专题5.4 复数（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc29131" 【题型1 复数的概念】 PAGEREF _Tc29131 \h 6
\l "_Tc18760" 【题型2 复数的四则运算】 PAGEREF _Tc18760 \h 7
\l "_Tc13785" 【题型3 复数的几何意义】 PAGEREF _Tc13785 \h 8
\l "_Tc18108" 【题型4 复数的相等】 PAGEREF _Tc18108 \h 9
\l "_Tc16700" 【题型5 复数的模】 PAGEREF _Tc16700 \h 10
\l "_Tc30576" 【题型6 复数的三角表示】 PAGEREF _Tc30576 \h 11
\l "_Tc7210" 【题型7 复数与方程】 PAGEREF _Tc7210 \h 13
1、复数
【知识点1 复数的概念】
1．复数的概念
(1)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了.
(2)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(3)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC.
复数z=a+bi可以分类如下：
复数.
2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当
a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
【知识点2 复数的几何意义】
1．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3) 复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.
2．复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它
的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
3．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.

(3)性质
①=z.
②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
4．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以
原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.
【知识点3 复数的运算】
1．复数的四则运算
(1)复数的加法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(3)复数的乘法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(4)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
2．复数加法、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义
在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
(2)复数减法的几何意义
两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差
-对应的向量是-，即向量.
如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示).
这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.

3．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
【知识点4 复数有关问题的解题策略】
1．复数的概念的有关问题的解题策略
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b=0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且b≠0.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作或，即.
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为，则，即，若，则.
2．复数的运算的解题策略
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.
3．复数的几何意义的解题策略
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
4．复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【方法技巧与总结】
1．(1±i)2=±2i；；.
2．.
3．.
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，r为半径的圆.
【题型1 复数的概念】
【例1】（2024·湖北·模拟预测）已知z=i−1+2i，则z的虚部为（ ）
A．2B．−1 C．2i D．−i
【分析】直接计算可得z=−2−i，再用虚部的定义即可.
【详解】由于z=i−1+2i=−i+2i2=−2−i，所以z的虚部为−1.
故选：B.
【变式1-1】（2024·宁夏银川·一模）已知复数z=m2−1+m+i2⋅im∈R表示纯虚数，则m=（ ）
A．1B．−1C．1或−1D．2
【分析】根据题意结合复数的相关概念列式求解即可.
【详解】因为z=m2−1+m+i2⋅i=m2−1+m−1⋅i，
若复数z表示纯虚数，则m2−1=0m−1≠0，解得m=−1.
故选：B.
【变式1-2】（2024·吉林白山·一模）复数z=i+2i2+3i3，则z的虚部为（ ）
A．2iB．−2iC．2D．−2
【分析】根据虚数单位i的乘方运算规律将复数化简，即得其虚部.
【详解】由z=i+2i2+3i3可得：z=−2−2i，故z的虚部为−2.
故选:D．
【变式1-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知复数z=m2−7m+6+m2−36i是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．±6B．1或6C．−6D．1
【分析】根据实部为零，虚部不为零列式计算.
【详解】由题意可得：m2−7m+6=0且m2−36≠0，则m=1.
故选：D.
【题型2 复数的四则运算】
【例2】（2024·西藏·模拟预测）已知复数z=2−i，则zz−z=（ ）
A．−12+iB．12−iC．12+iD．−12−i
【分析】根据共轭复数和除法法则进行计算，得到答案.
【详解】因为z=2−i，所以z=2+i，
所以zz−z=2+i2−i−2+i=2+i−2i=2+i⋅i−2i⋅i=−1+2i2=−12+i．
故选：A．
【变式2-1】（2024·河南·三模）已知i为虚数单位，1+i31−i2=（ ）
A．1+iB．1−iC．−1+iD．−1−i
【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可.
【详解】1+i31−i2=1+i21+i−2i=2i1+i−2i=−1−i.
故选：D.
【变式2-2】（2024·陕西西安·三模）已知复数z=3+i，则z−iz−1的虚部为（ ）
A．−3B．−35C．3D．35
【分析】根据复数代数形式的除法化简z−iz−1，即可判断.
【详解】因为z=3+i，所以z−iz−1=32+i=32−i2+i2−i=65−35i，所以z−iz−1的虚部为−35．
故选：B.
