，
所以切线方程为y−−2=3x，即3x−y−2=0．
故选：D．
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）过原点可以作曲线y=fx=x2−x+1的两条切线，则这两条切线方程为（ ）
A．y=x和y=−xB．y=−3x和y=3x
C．y=x和y=−3xD．y=−x和y=3x
【解题思路】由解析式得fx为偶函数，故过原点作的两条切线一定关于y轴对称，再由导数几何意义求x>0上的切线，结合偶函数对称性写出另一条切线.
【解答过程】由x∈R,f−x=(−x)2−|−x|+1=x2−|x|+1=f(x)，得fx为偶函数，
故过原点作的两条切线一定关于y轴对称．
当x>0时，fx=x2−x+1，则f′x=2x−1，
设切点为Px0,x02−x0+1x0>0，故2x0−1=x02−x0+1−0x0−0，解得x0=1或x0=−1（舍），
所以切线斜率为1，从而切线方程为y=x．
由对称性知：另一条切线方程为y=−x．
故选：A.
【变式4-3】（2024·北京东城·一模）过坐标原点作曲线y=ex−2+1的切线，则切线方程为（ ）
A．y=xB．y=2xC．y=1e2xD．y=ex
【解题思路】设切点坐标为(t,et−2+1)，求得切线方程为y−(et−2+1)=et−2(x−t)，把原点(0,0)代入方程，得到(t−1)et−2=1，解得t=2，即可求得切线方程.
【解答过程】由函数y=ex−2+1，可得y′=ex−2，
设切点坐标为(t,et−2+1)，可得切线方程为y−(et−2+1)=et−2(x−t)，
把原点(0,0)代入方程，可得0−(et−2+1)=et−2(0−t)，即(t−1)et−2=1，
解得t=2，所以切线方程为y−(e0+1)=e0(x−2)，即y=x.
故选：A.
【题型5 与切线有关的参数问题】
【例5】（2024·广西贵港·三模）已知曲线y=axex+lnx在点1,ae处的切线方程为y=3x+b，则（ ）
A．a=e，b=−2B．a=e，b=2
C．a=e−1，b=−2D．a=e−1，b=2
【解题思路】求出函数的导函数，依题意可得y′|x=1=3，即可求出a，再将切点代入切线方程，即可求出b；
【解答过程】解：y′=aex+axex+1x，k=y′|x=1=ae+ae+1=2ae+1=3，
∴ae=1，∴a=1e=e−1．将1,1代入y=3x+b得3+b=1，∴b=−2．
故选：C．
【变式5-1】（2024·河南郑州·二模）已知曲线y=xlnx+ae−x在点x=1处的切线方程为2x−y+b=0，则b=（ ）
A．－1B．－2C．－3D．0
【解题思路】根据导数的几何意义可知切线斜率为1−ae=2，可得a=−e，计算出切点代入切线方程即可得b=−3.
【解答过程】由题意可得y′=lnx+1−ae−x，
根据导数的几何意义可知，在点x=1处的切线斜率为1−ae=2，解得a=−e；
所以切点为1,−1，代入切线方程可得2+1+b=0，解得b=−3.
故选：C.
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=ax2+blnx的图象在点1,f1处的切线方桯为y=3x−1.则a−b的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】对函数求导，再求出x=1处的切线方程，即可求得a,b；
【解答过程】解：函数fx=ax2+blnx，则f′x=2ax+bx，函数fx的图象在点1,f1处的切线方桯为y=3x−1，
所以f′1=2a+b=3f1=a=3×1−1=2，解得a=2b=−1，则a−b=3.
故选：C.
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知曲线fx=ex在点P0,f0处的切线也是曲线gx=lnax的一条切线，则a的值为（ ）
A．e3B．e2C．e2D．e33
【解题思路】根据导数的几何意义可求得fx在P点处的切线方程，设其与gx相切于点x0,lnax0，由切线斜率可求得x0，利用两点连线斜率公式构造方程求得a.
【解答过程】∵fx=ex，∴f′x=ex，f0=1，∴f′0=1，
∴fx在点P0,f0处的切线方程为：y=x+1；
设y=x+1与gx相切于点x0,lnax0，则g′x0=1x0=1，解得：x0=1，
又lnax0−1x0−0=1，∴lna−1=1，解得：a=e2.
故选：C.
【题型6 切线的条数问题】
【例6】（2024·全国·模拟预测）若曲线y=1−xex有两条过点Aa,0的切线，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,−1∪3,+∞B．−3,1
C．−∞,−3D．−∞,−3∪1,+∞
【解题思路】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.
【解答过程】设切点为x0,1−x0ex0，由已知得y′=−xex，则切线斜率k=−x0ex0，
切线方程为y−1−x0ex0=−x0ex0x−x0．
∵直线过点Aa,0，∴−1−x0ex0=−x0ex0a−x0，
化简得x02−a+1x0+1=0．∵切线有2条，
∴Δ=a+12−4>0，则a的取值范围是−∞,−3∪1,+∞，
故选：D.
【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=−x3+3x，则过点−3,−9可作曲线y=fx的切线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】设切点为a,−a3+3a，根据导数的几何意义求得在切点a,−a3+3a处的切线方程，再将−3,−9代入，求得a的值，即可得解.
