专题2.1 函数的概念（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11348" 【题型1 函数的概念】 PAGEREF _Tc11348 \h 2
\l "_Tc32018" 【题型2 同一函数的判断】 PAGEREF _Tc32018 \h 3
\l "_Tc24185" 【题型3 具体函数的定义域的求解】 PAGEREF _Tc24185 \h 4
\l "_Tc30290" 【题型4 抽象函数的定义域的求解】 PAGEREF _Tc30290 \h 4
\l "_Tc5583" 【题型5 已知函数定义域求参数】 PAGEREF _Tc5583 \h 5
\l "_Tc28844" 【题型6 已知函数类型求解析式】 PAGEREF _Tc28844 \h 5
\l "_Tc10438" 【题型7 已知f(g(x))求解析式】 PAGEREF _Tc10438 \h 5
\l "_Tc2137" 【题型8 函数值域的求解】 PAGEREF _Tc2137 \h 6
\l "_Tc27694" 【题型9 分段函数及其应用】 PAGEREF _Tc27694 \h 6
1、函数的概念
【知识点1 函数的定义域的求法】
1．求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2．求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
【知识点2 函数解析式的四种求法】
1．函数解析式的四种求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
【知识点3 求函数值域的一般方法】
1．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
【知识点4 分段函数的应用】
1．分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．
【题型1 函数的概念】
【例1】（2023·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数y=fx图象的是（ ）

A．①②B．②③C．②④D．①③
【变式1-1】（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集A=R,B=(0,+∞),x,y满足方程x2−y=0，下列对应关系f为函数的是（ ）
A．f:A→B,y=f(x)B．f:B→A,y=f(x)
C．f:A→B,x=f(y)D．f:B→A,x=f(y)
【变式1-2】（2024·江西·一模）设M={x|0≤x≤4}，N={y|−4≤y≤0}，函数fx的定义域为M，值域为N，则fx的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A．A=N,B=N,f:x→y=x–12B．A=N,B=N,f:x→y=±x
C．A=N,B=Q,f:x→y=1x–1D．A=R,B=y|y>0,f:x→y=x
【题型2 同一函数的判断】
【例2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．f(x)=x,g(x)=x2xB．f(x)=x(x∈R),g(x)=x(x∈Z)
C．f(x)=x,g(x)=x,x≥0−x,x<0D．f(x)=x,g(x)=(x)2
【变式2-1】（2024·山东·一模）下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．fx＝elnx，gx＝x
B． fx＝x2−4x+2,gx＝x－2
C．fx＝sin2x2csx,gx＝sinx
D． fx＝x，gx＝x2
【变式2-2】（2024·重庆·二模）下列函数中，与y=x是相同的函数是
A．y=x2B．y=lg10x
C．y=x2xD．y=x−12+1
【变式2-3】（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（ ）
A．fx=x2，gx=x4B．fx=x−1，gx=x2x−1
C．fx=1，gx=x0D．fx=x，gx=x,x≥0−x,x<0
【题型3 具体函数的定义域的求解】
【例3】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数fx=3−xx−1的定义域为（ ）
A．−∞,3B．1,+∞C．1,3D．−∞,1∪3,+∞
【变式3-1】（2024·陕西·模拟预测）函数y=−x2−3x+4x的定义域为（ ）
A．−4,1B．−4,0C．0,1D．−4,0∪0,1
【变式3-2】（2024吉林·一模）函数y=ln(x+1)−x2−3x+4的定义域为（ ）
A．(−4,−1)B．(−4,1)C．(−1,1)D．(−1,−1]
【变式3-3】（2024·山东泰安·三模）已知函数fx=x2x−4x，则函数fx−1x+1的定义域为（ ）
A．−∞,1B．−∞,−1
C．−∞,−1∪−1,0D．−∞,−1∪−1,1