【变式2-3】（2024·北京·三模）若复数z=a−1+5a+1i为纯虚数，其中a∈R，i为虚数单位，则a+i51−ai=（ ）
A．iB．−iC．1D．−1
【分析】由复数概念求出参数，结合复数四则运算即可求解.
【详解】由z=a−1+5a+1i是纯虚数可知a=1，所以a+i51−ai=1+i1−i=1+i22=i，
故选：A.
【题型3 复数的几何意义】
【例3】（2024·江西上饶·模拟预测）在复平面内，复数z=12+i对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【分析】根据复数的运算法则，得到z=25−15i，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由复数的运算法则，可得复数z=12+i=2−i2+i2−i=25−15i，
复数z在复平面内对应的点(25,−15)位于第四象限.
故选：D.
【变式3-1】（2024·重庆·二模）若复数z=2−a+2a−1ia∈R为纯虚数，则复数z+a在复平面上的对应点的位置在（ ）
A．第一象限内B．第二象限内
C．第三象限内D．第四象限内
【分析】根据纯虚数的定义解出a，利用复数的几何意义求解．
【详解】∵复数z=(2−a)+(2a−1)i(a∈R)为纯虚数，∴2−a=02a−1≠0,∴a=2，
复数z+a=3i+2在复平面上的对应点为(2,3)，位置在第一象限．
故选：A．
【变式3-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）复平面内A,B,C三点所对应的复数分别为1−i,2−i,3+i，若四边形ABCD为平行四边形，则点D对应的复数为（ ）
A．2B．2+iC．1D．1+i
【分析】根据复数的几何意义，利用向量相等即可求解.
【详解】由题意知A,B,C三点的坐标为A(1,−1),B(2,−1),C(3,1)，
设复平面内点D(x,y)，则AB=(1,0),DC =(3−x,1−y)，
又四边形ABCD是复平面内的平行四边形，则AB=DC，则3−x=11−y=0，解得x=2y=1，则D(2,1)．
故选:B．
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知z1=2−i，z2=a−2i（a∈R，i为虚数单位）．若z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，点O为原点，且OZ1⊥OZ2，则a=（ ）
A．1B．－1C．4D．－4
【分析】根据复数的几何意义可得OZ1=2,−1，OZ2=a,−2，即可利用向量垂直的坐标运算即可求解.
【详解】由题意，得OZ1=2,−1，OZ2=a,−2．因为OZ1⊥OZ2，
所以OZ1⋅OZ2=2a+−1×−2=0，解得a=−1．
故选:B．
【题型4 复数的相等】
【例4】（2023·全国·三模）已知i3=a−bia,b∈R，则a+b的值为（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【分析】由复数相等的充要条件可得a,b的值.
【详解】因为i3=a−bia,b∈R，所以−i=a−bi，
由复数相等的充要条件得a=0,b=1，所以a+b=1.
故选：C.
【变式4-1】（2024·辽宁·模拟预测）已知x+yi1+i=2−i，x,y∈R，则x+y=（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据条件得出x+yi=1+i2−i，再根据复数的乘法运算可得出x+yi=3+i，然后即可求出x+y的值．
【详解】解：∵x+yi1+i=2−i，∴x+yi=1+i2−i=3+i，
∴x=3，y=1，∴x+y=4.
故选：C.
【变式4-2】（2023·内蒙古包头·一模）设a(1+i)+b=−i，其中a，b是实数，则（ ）
A．a=−1,b=−1B．a=−1,b=1C．a=1,b=1D．a=1,b=−1
【分析】利用复数相等即可求出结果.
【详解】因为a(1+i)+b=−i，即a+b+ai=−i，
则a=−1a+b=0，即a=−1b=1，
故选：B.
【变式4-3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知i为虚数单位，x,y为实数，若x+yi+2=3−4i+2yi，则x+y=（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由复数相等可列出方程组求解.
【详解】由题意x+yi+2=x+2+yi=3−4i+2yi=3+2y−4i，
所以x+2=3y=2y−4，解得x=1,y=4，所以x+y=5.
故选：D.
【题型5 复数的模】
【例5】（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知复数z=i1−i，z表示z的共轭复数，则z=（ ）
A．24B．12C．22D．2
【分析】利用复数的除法运算求出z，再利用共轭复数及复数模的意义求解即得.
【详解】z=i1−i=i⋅(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+12i，因此z=−12−12i，
所以|z|=(−12)2+(−12)2=22.