【解答过程】解：因为fx=−x3+3x，所以f′x=−3x2+3，
设切点为a,−a3+3a，
所以在切点a,−a3+3a处的切线方程为y=−3a2−1x−a−a3+3a，
又−3,−9在切线上，所以−9=−3a2−1−3−a−a3+3a，
即−9=3a2−1⋅3+a−a3+3a，
整理得2a3+9a2=0，解得a1=0或a2=−92，
所以过点−3,−9可作曲线y=fx的切线的条数为2.
故选：C．
【变式6-2】（2021·全国·高考真题）若过点a,b可以作曲线y=ex的两条切线，则（ ）
A．ebC．0【解题思路】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线y=ex的图象，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.
【解答过程】在曲线y=ex上任取一点Pt,et，对函数y=ex求导得y′=ex，
所以，曲线y=ex在点P处的切线方程为y−et=etx−t，即y=etx+1−tet，
由题意可知，点a,b在直线y=etx+1−tet上，可得b=aet+1−tet=a+1−tet，
令ft=a+1−tet，则f′t=a−tet.
当t0，此时函数ft单调递增，
当t>a时，f′t<0，此时函数ft单调递减，
所以，ftmax=fa=ea，
由题意可知，直线y=b与曲线y=ft的图象有两个交点，则b当t0，当t>a+1时，ft<0，作出函数ft的图象如下图所示：

由图可知，当0故选：D.
解法二：画出函数曲线y=ex的图象如图所示，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0
故选：D.
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）若过点P(m,0)与曲线f(x)=x+1ex相切的直线只有2条，则m的取值范围是（ ）
A．(−∞,+∞)B．(−∞,−3)∪(1,+∞)
C．(−1,3)D．(−∞,−1)∪(3,+∞)
【解题思路】求得f′(x)=−xex，求得切线PQ方程,结合题意，转化为方程t2+(1−m)t+1=0有2个不等实根，根据二次函数的性质，即可求解.
【解答过程】设过点P(m,0)的直线与曲线f(x)=x+1ex相切于点Qt,t+1et，
由f(x)=x+1ex，可得f′(x)=−xex，所以切线PQ的斜率k=−tet=t+1et−0t−m，
整理得t2+(1−m)t+1=0，
因为切线有2条，所以切点有2个，即方程t2+(1−m)t+1=0有2个不等实根，
则Δ=(1−m)2−4>0，解得m>3或m<−1，
所以m的取值范围是(−∞,−1)∪(3,+∞)．
故选：D．
【题型7 两条切线平行、垂直问题】
【例7】（2024·四川遂宁·模拟预测）与曲线f(x)=12x2+x+14b−12和g(x)=2ln(x−1)+1都相切的直线l与直线x+2y+a−1=0垂直，则b=（ ）
A．-8B．-3C．4D．6
【解题思路】由题可得切线斜率为2，分别设出切点，利用斜率求出切点即可得出.
【解答过程】因为直线l与直线x+2y+a−1=0垂直，所以直线l的斜率为2，
设直线l与fx相切于x1,fx1，
因为f′x=x+1，所以f′x1=x1+1=2，解得x1=1，故直线l与fx相切于1,1+14b，
设直线l与gx相切于x2,gx2，
因为g′x=2x−1，则g′x2=2x2−1=2，解得x2=2，则gx2=1，
所以直线l的方程为y−1=2x−2，即2x−y−3=0，
1,1+14b在直线l上，则2−1+14b−3=0，解得b=−8.
故选：A.
【变式7-1】（2024·安徽六安·三模）若函数f(x)=lnx+x与g(x)=2x−mx−1的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线y=2x+1平行，则实数m=（ ）
A．178B．176C．174D．172
【解题思路】设函数fx=lnx+x图象上切点为(x0,y0)，求出函数的导函数，根据f′(x0)=2求出切点坐标与切线方程，设函数gx=2x−mx−1的图象上的切点为(x1,y1) (x1≠1)，根据g′(x1)=2，得到m=2x12−4x1+4，再由2x1−1=2x1−mx1−1，即可求出x1，从而得解；
【解答过程】解：设函数fx=lnx+x图象上切点为(x0,y0)，因为f′(x)=1x+1，所以f′(x0)=1x0+1=2，得x0=1， 所以y0=f(x0)=f(1)=1，所以切线方程为y−1=2(x−1)，即y=2x−1，设函数gx=2x−mx−1的图象上的切点为(x1,y1) (x1≠1)，因为g′(x)=2(x−1)−(2x−m)(x−1)2=m−2(x−1)2，所以g′(x1)=m−2(x1−1)2=2，即m=2x12−4x1+4，又y1=2x1−1=g(x1)=2x1−mx1−1，即m=−2x12+5x1−1，所以2x12−4x1+4=−2x12+5x1−1，即4x12−9x1+5=0，解得x1=54或x1=1（舍），所以m=2×542−4×54+4=178．
故选：A.
【变式7-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）函数fx=ax+sinx的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．0,1B．0C．0,1D．1,+∞
【解题思路】求导，由导函数的几何意义和直线垂直的条件可得方程a2+csx1+csx2a+csx1csx2+1=0一定有解，再由根的判别式和余弦函数的值域可得选项.