【题型4 抽象函数的定义域的求解】
【例4】（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数y=f2x的定义域为−2,4，则y=fx−f−x的定义域为（ ）
A．−2,2B．−2,4
C．−4,4D．−8,8
【变式4-1】（2024·陕西西安·一模）若函数fx的定义域是[0，4]，则函数gx=f2xx的定义域是
A．[ 0，2]B．(0，2)C．[0，2)D．(0，2]
【变式4-2】（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数y=fx的定义域为0,4，则函数y=f(x+1)x−1+(x−2)0的定义域是（ ）
A．1,5B．1,2∪2,5C．1,2∪2,3D．1,3
【变式4-3】（2024·湖北荆州·模拟预测）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数Jzzx(x)定义域为[211,985]，则函数sℎuangyiliu(x) =Jzzx(2018x)+Jzzx(2021x)的定义域为（ ）
A．2112018,9852021B．2112021,9852018
C．2112018,9852018D．2112021,9852021
【题型5 已知函数定义域求参数】
【例5】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数fx=mx2+(m−3)x+1的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．[1,9]B．(1,9)
C．(−∞,1]∪[9,+∞)D．{3}
【变式5-1】（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数f(x)=a2−1x2+(a+1)x+1的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A．−1,53B．(−∞,−1)∪53,+∞
C．53,+∞D．(−∞,−1]∪53,+∞
【变式5-2】（22-23高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数f(x)=1kx2+kx+1的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）
A．(0,4)B．[0,4)C．[0,4]D．(0,4]
【变式5-3】（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数fx的定义域x∣a2−4a0的解集的子集，则实数a的取值范围是（ ）
A．2+6,+∞B．−∞,2∪2+6,+∞
C．2,2+6D．2,3
【题型6 已知函数类型求解析式】
【例6】（2024·山东济南·二模）已知函数f(x)=−x2−2x+3，则f(x+1)= ．
【变式6-1】（2024·广东东莞·二模）已知函数f(x)=ax−b(a>0)，f(f(x))=4x−3，则f(2)= ．
【变式6-2】（2023·江西九江·模拟预测）若三角形的面积为S（cm2），底边长为10cm，底上的高为h（cm），则h关于S的函数关系式是 ．
【变式6-3】（2024·山东济南·一模）已知集合A=uxux=ax2−a+bx+b,a,b∈R，函数fx=x2−1.若函数gx满足：对任意ux∈A，存在λ,μ∈R，使得ux=λfx+μgx，则gx的解析式可以是 .（写出一个满足条件的函数解析式即可）
【题型7 已知f(g(x))求解析式】
【例7】（2023·重庆·模拟预测）已知函数f1−x=1−x2x2x≠0，则fx=（ ）
A．1x−12−1x≠0B．1x−12−1x≠1
C．4x−12−1x≠0D．4x−12−1x≠1
【变式7-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f1−x=1−x2x2x≠0，则fx=（ ）
A．1x−12−1x≠0B．1x−12−1x≠1
C．4x−12−1x≠0D．4x−12−1x≠1
【变式7-2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数fx满足：fx−1x=x2+1x2，则fx的解析式为（ ）
A．fx=x2+2B．fx=x2
C．fx=x2+2x≠0D．fx=x2−2x≠0
【变式7-3】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数fx满足若fgx=9x+3，gx=3x+1，则fx=（ ）
A．fx=3xB．fx=3
C．fx=27x+10D．fx=27x+12
【题型8 函数值域的求解】
【例8】（2024·湖南怀化·三模）已知函数f(x)=1x(1≤x≤2),则函数g(x)=2f(x)+f(x2)的值域为（ ）
A．[3,2+22]B．[54,3]C．[916,3]D．[12+2,3]
【变式8-1】（2024·湖北·三模）函数y=x−4x−x2的值域为（ ）.