故选：C.
【变式5-1】（2024·河北·模拟预测）若复数z=3−4i，则z⋅i−z=（ ）
A．2B．5C．52D．72
【分析】由共轭复数的定义和复数的运算化简z⋅i−z，再由复数的模长公式求解即可.
【详解】因为z=3−4i，所以z=3+4i，
z⋅i−z=3−4ii−3+4i=3i−4i2−3−4i=−i+1，
所以z⋅i−z=−i+1=12+12=2.
故选：A.
【变式5-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知a∈R，若z=a+i2i−1为纯虚数，则|z|=（ ）
A．2B．2C．1D．12
【分析】先对z=a+i2i−1化简，然后由其为纯虚数，求出a，从而可求出|z|.
【详解】z=a+i2i−1=(a+i)(2i+1)(2i−1)(2i+1)=a−2+(2a+1)i−5，
若z为纯虚数，则a−2=0且2a+1≠0，即a=2.
则z=−i,|z|=1.
故选：C.
【变式5-3】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知复数z1,z2,z1≠z2，若z1,z2同时满足|z|=1和|z−1|=|z−i|，则z1−z2为（ ）
A．1B．3C．2D．23
【分析】设z=x+yix,y∈R，根据|z|=1和|z−1|=|z−i|求出交点坐标，即可求出z1,z2，再计算其模即可.
【详解】设z=x+yix,y∈R，则z−1=x−1+yi，z−i=x+y−1i，
由|z|=1和|z−1|=|z−i|，
所以x2+y2=1且x−12+y2=y−12+x2，
即x2+y2=1且x=y，解得x=22y=22或x=−22y=−22，
所以z1=22+22i、z2=−22−22i（或z1=−22−22i、z2=22+22i），
则z1−z2=22+22i−−22−22i=2+2i（或z1−z2=−2−2i），
所以z1−z2=22+22=2.
故选：C.
【题型6 复数的三角表示】
【例6】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式(csx+i⋅sinx)n=cs(nx)+i⋅sin(nx)（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数csπ3+i⋅sinπ32在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.
【详解】csπ3+i⋅sinπ32=cs2π3+i⋅sin2π3=−12+32i，
在复平面内所对应的点为−12,32，在第二象限.
故选：B.
【变式6-1】（2024·广东·模拟预测）棣莫弗公式(csx+isinx)n=csnx+isinnx（i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数ω=cs2π3+i⋅sin2π3，则ω4的值是（ ）
A．−ωB．1ωC．ωD．ω
【分析】利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解.
【详解】依题意知，ω=cs2π3+i⋅sin2π3=−12+32i，
由棣莫弗公式，得ω4=(cs2π3+i⋅sin2π3)4=cs8π3+i⋅sin8π3=cs3π−π3+i⋅sin3π−π3 =−csπ3+i⋅sinπ3=−12+32i，
所以ω4=ω.
故选：C.
【变式6-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数z=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)在复平面内对应点为Z，设r=OZ,θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则z=a+bi=rcsθ+isinθ，把rcsθ+isinθ叫做复数a+bi的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，[rcsθ+isinθ]n=rncsnθ+isinnθn∈N*，例如：−12+32i3=cs2π3+isin2π33=cs2π+isin2π=1，(1+i)4=2csπ4+isinπ44=4csπ+isinπ=−4，复数z满足：z3=1+i，则z可能取值为（ ）
A．2csπ12+isinπ12B．2cs3π4+isin3π4
C．62cs5π4+isin5π4D．62cs17π12+isin17π12
【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得z=62cs2kπ3+π12+isin2kπ3+π12,k∈Z，即可得解.
【详解】设z=rcsθ+isinθ，
则z3=1+i=2csπ4+isinπ4=r3cs3θ+isin3θ，
所以r=62，3θ=2kπ+π4,k∈Z，即θ=2kπ3+π12,k∈Z，
所以z=62cs2kπ3+π12+isin2kπ3+π12,k∈Z
故k=2时，θ=17π12，故z可取62cs17π12+isin17π12，
故选：D.
【变式6-3】（2023·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数z=a+bi都可以表示成三角形式，即a+bi=rcsθ+isinθ．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数z1=r1csθ1+isinθ1，z2=r1csθ2+isinθ2，则z1z2=r1r2csθ1+θ2+isinθ1+θ2，已知复数z=12+32i，则z2023+z2+z=（ ）
A．12B．12+32iC．12−32iD．1
【分析】将z=12+32i化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得z2023,z2的值，即可求得答案.
