专题1.1 集合（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc10710" 【题型1 集合中元素个数问题】 PAGEREF _Tc10710 \h 2
\l "_Tc13601" 【题型2 子集的个数问题】 PAGEREF _Tc13601 \h 3
\l "_Tc17835" 【题型3 与集合间的关系有关的含参问题】 PAGEREF _Tc17835 \h 3
\l "_Tc12094" 【题型4 集合的交、并、补集运算】 PAGEREF _Tc12094 \h 4
\l "_Tc18846" 【题型5 与集合的运算有关的含参问题】 PAGEREF _Tc18846 \h 4
\l "_Tc15141" 【题型6 集合的新定义问题】 PAGEREF _Tc15141 \h 5
1、集合
【知识点1 集合】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
4．集合的运算性质
(1)，，．
(2)，，．
(3)，，．
【常用结论】
(1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
(2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(3)．
(4),．
【题型1 集合中元素个数问题】
【例1】（2024高一上·全国·专题练习）若集合A=x|mx2+2x+2=0中有两个元素，则实数m的取值范围为（ ）
A．m|m≠0B．mm<12
C．mm<12且m≠0D．m0【变式1-1】（2023·河南郑州·模拟预测）已知集合P=nn=2k−1,k∈N∗,k≤10，Q=2,3,5，则集合T=xyx∈P,y∈Q中元素的个数为（ ）
A．30B．28C．26D．24
【变式1-2】（2023·四川南充·模拟预测）定义集合A∗B=z∣z=xy,x∈A,y∈B，设集合A=−1,0,1，B=−1,1,3，则A∗B中元素的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1-3】（2023·河北·模拟预测）若集合U有71个元素，S,T⊆U且各有14，28个元素，则∁S∪TS∩T的元素个数最少是（ ）
A．14B．30C．32D．42
【题型2 子集的个数问题】
【例2】（2024·宁夏·一模）已知集合A=−1,0,1，B=xx=mn,m∈A,n∈A，则集合B的真子集个数是（ ）
A．4B．7C．8D．15
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知集合1,0⊆B−1,0,1,2，则满足条件的集合B的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合A=−1,0,1，B=zz=x+y+1,x∈A,y∈A，则集合B的真子集个数为（ ）
A．8B．16C．31D．63
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知集合A=x,yx,y∈Z,且xy=4，B=x,yx≤y，则A∩B的子集的个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
【题型3 与集合间的关系有关的含参问题】
【例3】（2024·全国·模拟预测）已知集合A=m+2,1,4,B=m2,1，若B⊆A，则实数m=（ ）
A．−1B．−2或0C．−2D．2
【变式3-1】（2023·全国·高考真题）设集合A=0,−a，B=1,a−2,2a−2，若A⊆B，则a=（ ）．
A．2B．1C．23D．−1
【变式3-2】（2024·四川德阳·三模）已知集合A=x|1A．(2024,+∞)B．[2024,+∞)C．(−∞,2024]D．(−∞,2024)
【变式3-3】（2024·辽宁抚顺·三模）设集合A=1,−a,B=0,3−a,3a−8，若A⊆B，则a=（ ）
A．0B．1C．2D．3
【题型4 集合的交、并、补集运算】
【例4】（2024·广东·模拟预测）已知集合A=x∈N|x>1，B=x|0A．x|10
C．2,3D．1,2,3
【变式4-1】（2024·云南红河·二模）设集合A=0,1,2,B=3,m，若A∩B=2，则A∪B=（ ）
A．0,1,2,3B．0,1,2C．1,2,3D．2,3
【变式4-2】（2024·四川攀枝花·三模）已知全集U=x1A．4,5B．2,3,4,5C．2D．2,4,5
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知集合U=Z，A=xx=2k+1,k∈Z，B=xx=4k+2,k∈Z，则xx=4k,k∈Z=（ ）
A．∁UA∩BB．∁UA∪BC．∁UA∩BD．∁UA∪B
【题型5 与集合的运算有关的含参问题】
【例5】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合A=−1,a,a+2,B=yy=x2−2x,x∈A，若A∪B=A，则a=（ ）
A．3B．2C．1D．1或3
【变式5-1】（2024·安徽阜阳·一模）设集合S=xx<−1或x>5，集合T=xaA．−∞,−3∪−1,+∞B．−3,−1
C．−∞,−3∪−1,+∞D．−3,−1
【变式5-2】（2024·吉林·模拟预测）已知集合A=xx≤a，B=xx≥2a−1，A∩B≠∅，则正实数a的取值范围为（ ）
A．(0,1]B．(0,1)
C．(0,2)D．(1,2)
【变式5-3】（2024·广东梅州·一模）已知集合A=xxA．−∞,−1B．−1,2
C．−1,2D．2,+∞
【题型6 集合的新定义问题】
【例6】（2024·黑龙江·二模）已知集合A=1,2，B=3,4，定义集合：A∗B=x,yx∈A,y∈B，则集合A∗B的非空子集的个数是（ ）个．
A．16B．15C．14D．13
【变式6-1】（2023·云南保山·二模）定义集合运算：A+B=zz=x+y,x∈A,y∈B，设A=1,2，B=1,2,3，则集合A+B的所有元素之和为（ ）
A．14B．15C．16D．18
【变式6-2】（2023·全国·三模）如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若A=xx=2n+1,n∈N,n≤4，B=2,3,4,5,6,7，则A⊗B=（ ）
A．2,4,6,1B．2,4,6,9C．2,3,4,5,6,7D．1,2,4,6,9
【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）对于集合A，B，定义集合A−B=xx∈A且x∉B，已知集合U=x−3A．−2,0,1,3,4,5B．0,1,3,4,5C．−1,2,6D．−2,0,1,3,4
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合A=xx=3k+1,k∈Z，则下列表示正确的是（ ）.