【解答过程】因为fx=ax+sinx，所以f'x=a+csx，
因为函数fx=ax+sinx的图象上存在两条相互垂直的切线，所以不妨设在x=x1和x=x2处的切线互相垂直，
则a+csx1⋅a+csx2=−1，即a2+csx1+csx2a+csx1csx2+1=0①，
因为a的值一定存在，即方程①一定有解，所以Δ=csx1+csx22−4csx1csx2+1≥0，
即csx1−csx22≥4，解得csx1−csx2≥2或csx1−csx2≤−2，
又csx≤1，所以有csx1=1，csx2=−1或csx1=−1，csx2=1，Δ=0，所以方程①变为a2=0，所以a=0，
故选：B.
【变式7-3】（2024·四川成都·一模）已知定义在R上的函数f(x)的图像关于直线x=a(a＞0)对称，且当x≥a时，f(x)=exe2a，过点P(a,0)作曲线y=f(x)的两条切线,若这两条切线互相垂直,则该函数f(x)的最小值为（ ）
A．e−12B．e−1C．e−32D．e−2
【解题思路】当x≥a时，fx=exe2a=ex−2a，可得函数fx在a,+∞为增函数，结合函数的对称性可得函数的最小值为fa,进而分析可得点Pa,0作曲线y=fx的两条切线的斜率k=±1，设x=a右侧的切点为m,em−2a，求出函数的导数，由导数的几何意义可得f'm=em−2a=1，即m−2a=0，结合两点间连线的斜率公式可得em−2a−0m−a=1，即1m−a=1，联立两式求出a的值，代入函数的解析式可得结果.
【解答过程】根据题意，分析可得当x≥a时，fx=exe2a=ex−2a，
则函数fx在a,+∞为增函数，
又由函数fx的图象关于直线x=a对称，函数fx在−∞,a为减函数，
所以函数的最小值为fa，
点Pa,0作曲线y=fx的两条切线，
则两条切线的关于直线x=a对称，即两条切线的斜率互为相反数，
若两条切线互相垂直，切线的斜率k=±1，
设x=a右侧的切点为m,em−2a,m>a，
因为fx=ex−2a，所以导数f'x=ex−2a，
则有f'm=em−2a=1，即m−2a=0，①
又由切线过点a,0，可得em−2a−0m−a=1，
即1m−a=1，解可得m−a=1，②
联立①②可得a=1，
则函数fx的最小值为fa=ea−2a=e−1，
故选B.
【题型8 公切线问题】
【例8】（2024·福建·模拟预测）已知直线y=kx+b既是曲线y=lnx的切线，也是曲线y=−ln(−x)的切线，则（ ）
A．k=1e，b=0B．k=1，b=0
C．k=1e，b=−1D．k=1，b=−1
【解题思路】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.
【解答过程】设直线与曲线y=lnx的切点为x1,lnx1且x1>0，
与曲线y=−ln(−x)的切点为x2,−ln−x2且x2<0，
又y′=lnx′=1x，y′=−ln(−x)=−1x，
则直线y=kx+b与曲线y=lnx的切线方程为y−lnx1=1x1x−x1，即y=1x1x+lnx1−1，
直线y=kx+b与曲线y=−ln(−x)的切线方程为y+ln−x2=−1x2x−x2，即y=−1x2x+1−ln−x2，
则1x1=−1x2lnx1−1=1−ln−x2，解得x1=ex2=−e，故k=1x1=1e,b=lnx1−1=0，
故选：A.
【变式8-1】（2024·辽宁大连·一模）斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2=12都相切，则实数a的值为（ ）
A．0或2B．−2或0C．－1或0D．0或1
【解题思路】设直线l的方程为y=x+b，先根据直线和圆相切算出b，在根据导数的几何意义算a.
【解答过程】依题意得，设直线l的方程为y=x+b，
由直线和圆x2+y2=12相切可得，b12+(−1)2=22，解得b=±1，
当b=1时，y=x+1和y=ln(x+a)相切，
设切点为(m,n)，根据导数的几何意义，1m+a=1，
又切点同时在直线和曲线上，即n=m+1n=ln(m+a)，解得n=0m=−1a=2，
即y=x+1和y=ln(x+2)相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，
y=x−1和y=lnx仍会保持相切状态，即b=−1时，a=0，
综上所述，a=2或a=0.
故选：A.
【变式8-2】（2024·江苏南通·模拟预测）若曲线f(x)=ax(a>1)与曲线g(x)=lgax(a>1)有且只有一个公共点，且在公共点处的切线相同，则实数a的值为（ ）
A．eB．e2C．e1eD．e
【解题思路】
利用导数的几何意义得出其公切线，计算即可.
【解答过程】易得f′(x)=lna⋅ax,g′x=1xlna(a>1),设公共点为x0,y0,
则由题意可得ax0=lgax0lna⋅ax0=1x0lna,即ax0=lnx0lnalna⋅ax0=1x0lna⇒1lna=x0⋅lnx0
且lna⋅ax0=1x0lna⇒x0⋅ax0=1lna2=x0⋅lnx02⇒ax0=x0⋅lnx02
⇒x0⋅lna=2lnlnx0+lnx0=1lnx0
令lnx0=t,则上式可化为:2lnt+t−1t=0
记ℎt=2lnt+t−1t，则ℎ′t=t+12t2≥0恒成立，即ℎt=2lnt+t−1t在0,+∞上单调递增，而ℎ1=0，故满足2lnt+t−1t=0的根只有t=1，即x0=ea=e1e.