【详解】由题意可得z=12+32i=csπ3+isinπ3，
故z2023=cs2023π3+isin2023π3=cs(674π+π3)+isin(674π+π3)=csπ3+isinπ3，
所以z2023+z2+z=csπ3+isinπ3+cs2π3+isin2π3+csπ3−isinπ3
=12+32i.
故选：B.
【题型7 复数与方程】
【例7】（2024·山西阳泉·三模）已知2+i是实系数方程x2+px−q=0的一个复数根，则p+q=（ ）
A．−9B．−1C．1D．9
【分析】根据虚根成对原理2−i也是实系数方程x2+px−q=0的一个复数根，再由韦达定理计算可得.
【详解】因为2+i是实系数方程x2+px−q=0的一个复数根，
则2−i也是实系数方程x2+px−q=0的一个复数根，
所以−p=2+i+2−i−q=2+i2−i，解得p=−4q=−5，
所以p+q=−9.
故选：A.
【变式7-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程x2−2x+2=0的两个根分别为x1，x2，则x1+2x2=（ ）
A．1B．5C．7D．10
【分析】先求出两复数根，再根据复数的加法运算及复数的模的公式即可得解.
【详解】根据题意可得x−12=−1=i2，
∴x−1=±i，即x=1±i，
当x1=1−i，x2=1+i时，x1+2x2=3+i，
∴x1+2x2=12+32=10，
当x1=1+i，x2=1−i时，x1+2x2=3−i，
∴x1+2x2=12+32=10，
综上，x1+2x2=10.
故选：D.
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知1+2i是方程x2+mx+5=0(m∈R)的一个根，则m=（ ）
A．－2B．2C．iD．－1
【分析】法一:将复数代入二次方程，利用复数相等求解；法二：利韦达定理求解.
【详解】方法1：由题意知(1+2i)2+m(1+2i)+5=0，即2+m+(4+2m)i=0，解得m=−2.
方法2：根据虚根成对知1－2i也是方程的根，由韦达定理得(1+2i)+(1−2i)=−m，所以m=−2.
故选:A.
【变式7-3】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程x2+ix+1=0（其中i为虚数单位）的两根分别为z1，z2，则有（ ）
A．z12=z22>0B．z1+z2=z1z2C．1+z1=1+z2D．z1z2z1+z2=i
【分析】设方程x2+ix+1=0的根为z=a+bi，将其代入方程中的x中，根据复数相等的条件，构造方程组，解出a,b.则两根z1,z2知道了，再逐项代入验证即可.
【详解】设方程x2+ix+1=0的根为z=a+bia,b∈R，
代入方程，(a+bi)2+i(a+bi)+1=0,整理得(a2−b2−b+1)+(a+2ab)i=0，
故a2−b2−b+1=0a+2ab=0，则a=0b=−1±52，
不妨令z1=−1+52i,，z2=−1−52i，
对于A：因为z12=5−32,z22=−3+52，即z12≠z22，故A错误；
对于B：z1+z2=−i≠z1z2=1，故B错误.
对于C:1+z1=1+−1+52i=1+(−1+52)2=5−52,
1+z2=1+−1−52i=1+(−1−52)2=5+52，
因此，1+z1≠1+z2,故C错误.
对于D：z1z2z1+z2=1−i=i,故D正确.
故选:D.
一、单选题
1．（2024·北京大兴·三模）已知m−i2为纯虚数，则实数m=（ ）
A．0B．1C．−1D．±1
【分析】根据复数代数形式的乘方运算化简m−i2，再根据实部为0，虚部不为0得到方程（不等式）组，解得即可.
【详解】因为m−i2=m2−2mi+i2=m2−1−2mi，
又m−i2为纯虚数，所以m2−1=0−2m≠0，解得m=±1.
故选：D.
2．（2024·新疆·三模）复数z满足z+2i=z，则z的虚部为（ ）
A．−iB．iC．−1D．1
【分析】设z=a+bi，根据模长公式列出方程，求出b=−1，得到答案.
【详解】设z=a+bi且a,b∈R，则z+2i=a+bi+2i=a+b+2i，
因为z+2i=z，所以a2+b+22=a2+b2,解得：b=−1，则z的虚部为−1.
