专题7.5 空间向量的概念与运算（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc1069" 【题型1 空间向量的线性运算】 PAGEREF _Tc1069 \h 4
\l "_Tc19461" 【题型2 空间共线向量定理的应用】 PAGEREF _Tc19461 \h 6
\l "_Tc6756" 【题型3 空间向量数量积及其应用】 PAGEREF _Tc6756 \h 8
\l "_Tc17277" 【题型4 空间向量基本定理及其应用】 PAGEREF _Tc17277 \h 11
\l "_Tc14786" 【题型5 证明三点共线、四点共面】 PAGEREF _Tc14786 \h 14
\l "_Tc14263" 【题型6 空间向量的坐标运算】 PAGEREF _Tc14263 \h 17
1、空间向量的概念与运算
【知识点1 空间向量的有关概念】
1．空间向量的概念
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(4)几类特殊的空间向量
【知识点2 空间向量的线性运算】
1．空间向量的线性运算
2．共线向量定理
(1)共线向量定理
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；
②证明三点共线.
【知识点3 空间向量的数量积】
1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
3．空间向量夹角的计算
求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．
4．空间向量数量积的计算
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入求解．
【知识点4 空间向量基本定理及其应用】
1．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
2．用基底表示向量的步骤:
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合
相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含
有，，，不能含有其他形式的向量．
3．证明平行、共线、共面问题
(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
4．求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
5．求距离(长度)问题
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(a·a)( eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))) )．
6．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．
【知识点5 空间向量的坐标运算】
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
【方法技巧与总结】
1．三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点.
2．四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点.
【题型1 空间向量的线性运算】
【例1】（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，化简AB−AD+CC1=（ ）
A．BD1B．DB1C．AC1D．CA1
【解题思路】由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算.
【解答过程】由长方体的结构特征，有CC1=BB1，
则AB−AD+CC1=DB+CC1=DB+BB1=DB1.
故选：B.
【变式1-1】（2024·上海·模拟预测）设A、B、C、D为空间中的四个点，则“AD=AB+AC”是“A、B、C、D四点共圆”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【解题思路】根据共面的性质，结合空间向量的加法和减法的几何意义、充分性、必要性的定义进行判断即可.
【解答过程】由 AD=AB+AC⇒AD−AB=AC⇒BD=AC，
当“A、B、C、D四点在同一条直线上时， A, B, C, D四点不共圆，
若A、B、C、D四点共圆，当ABCD 是矩形时，此时AC，BD为圆的直径,满足AD=AB+AC，而当ABCD 不是矩形时，显然AC，BD不是圆的直径，此时AD≠AB+AC.
故选: D.
【变式1-2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知四面体ABCD中，G是BD的中点，则CA+12AB+AD=（ ）
A．AGB．CGC．BGD．CB
【解题思路】根据已知条件作出图形，利用空间向量的加法法则即可得解.
【解答过程】因为四面体ABCD中，G是BD的中点，
所以CA+12AB+AD=CA+AG=CG.
故选：B.
【变式1-3】（23-24高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，CM=MD1，CQ=4QA1，则（ ）
A．AM=13AB+23AD+AA1B．AM=12AB+13AD+12AA1
C．AQ=14AB+14AD+34AA1D．AQ=15AB+15AD+45AA1
【解题思路】借助空间向量的线性运算计算即可得.
【解答过程】AM=AB+BC+CM=AB+AD+12CD+CC1
=AB+AD−12AB+12AA1=12AB+AD+12AA1，故A、B错误；
AQ=AA1+A1Q=AA1+15A1C=AA1+15A1D1+D1C1+C1C
=AA1+15AD+AB−AA1=15AB+15AD+45AA1，故C错误、D正确.
故选：D.
【题型2 空间共线向量定理的应用】
【例2】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+μe3，且A,B,C三点共线，则λ+μ=（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】根据向量共线设AB=xBC，从而得到方程组，求出λ=1μ=1，得到答案.
【解答过程】因为A,B,C三点共线，所以AB=xBC，
即e1+e2+e3=xe1+xλe2+xμe3，故x=1xλ=1xμ=1，解得λ=1μ=1，
所以λ+μ=1+1=2.
故选：C.
【变式2-1】（23-24高二上·北京·期中）已知MA,MB是空间两个不共线的向量，MC=5MA−3MB，那么必有（ ）
A．MA,MC共线B．MB,MC共线
C．MA,MB,MC共面D．MA,MB,MC不共面
【解题思路】利用空间向量的共线定理与共面定理.
【解答过程】若MA,MC共线，则MC=λMAλ∈R，
又MC=5MA−3MB⇒λMA=5MA−3MB⇒5−λ3MA=MB，则MA,MB共线，
与条件矛盾，故A错误；
同理若MB,MC共线，则MC=λMBλ∈R，
又MC=5MA−3MB⇒λMB=5MA−3MB⇒λ+35MB=MA，则MA,MB共线，
与条件矛盾，故B错误；
根据空间向量的共面定理可知MA,MB,MC共面，即C正确，D错误.
故选：C.
