重难点15 平面向量中的最值与范围问题（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc11870" 【题型1 定义法求最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc11870 \h 4
\l "_Tc5525" 【题型2 基底法求最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc5525 \h 4
\l "_Tc28012" 【题型3 坐标法求最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc28012 \h 5
\l "_Tc8935" 【题型4 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc8935 \h 6
\l "_Tc23333" 【题型5 与数量积有关的最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc23333 \h 7
\l "_Tc14668" 【题型6 与模有关的最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc14668 \h 8
\l "_Tc5987" 【题型7 平面向量中参数的最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc5987 \h 8
\l "_Tc11242" 【题型8 极化恒等式】 PAGEREF _Tc11242 \h 9
\l "_Tc22684" 【题型9 矩形大法】 PAGEREF _Tc22684 \h 10
\l "_Tc28581" 【题型10 等和(高)线定理】 PAGEREF _Tc28581 \h 11
1、平面向量中的最值与范围问题
平面向量中的范围、最值问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合；其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.
【知识点1 平面向量中的最值与范围问题的解题策略】
1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：
(1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断；
(2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法：
(1)定义法
①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；
②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论.
(2)坐标法
①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；
②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；
③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）.
(3)基底法
①适当选取一组基底，利用基底转化向量；
②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解；
③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），
即可得出结论.
【知识点2 极化恒等式】
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设，则，，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
平行四边形模式：.
2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图).
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图).
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
【知识点3 矩形大法】
1．矩形大法
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等.
即：已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，可以得到：.
【知识点4 等和(高)线定理】
1．等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立.
(2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.
①当等和线恰为直线AB时，k=1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)；
④当等和线过O点时，k=0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
【题型1 定义法求最值（范围）问题】
【例1】（24-25高三上·广东·开学考试）已知单位向量e1,e2的夹角为π3，则e1−te1−e2t∈R的最小值为（ ）
A．12B．32C．1D．34
【变式1-1】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设AM=xAB，AN=yAC，则x+4y的最小值为（ ）

A．9B．4C．3D．52
【变式1-2】（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）点O是△ABC所在平面内一点，若OA+OB+OC=0，AM=xAB，AN=yAC，MO=λON，则xy的最小值为（ ）
A．12B．1C．23D．49
【变式1-3】（23-24高一下·上海·期末）已知向量a,b,c，满足a=b=1，a⋅b=−12，c⃗=xa⃗+yb⃗x、y∈R,y≥0，则下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）．
①若x=1，则c的最小值为32；
②若x=1，则存在唯一的y，使得a⋅c=0；
③若c=1，则x+y的最小值为−1；
④若c=1，则a⋅c+c⋅b的最小值为−12．
A．1B．2C．3D．4
【题型2 基底法求最值（范围）问题】
【例2】（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）在矩形ABCD中，已知E,F分别是BC,CD上的点，且满足BE=EC,CF=2FD．若点P在线段BD上运动，且AP⃗=λAE⃗+μAF⃗λ,μ∈R，则λ+μ的取值范围为（ ）
A．−15,75B．35,45C．23,34D．−15,35
【变式2-1】（23-24高一下·浙江·期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，P为线段CD上一个动点（含端点），AC=mDB+nAP，则m+n的取值范围是（ ）
A．0,1B．2,3C．1,2D．2,4
【变式2-2】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知□ABCD中，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），点Q在对角线BD上（不包括端点B，D），若AP=λ1AB+μ1BC，AQ=λ2AB+μ2BC，记2λ12−μ1的最小值为m，12λ2+2μ2的最小值为n，则（ ）