故选：C.
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=lnx与gx的图象关于直线y=x对称，直线l与gx,ℎx=ex+1−1的图象均相切，则l的倾斜角为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．3π4
【解题思路】根据fx=lnx与gx的图象关于直线y=x对称，得到gx=ex，设直线l与函数gx=ex的图象的切点坐标为x1,ex1，与函数ℎx=ex+1−1的图象的切点坐标为x2,ex2+1−1，由斜率相等得到x1=x2+1，然后再利用斜率和倾斜角的关系求解.
【解答过程】解：因为函数fx=lnx与gx的图象关于直线y=x对称，
所以fx=lnx与gx互为反函数，所以gx=ex，
则g′x=ex．由ℎx=ex+1−1，得ℎ′x=ex+1，
设直线l与函数gx=ex的图象的切点坐标为x1,ex1，
与函数ℎx=ex+1−1的图象的切点坐标为x2,ex2+1−1，
则直线l的斜率k=ex1=ex2+1，故x1=x2+1，
显然x1≠x2，故k=ex2+1−1−ex1x2−x1=−1−1=1，
所以直线l的倾斜角为π4，
故选：B．
【题型9 与切线有关的最值问题】
【例9】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数fx=1+2tanωx2−tan2ωx21+tan2ωx2ω>0，若∃x0∈−π4,π3使得fx的图象在点x0,fx0处的切线与x轴平行，则ω的最小值是（ ）
A．2B．32C．1D．34
【解题思路】先利用三角恒等变换公式化简函数，根据题意得函数fx在−π4,π3上存在对称轴，利用整体代换列不等式，解不等式即可求出最值.
【解答过程】fx=1+2tanωx2−tan2ωx21+tan2ωx2=2tanωx21+tan2ωx2+1−tan2ωx21+tan2ωx2=2sinωx2csωx2cs2ωx2+sin2ωx2+cs2ωx2−sin2ωx2cs2ωx2+sin2ωx2 =sinωx+csωx=2sinωx+π4，
因为∃x0∈−π4,π3使得fx的图象在点x0,fx0处的切线与x轴平行，
所以函数fx在−π4,π3上存在最值，即函数fx在−π4,π3上存在对称轴，
令ωx+π4=kπ+π2,k∈Z，得x=kπω+π4ω,k∈Z，
因为−π4≤x≤π3，所以−π4≤kπω+π4ω≤π3，
即−14≤kω+14ω≤13，则ω≥3k+34ω≥−4k−1,k∈Z，
又ω>0，故k=0时，ω取最小值为34.
故选：D.
【变式9-1】（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数f(x)=aex与g(x)=lnx+1存在公切线，则实数a的最小值（ ）
A．2eB．1eC．12eD．13e
【解题思路】分别求出函数f(x)与g(x)的导数，设出切点写出切线方程，利用对应系数相等列出方程，构造函数ℎ(x)=(x−1)lnx−1，利用导数判断出单调性求出最值，可得实数a的最小值．
【解答过程】f′(x)=aex，g′(x)=1x
设f(x)=aex和g(x)=lnx+1的切点分别为m,aem,(n,lnn+1)，则f(x)和g(x)切线方程分别为y−aem=aem(x−m),y−(lnn+1)=1n(x−n)，
即y=aemx+(−m+1)aem,y=1nx+lnn,f(x)与g(x)存在公切线，则方程aem=1n(−m+1)aem=lnn有解，即lna=(n−1)lnn−1,ℎ(x)=(x−1)lnx−1，
ℎ′(x)=lnx−1x+1,ℎ(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)递增，ℎ(x)在x=1处取到最小值，∴lna的最小值为−1，即a的最小值为1e．
故选：B．
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设曲线y=x+aexa>1在x=0处的切线为l，则l与两条坐标轴所围成的图形面积的最小值为（ ）
A．1B．32C．2D．52
【解题思路】利用导数求出直线l的方程，求出直线l与两坐标轴的交点，利用基本不等式可求得l与两条坐标轴所围成的图形面积的最小值.
【解答过程】对y=x+aex求导，得y′=1−a−xex，当x=0时，y′=1−a，y=a，
所以曲线y=a+xexa>1在x=0处的切线l的方程为y−a=1−ax．
在直线l的方程中，令x=0，可得y=a；令y=0，可得x=aa−1.
故l与两条坐标轴的交点分别为Aaa−1,0、B0,a，
所以l与两坐标轴所围成的图形为△OAB，
其面积S=12⋅a2−1+1a−1=12a−1+1a−1+2≥122a−1⋅1a−1+2=2，
当且仅当a−1=1a−1a>1时，即当a=2时取等号，
所以，l与两条坐标轴所围成的图形面积的最小值为2.
故选：C．
【变式9-3】（2024·浙江·模拟预测）已知直线y=ax+b与曲线y=lnex相切，则a+b的最小值为（ ）
A．12B．1C．2D．3
【解题思路】设切点为(x0,y0)，曲线求导得到切线斜率k=1x0，利用斜率相等求得切点坐标，代入直线方程后得∴a+b=1x0+lnx0，构造新的函数，应用导数求函数的最值即可.
