专题5.3 平面向量的数量积及其应用（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4192" 【题型1 平面向量数量积的运算】 PAGEREF _Tc4192 \h 4
\l "_Tc12712" 【题型2 平面向量的夹角问题】 PAGEREF _Tc12712 \h 5
\l "_Tc17733" 【题型3 平面向量的模长】 PAGEREF _Tc17733 \h 5
\l "_Tc16381" 【题型4 平面向量的垂直问题】 PAGEREF _Tc16381 \h 5
\l "_Tc7006" 【题型5 平面向量的投影】 PAGEREF _Tc7006 \h 6
\l "_Tc8722" 【题型6 坐标法解决向量问题】 PAGEREF _Tc8722 \h 6
\l "_Tc4382" 【题型7 平面向量的实际应用】 PAGEREF _Tc4382 \h 7
\l "_Tc4463" 【题型8 向量数量积与解三角形综合】 PAGEREF _Tc4463 \h 8
1、平面向量的数量积及其应用
【知识点1 向量数量积的性质和常用结论】
1．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①==.
②=0.
③当与同向时，=；当与反向时，=-.
特别地，==或=.
④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.
⑤=.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量，，和实数，有
①交换律：=；
②数乘结合律：()= ()=()；
③分配律：(+)=+.
2．向量数量积的常用结论
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等
号成立.
以上结论可作为公式使用.
【知识点2 平面向量数量积的解题方法】
1．平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
【知识点3 数量积的两大应用】
1．夹角与垂直
根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
2．向量的模的求解思路：
(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；
(2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
【知识点4 向量数量积综合应用的方法和思想】
1．向量数量积综合应用的三大解题方法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
【知识点5 极化恒等式】
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设，则，，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
平行四边形模式：.
(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
【方法技巧与总结】
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)；
(2).
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若与的夹角为锐角，则>0；若>0，则与的夹角为锐角或0.
(2)若与的夹角为钝角，则<0；若<0，则与的夹角为钝角或π.
3．向量在向量上的投影向量为.
【题型1 平面向量数量积的运算】
【例1】（2024·江西宜春·模拟预测）在△ABC中，已知AB=AC=2，BD=2DC，若AD⋅BC=2，则AB⋅AC=（ ）
A．−1B．1C．2D．−2
【变式1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量a=(m,2),b=(n,−1)(n>0)，a,c=2π3，a⋅b=0，且c=3，若b⋅c=322，则a+b⋅c=（ ）
A．32−262B．−62C．32+262D．362
【变式1-2】（2023·山东日照·一模）已知正六边形ABCDEF的边长为2，P是正六边形ABCDEF边上任意一点，则PA⋅PB的最大值为（ ）
A．13B．12C．8D．23
【变式1-3】（2024·北京·三模）已知点N在边长为2的正八边形A1,A2,⋯,A8的边上，点M在边A1A2上，则A1M⋅A1N的取值范围是（ ）
A．−4−22,22B．−4,4+22
C．−22,4+22D．−22,4
【题型2 平面向量的夹角问题】
【例2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知单位向量a，b满足b⋅2a+b=2，则a与b的夹角等于（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【变式2-1】（2024·江西新余·二模）已知a=3,23，b=−3,λ，若a+b与b的夹角为2π3，则λ=（ ）
A．-1B．1C．±1D．±2
【变式2-2】（2024·湖北·二模）已知平面向量a=1−x,−x−3，b=1+x,2，a⋅b=−4，则a+2b与b的夹角为（ ）
A．π3B．π4C．2π3D．3π4
【变式2-3】（2024·河北·模拟预测）平面四边形ABCD中，点E､F分别为AD,BC的中点，CD=2AB=8,EF=5，则csAB,DC=（ ）
A．516B．5564C．−558D．−2340
【题型3 平面向量的模长】
【例3】（2024·河北·三模）已知非零向量a，b的夹角为π3，a=−32,12，a−b=1，则a+b=（ ）
A．1B．32C．2D．3
【变式3-1】（2024·山东烟台·三模）已知向量a，b满足a=4，b在a方向上的投影向量为12a，且b⊥2a−b，则a+b的值为（ ）
A．4B．43C．16D．48
【变式3-2】（2024·湖南长沙·三模）在平行四边形ABCD中，AC=2BD=4，点P为该平行四边形所在平面内的任意一点，则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式3-3】（2024·湖南永州·三模）在△ABC中，∠ACB=120∘，AC=3，BC=4，DC⋅DB=0，则AB+AD的最小值为（ ）