A．m=−18，n=92B．m=−14，n=92
C．m=−18，n=94D．m=−14，n=94
【变式2-3】（23-24高三下·云南·阶段练习）已知O为△ABC的内心，角A为锐角，sinA=158，若AO=μAB+λAC，则μ+λ的最大值为（ ）
A．12B．34C．45D．56
【题型3 坐标法求最值（范围）问题】
【例3】（2024·河北沧州·一模）如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB=42，点D在以BC为直径的圆上运动，则|AB+AD|的最大值为（ ）
A．46B．8C．63D．12
【变式3-1】（2024·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，点E满足2AE=3EB，在平面ABCD中，动点P满足PE⋅PB=0，则DP⋅AC的最大值为（ ）
A．41+4B．41−6C．213+4D．213−6
【变式3-2】（2024·湖南永州·三模）在△ABC中，∠ACB=120∘，AC=3，BC=4，DC⋅DB=0，则AB+AD的最小值为（ ）
A．63−2B．219−4C．33−1D．19−2
【变式3-3】（2024·贵州贵阳·一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中．以C为圆心，1为半径的圆分别交CD,BC于点E,F．当点P在劣弧EF上运动时，BP⋅DP的取值范围为（ ）
A．1−22,−12B．1−22,−1
C．−1,1−2D．1−22,1−2
【题型4 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】
【例4】（2024·四川遂宁·模拟预测）在△ABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若AF=xAB+2yACx>0,y>0，则1x+2y的最小值为（ ）
A．3B．4C．8D．9
【变式4-1】（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）在△ABC中，点O满足BO=2OC，过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N．设AM=1mAB，AN=1nAC，则m2+n的最小值是（ ）
A．3B．1C．316D．2316
【变式4-2】（23-24高一下·安徽六安·期末）在△ABC中，已知AB⋅AC=9, sinB=csAsinC, S△ABC=6, P为线段AB上的一点，且CP=x⋅CACA+yCBCB，则1x+2y的最小值为（ ）
A．712+33B．5+66C．512+34D．5+266
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）如图所示，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点，AG=2GM，过点G的直线分别交直线AB，AC于P，Q两点．设AB=xAP(x>0)，AC=yAQ(y>0)，则4x+2+1y+1的最小值为（ ）
A．34B．32C．3D．6
【题型5 与数量积有关的最值（范围）问题】
【例5】（2024·陕西渭南·二模）已知菱形ABCD的边长为1,cs∠BAD=13,O为菱形的中心，E是线段AB上的动点，则DE⋅DO的最小值为（ ）
A．13B．23C．12D．16
【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD,P是弧BC（包括端点）上一点，则AP⋅AB的取值范围是（ ）
A．1,4+24B．1,2+22C．1,1+22D．24,1
【变式5-2】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，△ABD为等边三角形，CB=CD=2BD=2，当点E在对角线AC上运动时，EC⋅EB的最小值为（ ）
A．32B．12C．−34D．−1516
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对称中心为O，以O为圆心作半径为1的圆，点M为圆O上任意一点，则AD⋅CM的取值范围为（ ）

A．−6,4B．0,8C．−8,0D．−63,0
【题型6 与模有关的最值（范围）问题】
【例6】（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量a，b，c满足a=1，b=3，a⋅b=−32，a−c,b−c=30°，则c的最大值等于（ ）
A．27B．7C．23D．33
【变式6-1】（2024·湖南长沙·三模）在平行四边形ABCD中，AC=2BD=4，点P为该平行四边形所在平面内的任意一点，则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式6-2】（23-24高一下·天津·期末）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠A=120°，E，F分别是AB，AC边上的点，且AE=xAB，AF=yAC，且2x+y=1，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则|MN|的最小值为（ ）
A．72B．33926C．2114D．41313
【变式6-3】（23-24高一下·广东广州·期末）已知平面向量a，b，e，且e=1，a=2.已知向量b与e所成的角为60°，且b−te≥b−e对任意实数t恒成立，则a+e+12a−b的最小值为（ ）
A．3+1B．23C．3+5D．25
【题型7 平面向量中参数的最值（范围）问题】
【例7】（23-24高一下·甘肃陇南·期末）已知平面向量a,b,c满足a=b=4,c=2,a⋅b=−8，若c=λa+μb,λ∈R,μ∈R，则2λ+μ的取值范围是（ ）
A．−463,463B．−213,213C．−212,212D．−26,26
【变式7-1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在△ABC中，AB=6,AC=8,∠BAC=π3，I是∠BAC的平分线上一点，且AI=3，若△ABC内（不包含边界）的一点D满足ID=xAB+12AC，则实数x的取值范围是（ ）
A．−16,524B．−16,524C．−16,58D．−16,58
【变式7-2】（23-24高一下·四川成都·期末）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,DC//AB,AD=DC=1,AB=2,E,F分别为 AB,AC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上运动（如图所示）．若AP=λED+μAF，其中λ,μ∈R，则2λ−μ的取值范围是（ ）
A．−2,1B．−1,1
C．−1,2D．−2,2
【变式7-3】（23-24高一下·安徽芜湖·阶段练习）如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为2π3,P是扇形内部（包括边界）任意一点，若OP=xOA+yOB，那么2x+y的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．23
【题型8 极化恒等式】
【例8】（2024·重庆·模拟预测）已知△OAB的面积为1,AB=2，动点P,Q在线段AB上滑动，且PQ=1，则OP⋅OQ的最小值为 .