【解答过程】由y=lnex，知定义域为(0,+∞)，
设切点为(x0,y0)=(x0,lnex0)，f′(x)=e⋅1ex=1x，∴k=1x0，
所以1x0=a,∴x0=1a，故切点为(1a,lnea)，代入直线方程y=ax+b，
则lnea=a⋅1a+b=1+b,∴b=−lna，
∴a+b=a−lna=1x0−ln1x0=1x0−ln(x0)−1=1x0+lnx0，
令g(x)=1x+lnx，g′(x)=−1x2+1x=x−1x2，
令g′(x)=0，解得x=1，
当0当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
则g(x)min=g(1)=1，
故a+b的最小值为1.
故选：B.
一、单选题
1．（2024·湖北襄阳·二模）已知函数f(x)=x2+1x，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)2Δx=（ ）
A．1B．12C．2D．4
【解题思路】由题意，根据求导公式和运算法则可得f′(1)=1，结合导数的定义即可求解.
【解答过程】由题意知，f′(x)=2x−1x2，则f′(1)=1.
所以limΔx→0f(1+Δx)−f(1)2Δx=12limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=12f′(1)=12.
故选：B.
2．（23-24高二下·山东·阶段练习）若limΔx→0f(−2+Δx)−f(−2−Δx)Δx=−2，则f′−2=（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【解题思路】根据导数的定义以及给出的极限值可得答案.
【解答过程】limΔx→0f(−2+Δx)−f(−2−Δx)Δx=limΔx→0f(−2+Δx)−f(−2)+[f(−2)−f(−2−Δx)]Δx
=limΔx→0f(−2+Δx)−f(−2)Δx+limΔx→0f(−2)−f(−2−Δx)Δx=2f′(−2)=−2，
所以f′−2=−1.
故选：B.
3．（2024·福建漳州·三模）已知函数fx=lnx+x,gx是函数f2x+1的导函数，则g0=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】计算f2x+1=ln(2x+1)+2x+1的导数，得到g(x)，代值即可.
【解答过程】因为fx=lnx+x(x>0)，
所以f2x+1=ln(2x+1)+2x+1，
即f′2x+1=22x+1+2，
所以g(x)=22x+1+2，
所以g(0)=4.
故选：D.
4．（2024·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=ft，用− fb−fab−a的大小评价在a,b这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（ ）

A．在t1,t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；
D．甲企业在0,t1，t1,t2，t2,t3这三段时间中，在t1,t2的污水治理能力最强
【解题思路】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力.
【解答过程】设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W=ℎt，乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W=gt.
对于A选项，在t1,t2这段时间内，甲企业的污水治理能力ℎ(t)=−ℎt2−ℎt1t2−t1，
乙企业的污水治理能力g(t)=−gt2−gt1t2−t1.由图可知，ℎt1−ℎt2>gt1−gt2，
所以ℎ(t)>g(t),即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误；
对于B选项，由图可知， ℎ(t)在t2时刻的切线斜率小于g(t)在t2时刻的切线斜率，
但两切线斜率均为负值，故在t2时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误；
对于C选项，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误；
对于D选项，由图可知，甲企业在0,t1，t1,t2，t2,t3这三段时间中，
在t1,t2时ℎ(t1)−ℎ(t2)的差值最大，所以在t1,t2时的污水治理能力最强，故D选项正确，
故选：D.
5．（2024·河南·模拟预测）曲线y=x33−2在点−1,a处的切线方程为（ ）
A．3x+3y+4=0B．3x+3y−4=0
C．3x−3y+4=0D．3x−3y−4=0
【解题思路】利用导数的几何意义，求切点和斜率，即可求切线方程.
【解答过程】a=(−1)33−2=−73，故切点为−1,−73，y′=x2，y′x=−1=1，即切线的斜率为1，
所以切线方程为y−−73=x+1，即3x−3y−4=0.
故选：D.
6．（2024·山西·模拟预测）已知函数fx=a−3x3+a−2x2+a−1x+a若对任意x0∈R，曲线y=fx在点x0,fx0和−x0,f−x0处的切线互相平行或重合，则实数a=（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】求得f′x=3a−3x2+2a−2x+a−1，根据题意转化为y=f′x为偶函数，即可求解.
【解答过程】由函数fx=a−3x3+a−2x2+a−1x+a，
可得f′x=3a−3x2+2a−2x+a−1，
因为曲线y=fx在点x0,fx0和−x0,f−x0处的切线互相平行或重合，
可得y=f′x为偶函数，所以a−2=0，解得a=2.
故选：C.
7．（2024·全国·模拟预测）若过点m,n可作函数y=2x+1xx>0图象的两条切线，则必有（ ）
A．0<2m+1mC．2m【解题思路】设切点为a,2a+1a，a>0，求导，根据导数的几何意义可得2m−na2+2a−m=0有两个正根，利用判别式及根与系数关系列不等式可得解.
【解答过程】设切点为a,2a+1a，a>0，
又y′=2−1x2，所以切线斜率k=2−1a2，
所以切线方程为y−2a+1a=2−1a2x−a，
又切线过点m,n，
则n−2a+1a=2−1a2m−a，a>0，
即2m−na2+2a−m=0，
由过点m,n可作两条切线，
所以2m−na2+2a−m=0有两个正根，
即2m−n≠0Δ=22−42m−n⋅−m>0−22m−n>0−m2m−n>0，整理可得2m故选：C.