A．63−2B．219−4C．33−1D．19−2
【题型4 平面向量的垂直问题】
【例4】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知向量a=(x,3),b=(2,x+5)，若a⊥(a−b)，则x=（ ）
A．2或3B．−2或−3C．1或−6D．−1或6
【变式4-1】（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量a=(2,4),b=(3,−1)，则“k=2”是“a⃗+kb⃗⊥a⃗−kb⃗”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式4-2】（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量a=(2,−1),b=(3,m)，且(a+b)⊥(a−b)，则m的值为（ ）
A．±1B．±2C．±2D．±23
【变式4-3】（2023·全国·高考真题）已知向量a=1,1,b=1,−1，若a+λb⊥a+μb，则（ ）
A．λ+μ=1B．λ+μ=−1
C．λμ=1D．λμ=−1
【题型5 平面向量的投影】
【例5】（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量a，b满足a=b=a+b，则a+2b在b方向上的投影向量为（ ）
A．2bB．32bC．bD．12b
【变式5-1】（2024·山东青岛·二模）已知向量a=−1,2，b=(−3,1)，则a在b上的投影向量为（ ）
A．(−32,12)B．(−12,1)C．(−55,255)D．(−31010,1010)
【变式5-2】（2024·江苏·模拟预测）已知两个非零向量a、b满足a+b=a−b，则a−b在b上的投影向量为（ ）
A．bB．−bC．12b D．−12b
【变式5-3】（2024·湖北武汉·二模）已知x∈R，向量a=x,2,b=2,−1，且a⊥b，则a+b在a上的投影向量为（ ）
A．5B．5C．1,2D．2,−1
【题型6 坐标法解决向量问题】
【例6】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60∘，动点P在BC边上（包括端点），则AD⋅AP的取值范围是（ ）
A．0,1B．−1,2C．−2,2D．−1,1
【变式6-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）如下图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…，P10，记Mi=AB2⋅APii=1,2,⋅⋅⋅,10，则M1+M2+⋅⋅⋅+M10=（ ）
A．18B．180C．−18D．−180
【变式6-2】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，已知AB是圆O的直径，C是圆O上一点，AC=CB，点P是线段BC上的动点，且△PAB的面积记为S1，圆O的面积记为S2，当PA⋅PB取得最大值时，S1S2=（ ）
A．1πB．2πC．3πD．4π
【变式6-3】（2024·贵州贵阳·一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中．以C为圆心，1为半径的圆分别交CD,BC于点E,F．当点P在劣弧EF上运动时，BP⋅DP的取值范围为（ ）
A．1−22,−12B．1−22,−1
C．−1,1−2D．1−22,1−2
【题型7 平面向量的实际应用】
【例7】（2024·吉林长春·一模）长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10km/h，水流的速度v2的大小|v2|=4km/h，设v1和v2所成角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则csθ等于（ ）
A．−215B．−25C．−35D．−45
【变式7-1】（2024·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W=F⋅S（其中W是功，F是力，S是位移）一物体在力F1=2,4和F2=−5,3的作用下，由点A1,0移动到点B2,4，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A．25B．5C．−5D．−25
【变式7-2】（2024·山东潍坊·二模）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是F1,F2，且F1,F2与水平夹角均为45°，F1=F2=102N，则物体的重力大小为 N.
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点O的三个力F1，F2，F3使物体处于平衡状态，已知F1=1N，F2=2N，F1与F2的夹角为120°，则F3的大小为 ．（牛顿N是物理的力学单位）
【题型8 向量数量积与解三角形综合】
【例8】（2024·江西·三模）已知钝角△ABC的面积为3,AB=4,AC=2，则AB·AC的值是（ ）
A．−6B．−27C．27或−27D．−6或6
【变式8-1】（2024·贵州毕节·三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2π3，若点D满足AD⋅AB=0，且AD=45AC+15AB，则bc=（ ）
A．12B．2C．14D．4
【变式8-2】（2024·山东菏泽·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知AB⋅AC−BA⋅BC=λAB2
(1)若λ=1，判断△ABC的形状；
(2)若λ=12，求tanB−A的最大值.
【变式8-3】（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，两射线l1、l2均与直线l垂直，垂足分别为D、E且DE=1.点A在直线l上，点B、C在射线上.
(1)若F为线段BC的中点（未画出），求AF⋅AD的最小值；
(2)若△ABC为等边三角形，求△ABC面积的范围.