A．2−22,4B．0,4C．0,2+22D．2−22,2+22
【变式8-2】（2008·江西·高考真题）若函数y=f(x)的值域是[12,3]，则函数F(x)=f(x)+1f(x)的值域是
A．[12,3]B．[2,103]C．[52,103]D．[3,103]
【变式8-3】（2024·浙江宁波·三模）若函数fx满足a≤fx≤baA．fx=cs2x+1B．fx=2x+1−x2
C．fx=x−x−1D．fx=3x−2x3x+2x
【题型9 分段函数及其应用】
【例9】（2024·吉林长春·三模）已知函数f(x)=2x,x>0f(x+2),x≤0，则f−3=（ ）
A．1B．2C．4D．8
【变式9-1】（2024·广东佛山·二模）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（0≤t≤2）左侧的图形的面积为ft．则函数y=ft的大致图象是（ ）

A． B．
C． D．
【变式9-2】（2024·江西南昌·一模）设函数f(x)={2|x−a|,x≤1x+1,x>1，若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．[−1,2)B．[−1,0]C．[1,2]D．[1,+∞)
【变式9-3】（2023·安徽合肥·模拟预测）定义在R上的函数fx满足fx+1=12fx，且当x∈0,1时，fx=1−2x−1.当x∈m,+∞时，fx≤332，则m的最小值为（ ）
A．278B．298C．134D．154
一、单选题
1．（23-24高一上·上海奉贤·期末）以下图形中，不是函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．f(x)=x(x2+1)x2+1，g(x)=xB．f(x)=x，g(x)=x2
C．f(x)=1，g(x)=x∘D．f(x)=x，g(x)=x2x
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数y=x+1−x的定义域是（ ）
A．0,1B．0,1C．0,+∞D．0,1
4．（2024·江苏南通·二模）已知fx对于任意x,y∈R，都有fx+y=fx⋅fy，且f12=2，则f4=（ ）
A．4B．8C．64D．256
5．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数fx=4x22x2+1，则对任意实数x，函数fx的值域是（ ）
A．0,2B．0,2C．0,2D．0,2
6．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数y=fx的定义域为−1,5，则函数y=f2x2−1的定义域为（ ）
A．0,3B．−3.3C．[−3,3]D．−3,0
7．（2024·吉林·模拟预测）已知fx=2x−1,x<1,x2,x≥1.若fa=1，则实数a的值为（ ）
A．1B．4C．1或4D．2
8．（2024·山东·二模）如图所示，动点P在边长为1的正方形ABCD的边上沿A→B→C→D运动，x表示动点P由A点出发所经过的路程，y表示△APD的面积，则函数y=fx的大致图像是（ ）．
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（23-24高一上·安徽六安·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．函数fx=x2+5x2+4的最小值为2
B．若a>b>0,m>0，则baC．函数fx=2x−3x−1的值域为−∞,2∪2,+∞
D．函数fx=x−1⋅x+1与函数gx=x2−1为同一个函数
10．（2024·全国·一模）设a为常数，f(0)=12,f(x+y)=f(x)f(a−y)+f(y)f(a−x)，则（ ）．
A．f(a)=12
B．f(x)=12成立
C．f(x+y)=2f(x)f(y)
D．满足条件的f(x)不止一个
11．（2024·湖南益阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（ ）
A．函数vx=xx与ux=1,当x>0时0,当x=0时−1,当x<0时表示同一函数
B．函数vx=x2−2x+2与ut=t2−2t+2是同一函数
C．函数y=fx的图象与直线x=2024的图象至多有一个交点
D．函数fx=x−1−x，则ff12=0
三、填空题
12．（2024·四川南充·三模）函数fx=16−x2x−1的定义域为 .
13．（2024·陕西·模拟预测）已知fx=x3+2,x≥0−3x,x<0，若fm=29，则m= ．
14．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知函数fx的定义域为−∞,+∞．对任意的x,y∈R恒有fx+yfx−y=fx+fyfx−fy，且f1=2，f2=0．则f2023+f2024= ．
四、解答题
15．（2023·江西九江·模拟预测）若f(x)的定义域为[−4,4]，求g(x)=f(2x+1)+f(x2)的定义域．
16．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知fx=3x2−1，gx=1x+2.
(1)求f1，g1的值；
(2)求fg1，gf1的值；
(3)求fx，gx的值域.
17．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）已知函数fx=ax−1,x≥01x,x<0，且f2=0.
(1)求ff0；
(2)若fm=m，求实数m的值.
18．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数f(x)=x2−3x−mx−1(m∈R)
(1)若f(2)=2，求实数m及ff5+1；
(2)若m=10，求fx的定义域；
(3)若fx的定义域为1,+∞，求实数m的取值范围.
19．（23-24高一上·安徽·期中）已知一次函数f(x)满足f(f(x))=x+3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)=xf(x)−12，求g(1)+g(2)+⋯+g(2023)+g(12023)+g(12022)+⋯+g(12)的值.
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域
(2)会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数
(3)了解简单的分段函数，并会应用
2021年浙江卷：第12题，5分
2022年浙江卷：第14题，5分
2023年北京卷：第11题，5分
函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的必考内容.从近几年的高考情况来看，高考对函数的概念考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现.高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主.