8．（2024·辽宁辽阳·二模）若对函数fx=2x−sinx的图象上任意一点处的切线l1，函数gx=mex+m−2x的图象上总存在一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则m的取值范围是（ ）
A．−e2,0B．0,e2
C．−1,0D．0,1
【解题思路】求导得到−1f′(x)范围A，再分m>0，m<0，m=0三种情况讨论得g′x范围B，最后根据条件得A与B包含关系，计算得到答案.
【解答过程】由fx=2x−sinx，得f′x=2−csx∈1,3，所以−12−csx∈−1,−13=A，
由gx=mex+m−2x，得g′x=mex+m−2，设该导函数值域为B，
(1)当m>0时，导函数单调递增，g′x∈m−2,+∞，
由题意得∀x1,∃x2,f′(x1)g′x2=−1∴g′x2=−1f′(x1)∴A⊆B
故m−2<−1，解得0(2)当m<0时，导函数单调递减，g′x∈−∞,m−2，同理可得m−2>−13，与m<0矛盾，舍去；
（3）当m=0时，不符合题意.
综上所述：m的取值范围为0,1.
故选：D.
二、多选题
9．（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线y=x+1相切的有（ ）
A．y=exB．y=lnx
C．y=sinx+1D．y=x3+1
【解题思路】假设选项中的曲线与直线y=x+1相切，利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，求得切点进行逐一判断即可得出结论.
【解答过程】选项A中，若y=ex与y=x+1相切，设切点为x1,y1，
易知y′=ex，则ex1=1，解得x1=0，即切点为0,1，切线为y=x+1，A正确；
选项B中，若y=lnx与y=x+1相切，设切点为x2,y2，
易知y′=lnx′=1x，则1x2=1，解得x2=1，切点为(1,0)，切线方程为y=x−1，即B错误；
选项C中，若y=sinx+1与y=x+1相切，设切点为x3,y3，
易知y′=csx，则csx3=1，解得x3=2kπ,k∈Z，
当k=0时，切点为0,1，切线方程为y=x+1，C正确；
选项D中，易知y=x3+1与y=x+1有三个交点，0,1,1,2,−1,0，
又y′=3x2，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以y=x+1不是切线，D错误.
故选：AC.
10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数fx，gx的定义域为R，g′x为gx的导函数，且fx+g′x=4，fx−g′4−x=4，若gx为偶函数，则（ ）
A．f4=3B．g′2=0
C．f1+f3=8D．f1=f−3
【解题思路】由gx为偶函数，得g−x=gx，两边求导化简后可得g′x 为奇函数，然后逐个赋值分析判断即可.
【解答过程】对于A，∵g(x)为偶函数，则g−x=gx
两边求导得: −g′−x=g′x, ∴g′−x=−g′x ，g′x 为奇函数，g′0=0,
令x=4，则f4−g′0=4，f4=4，所以A不正确
对于B，令x=2，可得f(2)+g′(2)=4f(2)−g′(2)=4，则f(2)=4g′(2)=0, 所以B正确;
对于C，fx+g′x=4，f2+x+g′2+x=4
可得，f2−x−g′2+x=4，两式相加的f2+x+f2−x=8
令x=1，即可得f1+f3=8，所以C正确;
对于D，∵fx+g′x=4，则fx−4+g′x−4=fx−4−g′4−x=4，
又fx−g′4−x=4，可得fx=fx−4，所以f(x)是以4为周期的函数，
所以f1=f(1−4)=f−3，所以D正确.
故选：BCD.
11．（2024·江苏南通·模拟预测）过平面内一点P作曲线y=lnx两条互相垂直的切线l1、l2，切点为P1、P2(P1、P2不重合)，设直线l1、l2分别与y轴交于点A、B，则（ ）
A．P1、P2两点的纵坐标之积为定值B．直线P1P2的斜率为定值
C．线段AB的长度为定值D．△ABP面积的取值范围为0,1
【解题思路】根据切线方程的定义，利用分类讨论的思想，可得整理切线方程，根据直线垂直可得切点横坐标的乘积，进而可得纵坐标的乘积，利用直线斜率公式，等量代换整理，可得其值，利用切线方程，求得A,B,P的坐标，可得答案.
【解答过程】由函数y=lnx=lnx,x≥1−lnx,01−1x,0设P1x1,y1，P2x2,y2，
当0当x1,x2∈0,1时，由题意可得，−1x1⋅−1x2=1，化简可得x1x2=−1，显然不成立；
当x1,x2∈1,+∞时，由题意可得，1x1⋅1x2=1，化简可得x1x2=1，显然不成立；
对于A，y1y2=−lnx1lnx2=−lnx1ln1x1=lnx12，故A错误；
对于B，直线P1P2的斜率k=y1−y2x1−x2=−lnx1−lnx2x1−x2=−lnx1x2x1−x2=0，故B正确；
对于C，易知直线l1:y=−1x1x+y1+1，直线l2:y=1x2x+y2−1，
令x=0，则y=y1+1，即A0,y1+1，同理可得B0,y2−1，
AB=y1+1−y2+1=2−lnx1−lnx2=2−lnx1x2=2，故C正确；
对于D，联立y=−1x1x+y1+1y=1x2x+y2−1，整理可得y=−1x1x−lnx1+1y=1x2x+lnx2−1，解得xp=2x1x2x1+x2=2x1x12+1，
令fx=2xx2+1，其中x∈0,1，则f′x=21−x2x2+12>0，
所以，函数fx在0,1上单调递增，则当x∈0,1时，fx∈0,1，
所以，S△ABP=12AB⋅xP=2x1x12+1∈0,1，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数fx=lnx+ax，若f′1=2，则a= −1 .