故选：C.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）若复数z=10i1−3i，则z=（ ）
A．5B．10C．5D．10
【分析】根据题意，结合复数模的计算方法，即可求解.
【详解】由复数z=10i1−3i，可得z=10i1−3i=1012+(−3)2=102=5.
故选：C.
4．（2024·浙江·模拟预测）若复数z满足z+2z=3+i（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用复数的运算法则求出z，再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点，进而求解．
【详解】设z=a+bi,(a,b∈R)，则z=a−bi，
则a+bi+2a−bi=3+i，即3a−bi=3+i，所以3a=3，−b=−1，
解得a=1，b=−1，故z=1−i，对应的点1,−1在第四象限．
故选：D．
5．（2024·浙江·模拟预测）已知z=−1+3i2，则z2−1=（ ）
A．1B．3C．2D．32
【分析】根据复数的乘法、减法运算和复数的模计算得到结果.
【详解】由题得z2−1=(−1+3i2)2−1=1−23i−34−1=−3−3i2，
则z2−1=−322+−322=3，
答选：B.
6．（2024·四川内江·模拟预测）若复数z满足z2−2z+4=0，则z=（ ）
A．3B．2C．5D．2
【分析】根据复数的四则运算以及复数模的计算公式即可求解.
【详解】因为z2−2z+4=(z−1)2+3=0，
所以(z−1)2=−3=3i2，
解得z=1±3i，
所以|z|=1+3=2.
故选：B.
7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知复数z满足3−iz−i=3，则复数z的共轭复数z=（ ）
A．12−32iB．12+32iC．32−12iD．32+12i
【分析】根据复数的除法运算化简复数z，由共轭复数的定义即可求解.
【详解】解：由题意，z=3+i3−i=(3+i)23−i3+i=12+32i，
则复数z的共轭复数z=12−32i.
故选：A.
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）欧拉公式eiθ=csθ+isinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，csθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则eiπ+1=（ ）
A．−1B．0C．1D．i
【分析】把θ=π代入欧拉公式即可。
【详解】eiπ+1=csπ+isinπ+1=−1+1=0.
故选：B.
二、多选题
9．（2024·江苏无锡·模拟预测）设z1,z2为复数，则下列结论正确的是（ ）
A．z1z2=z1z2B．z1+z2=z1+z2
C．若z1=z2，则z12=z22D．“z1【分析】设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，对于A：根据乘法运算结合模长公式分析判断；对于B：根据加法运算结合共轭复数分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的概念结合充分必要条件分析判断.
【详解】设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，
对于选项A：因为z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i，
所以z1z2=(ac−bd)2+(ad+bc)2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，
且z1z2=a2+b2c2+d2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，所以z1z2=z1z2，故A正确；
对于选项B：因为z1+z2=a+c+b+di,z1=a−bi,z2=c−di，
则z1+z2=a+c−b+di,z1+z2=a+c−b+di，
所以z1+z2=z1+z2，故B正确；
对于选项C：若z1=z2，例如z1=1+i,z2=1−i，满足z1=z2=2，
但z12=1+i2=2i，z22=1−i2=−2i，即z12≠z22，故C错误；
对于选项D：若z1若z1−z2<0，例如z1=1+i,z2=2+i，且z1−z2=−1<0，
但z1,z2不是实数，无法比较大小，即必要性不成立；
综上所述：“z1故选：ABD.
10．（2024·湖北荆州·三模）已知复数z=m2−1+m+1im∈R，则下列命题正确的是（ ）
A．若z为纯虚数，则m=±1
B．若z为实数，则z=0
C．若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，则m=−1
D．z在复平面内对应的点不可能在第三象限
【分析】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断A、B，根据复数的几何意义判断C、D.
【详解】复数z=m2−1+m+1im∈R的实部为m2−1，虚部为m+1，
复数z在复平面内对应的点的坐标为m2−1,m+1，
对于A：若z为纯虚数，则m2−1=0m+1≠0，解得m=1，故A错误；
对于B：若z为实数，则m+1=0，解得m=−1，则z=0，故B正确；
对于C：若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，
所以m+1=2m2−1，解得m=−1或m=32，故C错误；
对于D：令m2−1<0m+1<0，即−1所以z在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确.
故选：BD.