【变式2-2】（23-24高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，已知点A0,0,1，B1,2,3，Cm,n,2，若向量AB与向量BC共线，则m的值为（ ）
A．0B．12C．1D．32
【解题思路】根据向量平行的坐标关系直接求解可得.
【解答过程】根据题意：AB=1,2,2，BC=m−1,n−2,−1，
AB与BC共线，所以BC=λAB⇔m−1,n−2,−1=λ1,2,2，
可得λ=−12，m=12．
故选：B.
【变式2-3】（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体ABCD中，E为AD的中点，G为平面BCD的重心．若AG与平面BCE交于点F，则AFAG=（ ）
A．12B．23C．34D．45
【解题思路】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果.
【解答过程】如图：连接DG交BC于H，则H为BC中点，连接AH,EH,AG,
因为AG⊂平面AHD，EH⊂平面AHD，设AG∩EH=K，则K∈EH,K∈AG，
又EH⊂平面BCE，所以K∈平面BCE，故K为AG与平面BCE的交点，
又因为AG与平面BCE交于点F，所以F与K重合，
又E为AD的中点，G为平面BCD的重心，
因为点A，F，G三点共线，则AF=mAG=mAD+DG=mAD+23DH
=mAD+23×DB+DC2=mAD+13×AB−AD+AC−AD
=13mAD+AB+AC
又因为点E，F，H三点共线，则AF=xAH+yAE,x+y=1，
AF=xAH+yAE=x2AB+AC+y2AD,
所以m3=x2x+y=1m3=y2，解得m=34，即AF=34AG，故AFAG=34.
故选：C.
【题型3 空间向量数量积及其应用】
【例3】（2023·江苏淮安·模拟预测）在四面体ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，则AC⋅BD的值为（ ）
A．7B．9C．11D．13
【解题思路】根据空间数量积的运算律计算可得.
【解答过程】因为AC=AB+BC，BD=BC+CD，
所以AC⋅BD=AB+BC⋅BC+CD=AB⋅BC+AB⋅CD+BC2+BC⋅CD
=16+AB⋅BC+AB⋅CD+BC⋅CD，
又AB+BC+CD=AD，所以AB+BC+CD2=AD2，
即AB2+BC2+CD2+2AB⋅BC+2AB⋅CD+2BC⋅CD=AD2，
即32+42+52+2AB⋅BC+2AB⋅CD+2BC⋅CD=62，
所以AB⋅BC+AB⋅CD+BC⋅CD=−7，
所以AC⋅BD=9.

故选：B.
【变式3-1】（2024·江西赣州·二模）已知球O内切于正四棱锥P−ABCD，PA=AB=2，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则QE⋅QF的取值范围为（ ）
A．[0,2]B．[4−23,2]C．[0,4−3]D．[0,4−23]
【解题思路】根据给定条件，利用体积法求出球O半径，再利用向量数量积的运算律计算即得.
【解答过程】令H是正四棱锥P−ABCD底面正方形中心，则PH⊥平面ABCD，而AH=2，
则PH=PA2−AH2=2，正四棱锥P−ABCD的体积V=13×22×2=423，
正四棱锥P−ABCD的表面积S=4×34×22+22=4(3+1)，
显然球O的球心O在线段PH上，设球半径为r，则V=13Sr，即r=3VS=6−22，
在△POA中，∠PAOOP，又EF是球O的一条直径，
因此QE⋅QF=(QO+OE)⋅(QO−OE)=QO2−OE2=QO2−OH2，
显然OH≤QO≤AO，则(QE⋅QF)min=0，(QE⋅QF)max=AO2−OH2=AH2=2，
所以QE⋅QF的取值范围为[0,2].
故选：A.
【变式3-2】（2024·河南新乡·二模）已知圆锥MO的底面半径为3，高为1，其中O为底面圆心，AB是底面圆的一条直径，若点P在圆锥MO的侧面上运动，则PA⋅PB的最小值为（ ）
A．−94B．−32C．−2D．−1
【解题思路】由PA⋅PB=OA−OP⋅OB−OP=OP2−32，OP最小时，PA⋅PB有最小值，求OP的最小值即可.
【解答过程】圆锥MO的底面半径为3，高为1，其中O为底面圆心，AB是底面圆的一条直径，
则有OA=−OB，OA=OB=3，
点P在圆锥MO的侧面上运动，
则PA⋅PB=OA−OP⋅OB−OP=OA⋅OB−OA+OB⋅OP+OP2=OP2−32，
OP最小时，PA⋅PB有最小值，OP的最小值为O点到圆锥母线的距离，
Rt△MOA中，OA=3，OM=1，则AM=2，O点到MA的距离OD=OA⋅OMAM=32，
则OP的最小值为32，PA⋅PB的最小值为322−32=−94.
故选：A.
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知圆锥SO的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则OP⋅OQ的取值范围为（ ）
A．−4,4B．−4,4C．−2,2D．−2,2
【解题思路】利用空间向量的线性运算及数量积公式结合夹角余弦的范围计算即可.
【解答过程】
如图所示，延长SQ交底面圆周于B，过Q作QG⊥底面圆于G点，
显然OP⋅OQ=OP⋅OG+GQ=OP⋅OG=2csOP,OG⋅OG，
由题意可知csOP,OG∈−1,1,0