一、单选题
1．（2024·黑龙江·模拟预测）已知向量|a|=3,|a−b|=|a+2b|，则|a+b|=（ ）
A．3B．2C．5D．3
2．（2024·江西吉安·模拟预测）若a=1,x,b=2,−2，且a+b=a−b，则x=（ ）
A．2B．−2C．−22D．22
3．（2024·辽宁·模拟预测）若a，b是夹角为60°的两个单位向量，λa+b与2a−b垂直，则λ=（ ）
A．0B．2C．−1D．−2
4．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量a,b满足a=2,b=3,0,a−b=10，则向量a在向量b方向上的投影向量为（ ）
A．16,0B．13,0C．12,0D．1,0
5．（2024·陕西安康·模拟预测）若平面向量a,b满足a=2,b=1,a+b=5，则向量a,b夹角的余弦值为（ ）
A．22B．−22C．12D．−12
6．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知向量a=(−3,1),b=(2,1)，则以下说法正确的是（ ）
A．|b−a|=5B．a方向上的单位向量为31010,1010
C．向量b在向量a上的投影为102D．若c=55,−255，则b⊥c
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）某公园设计的一个圆形健身区域如图所示，其中心部分为一个等边三角形广场，分别以等边三角形的三条边作为正方形的一条边构造三个正方形区域用于放置健身器材，其中每个正方形有两个顶点恰好在圆上．若AB=2a，则BD⋅CE=（ ）
A．−4(2+3)a2B．−2(2+3)a2C．−2(3+3)a2D．−2(1+3)a2
8．（2024·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，点E满足2AE=3EB，在平面ABCD中，动点P满足PE⋅PB=0，则DP⋅AC的最大值为（ ）
A．41+4B．41−6C．213+4D．213−6
二、多选题
9．（2024·山东·模拟预测）已知向量a=1,3，b=−2,0，则下列说法正确的是（ ）
A．a⋅b=2B．a与b的夹角为π3
C．a⊥a+2bD．a+b在b上的投影向量为12b
10．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知非零向量a≠e，e→=1，对任意t∈R，恒有a−te≥a−e，则（ ）
A．a在e上的投影的数量为1B．a+e≥a−2e
C．a⊥a−eD．e⊥a−e
11．（2024·河北保定·一模）已知P为△ABC所在平面内一点，则下列正确的是（ ）
A．若PA+3PB+2PC=0，则点P在△ABC的中位线上
B．若PA+PB+PC=0，则P为△ABC的重心
C．若AB⋅AC>0，则△ABC为锐角三角形
D．若AP=13AB+23AC，则△ABC与△ABP的面积比为3:2
三、填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量a=(−2,k−3)，b=(k,k−2)，且a⊥b，则k= .
13．（2024·上海·模拟预测）已知向量a，b，c满足a=b=1，c=2，且a+b+c=0，则csa−c,b−c=
．
14．（2024·天津河西·二模）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2CD=2AD=2，在等腰直角三角形CDE中，∠C=90°，则向量AE在向量CB上的投影向量的模为 ；若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且AM⋅AN=52，则MD⋅DN的最小值为 .
四、解答题
15．（2024·天津河北·模拟预测）已知向量a=3,4，b=1,x，c=1,2．
(1)若a⊥b，求b的值；
(2)若c∥a−2b，求向量a−2b与a的夹角的余弦值．
16．（23-24高一下·北京东城·期中）已知向量a,b的夹角为2π3，且|a|=2,|b|=4，求：
(1)a⋅b;
(2)a−b;
(3)a与a−b夹角的余弦值.
17．（2024·湖南邵阳·一模）在△ABC中，内角A满足3sin2A−cs2A=2.
(1)求角A的大小；
(2)若DC=2BD，求ADBD的最大值.
18．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知向量m,n满足m=2a,−6，n=2sinB,b，且m⊥n．
(1)求角A；
(2)若△ABC是锐角三角形，且a=3，求△ABC周长的取值范围．
19．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠DAB=90∘，AB=2AD=2DC=4，点F是BC边上的中点.
(1)若点E满足DE=2EC，且EF=λAB+μAD，求λ+μ的值；
(2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求AP⋅DP的取值范围.
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解平面向量数量积的含义及其几何意义
(2)了解平面向量的数量积与投影向量的关系
(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算
(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
(5)会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题
2022年新高考全国Ⅱ卷：第4题，5分
2023年新高考I卷：第3题，5分
2023年新高考Ⅱ卷：第13题，5分
2023年北京卷：第3题，5分
2024年新高考I卷：第3题，5分
2024年新高考Ⅱ卷：第3题，5分
平面向量的数量积是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，试题往往以选择题、填空题的形式呈现，主要考查向量的数量积、夹角、模与垂直条件等知识，难度中等，有时会与三角函数、平面几何等相结合命题.学生在高考一轮复习中应注意加强训练，要能灵活运用定义法、坐标法和基底法解决常见的数量积有关问题.