11．（2024·浙江舟山·模拟预测）已知复数z1,z2是关于x的方程x2+bx+1=0(−2A．z1=z2B．z1z2∈RC．z1=z2=1D．若b=1，则z13=z23=1
【分析】依题意求出两根为：z1=−b2+4−b22i,z2=−b2−4−b22i，再依次判断选项．
【详解】Δ=b2−4<0，则x=−b±4−b2i2，
不妨设z1=−b2+4−b22i,z2=−b2−4−b22i，
则z1=z2，故A项正确；
z1=z2=−b22+4−b222=1，故C项正确；
而z1⋅z2=1，
则z1z2=z12z2⋅z1=z12= −b2+4−b22i2=b2−22−b4−b22i，
当b≠0时，z1z2∉R，故B项错误；
当b=1时，z1=−12+32i,z2=−12−32i，
z12=−12−32i=z2=z1，z22=z1=z2，z13=z1z2=1，同理z23=1，故D项正确，
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·山东青岛·二模）已知复数z满足(z+2)i=2z−1，则复数z= −i .
【分析】利用复数的除法运算求解.
【详解】易知z=1+2i2−i=(1+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=5i5=i，所以z=−i.
故答案为：−i.
13．（2024·上海·三模）设z=m2−1+m−1i（i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为 −1 ．
【分析】根据给定的条件，利用纯虚数的定义列式计算即得.
【详解】由z=m2−1+m−1i为纯虚数，得m2−1=0m−1≠0，解得m=−1，
所以实数m的值为−1.
故答案为：−1.
14．（2024·江苏南通·模拟预测）复数2−3i与−1+i分别表示向量OA与OB，记表示向量AB的复数为z，则zz= 25 ．
【分析】根据题意，由向量的减法可得z=AB=OB−OA，再由复数的乘法运算，代入计算，即可求解.
【详解】由题意可知，z=AB=OB−OA=−1+i−2−3i=−3+4i，
则z=−3−4i，所以zz=−3+4i−3−4i=9+16=25.
故答案为：25.
四、解答题
15．（2024·甘肃兰州·一模）实数m取什么值时，复数z=m+3+(m−3)i是
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
【分析】（1）（2）（3）利用复数是实数、虚数、纯虚数的定义列式计算作答.
【详解】（1）复数z=m+3+(m−3)i是实数，则m−3=0，解得m=3，
所以当m=3时，复数是实数.
（2）复数z=m+3+(m−3)i是虚数，则m−3≠0，解得m≠3，
所以当m∈R,m≠3时，复数是虚数.
（3）复数z=m+3+(m−3)i是纯虚数，则m+3=0m−3≠0，解得m=−3，
所以当m=−3时，复数是纯虚数.
16．（2024·河南·模拟预测）已知复数z=2+2i2.
(1)若复数2z−m2−2m在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围；
(2)若z2，2z+z2在复平面内对应的点分别为B，C，求cs∠BOC（点O为坐标原点）.
【分析】（1）化简得2z−m2−2m=m2−4m+21−mi，再根据在复平面内对应的点在第三象限时的实部虚部的正负求解范围即可；
（2）计算z2，2z+z2，得到B，C的坐标，再用向量的数量积公式求解即可
【详解】（1）因为z=2+2i2，所以2z−m2−2m=1−m+i2−2m=m2−4m+21−mi.
因为复数2z−m2−2m在复平面内对应的点在第三象限，
所以m2−4m<0,1−m<0,解得1（2）由题可知z2=2+2i22=21+2i−14=i，2z+z2=1+2i，
则点B0,1，C1,2，OB=0,1，OC=1,2.
因此cs∠BOC=OB⋅OCOBOC=21×5=255.
17．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知复数z=m−i（m∈R），且z⋅1+3i为纯虚数（z是z的共轭复数）.
（1）设复数z1=m+2i1−i，求z1；
（2）复数z2=a−i2021z在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
【分析】（1）先根据条件得到z=3−i，进而得到z1=12+52i，由复数的模的求法得到结果；
（2）由第一问得到z2=3a+110+a−310i，根据复数对应的点在第一象限得到不等式，进而求解.
【详解】（1）∵z⋅1+3i=m+i1+3i=m−3+3m+1i为纯虚数，
∴m−3=0，3m+1≠0，解得m=3.
∴z1=3+2i1−i=3+2i1+i1−i1+i=12+52i，则z1=262.