A．−2∈AB．2023∉A
C．3k2+1∉AD．−35∉A
2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合A={x|2mx−3>0,m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是（ ）
A．34,32B．34,32C．34,32D．34,32
3．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合A=x∈Rax2−2x+1=0中只有一个元素，则实数a=（ ）
A．1B．0C．2D．0或1
4．（2024·浙江·二模）已知集合M=1,2,3，N=0,1,2,3,4,7，若M⊆A⊆N，则满足集合A的个数为（ ）
A．4B．6C．7D．8
5．（2024·山东聊城·一模）已知集合A={xx≤2}，B={xx−a<0}，若A⊆B，则a的取值范围为（ ）
A．−∞,−2B．−∞,−2C．2,+∞D．2,+∞
6．（2024·全国·模拟预测）集合P=1,2,3,4,5,6,Q=xx=3t−1,t∈P，则P∩Q=（ ）
A．1,3,5B．2,4,6C．1,4D．2,5
7．（2024·天津·二模）设全集U=−1,0,1,2,3，集合A=0,1,2，B=−1,0,1，则∁UA∪B=（ ）
A．−1,0,1,3B．−1,0,1,2C．0,1,2D．0,1
8．（2024·安徽·二模）已知集合A=1,2,3，B=xx>a，A∩∁RB=A，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥1B．a≤1C．a≥3D．a≤3
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）非空集合A具有如下性质：①若x,y∈A，则xy∈A；②若x,y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有（ ）
A．−1∉AB．20222023∈A
C．若x,y∈A，则xy∈AD．若x,y∈A，则x−y∈A
10．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合A=x∣x2−3x−18=0，B=xx2+ax+a2−27=0，则下列命题中正确的是（ ）
A．若A=B，则a=−3
B．若A⊆B，则a=−3
C．若B=∅，则{a∣a<−6或a>6}
D．若BA，则{a∣a<−6或a≥6或a=−3}
11．（2023·山东潍坊·一模）若非空集合M,N,P满足：M∩N=N,M∪P=P，则（ ）
A．P⊆MB．M∩P=M
C．N∪P=PD．M∩∁pN=∅
三、填空题
12．（2024·辽宁丹东·一模）若x2−80为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为 ．
13．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合A=−1,2,4，B=2,m2．若B⊆A，则实数m的取值集合为 ．
14．（2024·全国·模拟预测）已知集合M=−2,−1,0,1，N=x|a−3四、解答题
15．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合A=x∈Rax2+2x+1=0，其中a∈R.
(1)若集合A中有且仅有一个元素，求实数a组成的集合B.
(2)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.
16．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合A=x∣x2−5x+6=0,x∈R,B={x∣ax−1=0,x∈R}
(1)若a=12，试判断集合A与B的关系；
(2)若BA，求a的值组成的集合C．
17．（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知集合A=xm5}．
(1)当m=4时，求A∩∁RB；
(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
18．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知集合A=xx−2x+3≤0，B=xa−1(1)当a=1时，求A−B与B−A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
19．（23-24高一上·北京密云·期末）对于正整数集合A=a1,a2,⋯,an（n∈N∗，n≥3）如果去掉其中任意一个元素.aii=1,2,⋯,n之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”.
(1)判断集合1,2,3,4,5是否是“和谐集”，并说明理由；
(2)求证：若集合A是“和谐集”.则集合A中元素个数为奇数；
(3)若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值.
考点要求
真题统计
考情分析
(1)集合的概念
(2)集合间的基本关系
(3)集合的基本运算
2020年I卷、Ⅱ卷：第1题，5分
2021年I卷、Ⅱ卷：第1题，5分
2022年I卷、Ⅱ卷：第1题，5分
2023年I卷：第1题，5分、Ⅱ卷：第2题，5分
集合是高考数学的必考考点，高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大.常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为主.
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
交集
属于A且属于B的所有元素组成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于A或属于B的元素组成的集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集
{x|x∈U，x∉A}
∁UA