【解题思路】求出导函数，利用f′1=2列式求解即可.
【解答过程】由fx=lnx+ax得f′x=1−lnx+ax2，因为f′1=1−a=2，所以a=−1.
故答案为：−1.
13．（2024·云南楚雄·模拟预测）曲线f(x)=x3−lnx在点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为
14 .
【解题思路】先求出切线方程，后求围成的三角形面积即可.
【解答过程】易知f(x)的定义域为x∈(0,+∞)，而f(1)=1，故切点为(1,1)，
设切线斜率为k，且f′(x)=3x2−1x，故k=f′(1)=3−1=2，
切线方程为y−1=2(x−1)，化简得y=2x−1，
当y=0时，x=12，当x=0时，y=−1，
易知围成的图形是三角形，设面积为S，故S=12×12×−1=14.
故答案为：14.
14．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数y=x的图象与函数y=ax（a>0且a≠1）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 (e,e) .
【解题思路】设公共点为x0,y0 (x0>0)，即可得到ax0=x012，再由导数的几何意义得到ax0lna=12x0−12，从而求出x0，即可求出切点坐标，从而求出a，再求出切线方程.
【解答过程】设公共点为x0,y0 (x0>0)，则y0=x012y0=ax0，即ax0=x012，
所以x0lna=12lnx0，所以lna=12x0lnx0，
由y1′=12x−12，y2′=axlna，所以y1′|x=x0=12x0−12，y2′|x=x0=ax0lna，
又在公共点处有相同的切线，所以ax0lna=12x0−12，即x012·12x0·lnx0=12x0−12，
所以lnx0=1，则x0=e，所以y0=e，
所以公共点坐标为(e,e).
故答案为：(e,e).
四、解答题
15．（23-24高二下·北京延庆·期末）求下列函数的导函数.
(1)f(x)=x2⋅ex；
(2)f(x)=lg2x2x；
(3)f(x)=sinx1+csx；
(4)f(x)=ln(1−2x).
【解题思路】（1）利用求导法则求导即得；
（2）利用分式函数的求导法则求导即得；
（3）利用分式函数的求导法则求导即得；
（4）利用复合函数的求导法则求导即得.
【解答过程】（1）f′(x)=2x⋅ex+x2⋅ex=(2x+x2)ex；
（2）f'(x)=1xln2⋅2x−lg2x⋅2xln2(2x)2=1xln2−lg2x⋅ln22x；
（3）f'(x)=csx⋅(1+csx)−sinx⋅(−sinx)(1+csx)2 =csx+cs2x+sin2x(1+csx)2=1+csx(1+csx)2=11+csx；
（4）f′(x)=11−2x⋅(1−2x)′=11−2x⋅(−2) =−21−2x.
16．（23-24高二·全国·随堂练习）（1）已知f(x+ℎ)−f(x)=2ℎx+5ℎ+ℎ2，用割线逼近切线的方法求f′(x)；
（2）已知g(x+ℎ)−g(x)=3ℎx2+3ℎ2x+ℎ3，用割线逼近切线的方法求g′(x)．
【解题思路】根据题意结合导数的定义运算求解.
【解答过程】（1）因为f(x+ℎ)−f(x)=2ℎx+5ℎ+ℎ2，
则f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ=limℎ→02ℎx+5ℎ+ℎ2ℎ=limℎ→02x+5+ℎ=2x+5，
所以f′(x)=2x+5；
（2）因为g(x+ℎ)−g(x)=3ℎx2+3ℎ2x+ℎ3，
则g′(x)=limℎ→0g(x+ℎ)−g(x)ℎ=limℎ→03ℎx2+3ℎ2x+ℎ3ℎ=limℎ→03x2+3ℎx+ℎ2=3x2，
所以g′(x)=3x2.
17．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数fx=ax3−2x2−2x+aa≥0．
(1)当a=1时，若直线y=−3x+b与曲线y=fx相切，求b；
(2)若直线y=−2x−2与曲线y=fx恰有两个公共点，求a．
【解题思路】（1）此类问题，通过设切点坐标，求导数，利用切点处的导数等于切线斜率，以及切点在切线上也在曲线上，解联立方程组即可；
（2）由已知问题等价于方程ax3−2x2−2x+a=−2x−2，即方程ax3+1−2x2−1=0有两个不等实根，显然x=−1是方程ax3+1−2x2−1=0的一个根，所以当x≠−1时，方程可化为ax2−a+2x+a+2=0（*），它还有不等于−1的唯一根，根据一元二次方程的根的性质即可解决问题．
【解答过程】（1）当a=1时，fx=x3−2x2−2x+1，f′x=3x2−4x−2，
因为直线y=−3x+b与曲线y=fx相切，
设切点为x0,y0，则切线斜率k=f′x0=3x02−4x0−2，
可得3x02−4x0−2=−3y0=−3x0+by0=x03−2x02−2x0+1，解得x0=1y0=−2b=1或x0=13y0=427b=3127，
所以b=1或b=3127．
（2）因为直线y=−2x−2与曲线y=fx恰有两个公共点，
所以方程ax3−2x2−2x+a=−2x−2，
即方程ax3+1−2x2−1=0有两个不等实根，
因为x=−1是方程ax3+1−2x2−1=0的一个根；
当x≠−1时，方程可化为ax2−a+2x+a+2=0（*），
依题意，方程（*）有不等于−1的唯一根，
因为a≥0，若a=0，则（*）即−2x+2=0，x=1，满足条件；
若a>0，则由a+a+2+a+2≠0△=a+22−4aa+2=0，解得：a=23．
综上所述，a=0或a=23．
18．（2024·湖南郴州·三模）已知函数fx=x2−ax+1,gx=lnx+aa∈R.
