第四章 三角函数与解三角形综合测试卷（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）若sinα−20∘=sin20∘tan20∘−3，则sin2α+50∘=（ ）
A．18B．−18C．−78D．78
【解题思路】根据三角函数恒等变换化简已知可得sinα−20∘=−14，再利用诱导公式和二倍角公式求值.
【解答过程】根据题意，sinα−20∘=sin20∘tan20∘−3=sin20°cs20°sin20°−3cs20°
=sin20°cs20°212sin20°−32cs20°=sin20°cs20°2sin−40°=sin20°cs20°−2sin40°=12sin40°−2sin40°=−14，
而sin2α+50∘=sin2α−40∘+90∘=cs2α−20∘
=1−2sin2α−20∘=1−2×−142=78.
故选：D.
2．（5分）（2024·江西宜春·模拟预测）已知α∈π2,3π4，tanπ4+α=12tanπ4−α，则1−sin2α4cs2α=（）
A．6+42B．6−42C．17+122D．17−122
【解题思路】由已知先利用和差角的正切公式进行化简可求tanα，然后结合二倍角公式及同角基本关系对所求式子进行化简，即可求解.
【解答过程】因为α∈π2,3π4，tanπ4+α=12tanπ4−α，
所以1+tanα1−tanα=12×1−tanα1+tanα，tanα0，|φ|0，从而利用整体法判断出f(x)在−π2,−π6不单调；D选项，求出gx=Asin2x，得到其奇偶性.
【解答过程】A选项，点M、N关于点C对称，故xC=0+2π32=π3，
设fx的最小正周期为T，则12T=π3−−π6=π2，故T=π，A正确；
B选项，可以看出函数f(x)的图象关于点−π6,0对称，
又fx的最小正周期T=π，
故函数f(x)的图象关于点5π6,0对称，B正确；
C选项，又ω>0，故ω=2πT=2，
π3+−π62=π12，故将π12,A代入解析式得Asin2×π12+φ=A，
解得π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，
又|φ|0，故A>0，
则fx=Asin2x+π3，
当x∈−π2,−π6时，2x+π3∈−2π3,0，
由于y=sinz在z∈−2π3,0上不单调，
故fx=Asin2x+π3在x∈−π2,−π6上不单调，C错误；
D选项，gx=Asin2x+π3−π3=Asin2x，定义域为R，
又g−x=Asin−2x=−Asin2x=−gx，g(x)为奇函数，D正确.
故选：C.
4．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=1−2sin2ωx+π6(ω>0)在0,π2上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．76,136B．76,136C．76,136D．76,136
【解题思路】利用降幂公式降幂，结合余弦函数的图象特征，可得关于ω的不等式，即可求得实数ω得取值范围.
【解答过程】函数fx=1−2sin2ωx+π6=cs2ωx+π3(ω>0)，
由x∈0,π2，得2ωx+π3∈π3,πω+π3，
要使函数fx=1−2sin2ωx+π6(ω>0)在0,π2上有且仅有两个零点，
所以2ωx+π3=π2,3π2，则πω+π3∈(3π2,5π2]，得760,x∈R，且f(α)=−1,f(β)=0.若|α−β|的最小值为π4，则f(x)的单调递增区间为（ ）
A．−π3+kπ,π6+kπ,k∈ZB．−π3+2kπ,π6+2kπ,k∈Z
C．−π12+kπ,5π12+kπ,k∈ZD．−π12+2kπ,5π12+2kπ,k∈Z
【解题思路】先求出函数f(x)的周期，再求出ω，求出函数f(x)的解析式，再结合余弦函数的性质，即可求解.
【解答过程】函数f(x)=csωx−π3,ω>0,x∈R，且f(α)=−1,f(β)=0，|α−β|的最小值为π4，
则T4=π4，所以T=π，故2πω=π，所以ω=2，所以f(x)=cs2x−π3，
令2kπ−π≤2x−π3≤2kπ,k∈Z得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为−π3+kπ,π6+kπ,k∈Z.
故选：A.
8．（5分）（2024·全国·模拟预测）已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a2−b2=bc，则ba+c的取值范围是（ ）
A．33,22B．2−3,1C．2−3,2−1D．2+1,3+2
【解题思路】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到sinB=sin(A−B)，结合△ABC为锐角三角形，得到A=2B，故π6