（2）i2021=i4505⋅i=i，
复数z2=a−i3−i=a−i3+i3−i3+i=3a+110+a−310i在复平面对应的点在第一象限，
∴3a+110>0，a−310>0，解得a>3.
∴实数a的取值范围是3,+∞.
18．（2024·上海·模拟预测）已知关于x的方程x2−3ax−3a=0a∈R的虚数根为x1、x2.
（1）求x1+x2的取值范围；
（2）若x1−x2=1，求实数a的值.
【分析】（1）由题意x1=x2，从而x1+x2=2x1，由复数的运算可得2x1=2x1x1=2x1x2，根据判别式得出a的范围，从而得出答案.
（2）将x1−x2=1平方，将韦达定理代入，结合判别式得出a的范围，可得答案.
【详解】由题意知，Δ=9a2+12a<0，则−43（1）x1=x2，x1+x2=2x1=2x1x1=2x1x2=2−3a
因为−43（2）1=x1−x22=x1−x22=x1+x22−4x1x2=9a2+12a
因为9a2+12a<0，所以19a2+12a=−1，
所以a=−23±33.
19．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ=csθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eiπ+1=0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eiθ=csθ+isinθ，解决以下问题：
(1)将复数eπ3i+eπi表示成a+bi（a,b∈R，i为虚数单位）的形式；
(2)求eπ2i+eθiθ∈R的最大值；
(3)若zn=1，则z=zkk=0,1,2,⋯,n−1，这里zk=cs2kπn+isin2kπnk=0,1,2,⋯,n−1，称zk为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得x5−1=x−1x4+x3+x2+x1+1，复数z=e2π5i，Hx=x2+x+2，求HzHz2Hz3Hz4的值．
【分析】（1）根据欧拉公式直接可得解；
（2）由欧拉公式可证明eπ2i+eθi≤2，并得到eπ2i+eπ2i=2，这即得结果；
（3）根据单位根的概念，代入化简即可.
【详解】（1）由欧拉公式有
eπ3i+eπi=csπ3+isinπ3+csπ+isinπ=12+32i+−1=−12+32i.
（2）由于eπ2i=csπ2+isinπ2=1，eθi=csθ+isinθ=1，故eπ2i+eθi≤eπ2i+eθi=1+1=2，
而当θ=π2时，有eπ2i+eθi=eπ2i+eπ2i=2eπ2i=2eπ2i=2.
故eπ2i+eθiθ∈R的最大值是2.
（3）由于z5=1，故0=z5−1=z−1z4+z3+z2+z+1，而z≠1，所以z4+z3+z2+z+1=0.
故HzHz2Hz3Hz4
=z2+z+2z4+z2+2z6+z3+2z8+z4+2
=z2+z+2z4+z2+2z+z3+2z3+z4+2（利用z5=1）
=z2+z+2z3+z4+2⋅z+z3+2z4+z2+2
=z6+2z5+3z4+2z3+2z2+2z+4z7+2z5+2z4+3z3+2z2+2z+4
=z+2+3z4+2z3+2z2+2z+4z2+2+2z4+3z3+2z2+2z+4（利用z5=1）
=3z4+2z3+2z2+3z+62z4+3z3+3z2+2z+6
=z4+z+4z3+z2+4（利用z4+z3+z2+z+1=0）
=z7+z6+5z4+5z3+4z2+4z+16
=z2+z+5z4+5z3+4z2+4z+16（利用z5=1）
=5z4+5z3+5z2+5z+16
=11（利用z4+z3+z2+z+1=0）.
所以HzHz2Hz3Hz4=11.
考点要求
真题统计
考情分析
(1)通过方程的解，认识复数
(2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义
(3)掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义
2022年新高考全国I卷：第2题，5分、Ⅱ卷：第2题，5分
2023年新高考I卷：第2题，5分
2023年新高考Ⅱ卷：第1题，5分
2024年新高考I卷：第2题，5分
2024年新高考Ⅱ卷：第1题，5分
2024年全国甲卷（文数）：第1题，5分、（理数）：第1题，5分
复数是高考的热点内容，是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对复数的考查比较稳定，往往以单选题、填空题的形式考查，考查内容、难度变化不大，主要考查复数的概念、运算及其几何意义，属于简单题.预测明年高考复数依旧以单选题、填空题形式呈现，比较简单.