(1)若a=1,fx>gx在区间0,t上恒成立，求实数t的取值范围；
(2)若函数fx和gx有公切线，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）设ℎx=fx−gx，用导数法解ℎxmin>0即可；
（2）设函数fx在点x1,fx1处与函数gx在点x2,gx2处有相同的切线，
由f′x1=g′x2=fx1−gx2x1−x2,∴2x1−a=1x2=x12−ax1+1−lnx2−ax1−x2，化简得到14x22+a2x2+lnx2+a24+a−2=0，然后将问题转化为关于x的方程14x2+a2x+lnx+a24+a−2=0有解求解.
【解答过程】（1）由题意，当a=1时，设ℎx=fx−gx，
则ℎx=x2−x+1−lnx−1=x2−x−1lnx(x>0)，
ℎ′x=2x−1−1x=2x2−x−1x=2x+1x−1x，
令ℎ′x=0，得x=1（舍负）
ℎx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
∴ℎ(x)min=ℎ1=0.
根据题意t的取值范围为0,1.
（2）设函数fx在点x1,fx1处与函数gx在点x2,gx2处有相同的切线，
则f′x1=g′x2=fx1−gx2x1−x2,∴2x1−a=1x2=x12−ax1+1−lnx2−ax1−x2，
∴x1=12x2+a2，代入x1−x2x2=x12−ax1+1−lnx2−a
得14x22+a2x2+lnx2+a24+a−2=0.
∴问题转化为：关于x的方程14x2+a2x+lnx+a24+a−2=0有解，
设Fx=14x2+a2x+lnx+a24+a−2(x>0)，则函数Fx有零点，
∵Fx=141x+a2+lnx+a−2，当x=e2−a时，
lnx+a−2=0,∴Fe2−a>0.
∴问题转化为：Fx的最小值小于或等于0.
F′x=−12x3−a2x2+1x=2x2−ax−12x3，
设2x02−ax0−1=0x0>0，则
当0x0时，F′x>0.
∴Fx在0,x0上单调递减，在x0,+∞上单调递增，
∴Fx的最小值为Fx0=14x02+a2x0+lnx0+a24+a−2.
由2x02−ax0−1=0知a=2x0−1x0，
故Fx0=x02+2x0−1x0+lnx0−2.
设φx=x2+2x−1x+lnx−2(x>0)，
则φ′x=2x+2+1x2+1x>0，
故φx在0,+∞上单调递增，
∵φ1=0,∴当x∈0,1时，φx≤0，
∴Fx的最小值Fx0≤0等价于0≤x0≤1.
又∵函数y=2x−1x在0,1上单调递增，
∴a=2x0−1x0∈−∞,1.
19．（23-24高二下·江西·期中）已知函数fx=x−a2，gx=−x−b2.
(1)当a=1时，求曲线y=fx在x=0处的切线方程.
(2)若a+b=1，是否存在直线l与曲线y=fx和y=gx都相切？若存在，求出直线l的方程（若直线l的方程含参数，则用a表示）；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据导数的几何意义，先求导数得到切线的斜率，利用点斜式可得方程；
（2）先求两个函数的导数，利用公切线建立等量关系，求解方程可得答案.
【解答过程】（1）当a=1时，f′x=2x−1，f0=1，f′0=−2.
曲线y=fx在x=0处的切线方程为y−f0=f′0x−0，即y=−2x+1.
（2）设直线l与曲线y=fx相切于点Ax1,y1，与曲线y=gx相切于点Bx2,y2，f′x=2x−a，g′x=−2x−b.
曲线y=fx在点A处的切线为y−x1−a2=2x1−ax−x1，
与曲线y=gx相切于点B，
则−2(x2−b)=2(x1−a)且−(x2−b)2−(x1−a)2=2(x1−a)(x2−x1)（*），
由x1+x2=a+b=1，则x1−a=−x2−b，
代入（*）得−x1−a2=x1−ax2−x1，
解得x1=a或x2=a.
当x1=a时，直线l:y=0.当x2=a时，x1=1−a，直线l:y=21−2ax+2a−1.
故存在直线l与曲线y=fx和y=gx都相切，直线l的方程为y=0或y=21−2ax+2a−1.
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数
(2)通过函数图象，理解导数的几何意义
(3)能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数
2022年新课标I卷：第15题，5分
2023年全国甲卷（文数）：第8题，5分
2024年新课标I卷：第13题，5分
2024年全国甲卷（文数）：第7题，5分
2024年全国甲卷（理数）：第6题，5分
导数是高考数学的必考内容，导数的概念及其意义、导数的运算是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要涉及导数的运算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.