【变式8-1】（2024·山东·模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM⋅PN的取值范围是 .
【变式8-2】（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，AD=4，AB=83，BC=12 ，则BE⋅BF的取值范围为 .
【变式8-3】（23-24高一下·广东潮州·阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①(a+b)2=a2+2a⋅b+b2；②(a−b)2=a2−2a⋅b+b2.由①-②得(a+b)2−(a−b)2=4a⋅b⇔a⋅b=(a+b)2−(a−b)24，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD中，BD=8,AB⋅AD=48，E为BD中点.
(1)若cs∠BAD=1213，求△ABD的面积；
(2)若2AE=EC，求CB⋅CD的值；
(3)若P为平面ABCD内一点，求PA⋅PB+PD的最小值.
【题型9 矩形大法】
【例9】（2024·浙江绍兴·一模）已知向量a，b，c满足a=b=a⋅b=2，(a−c)⋅(b−2c)=0，则b−c的最小值为
A．3−12B．7−32C．32D．72
【变式9-1】（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知单位向量a，b满足2a−b=2，若存在向量c，使得c−2a⋅c−b=0，则c的取值范围是（ ）
A．62,62+1B．62−1,62C．62−1,62+1D．6−1,6+1
【变式9-2】（23-24高三上·四川资阳·阶段练习）已知e为单位向量，向量a满足：a−e⋅a−5e=0，则a+e的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式9-3】（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知平面向量a，b，c，满足a=b=a⋅b=2，且a−2c⋅b−c=0，则a−c的最小值为（ ）
A．3−12B．7−32C．32D．72
【题型10 等和(高)线定理】
【例10】（23-24高一下·重庆·阶段练习）在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，BF=13BC，AF与BE交于点G，过点G的直线分别与射线BA，BC交于点M，N，BM=λBA，BN=μBC，则λ+2μ的最小值为（ ）
A．1B．87C．97D．95
【变式10-1】（23-24高三上·河南·阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若DP=λDA+μDC，则λ+μ的最大值为（ ）
A．5B．3C．32D．52
【变式10-2】（23-24高一下·四川绵阳·期中）在扇形OAB中，∠AOB=60∘，C为弧AB上的一动点，若OC=xOA+yOB，则3x+y的取值范围是 ．
【变式10-3】（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设AP=mAB+nAF，(m,n∈R)，则m+n的取值范围是 .
一、单选题
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形ABCD中A=45∘,AB=1,AD=2，若AP=AB+xADx∈R,则AP的最小值为（ ）
A．12B．22C．1D．2
2．（2024·宁夏银川·模拟预测）在△ABC中，BD=2DC，过点D的直线分别交直线AB、AC于点E、F，且AE=mAB,AF=nAC，其中m>0，n>0，则m+2n的最小值为（ ）
A．2B．2C．3D．83
3．（2024·广东东莞·模拟预测）已知在同一平面内的三个点A，B，C满足AB=2，CACA−CBCB≥1，则AC+BC的取值范围是（ ）
A．0,1B．0,2C．0,3D．0,23
4．（2024·天津河北·二模）△ABC是等腰直角三角形，其中AB⊥AC,∣AB∣=1，P是△ABC所在平面内的一点，若CP=λCA+μCB（λ≥0,μ≥0且λ+2μ=2），则CA在CP上的投影向量的长度的取值范围是（ ）
A．0,22B．22,1C．1,2D．2,2
5．（2024·安徽芜湖·三模）已知⊙C:x2+y2−10x+9=0与直线l交于A,B两点，且⊙C被l截得两段圆弧的长度之比为1:3，若D为⊙C上一点，则DA⋅DB的最大值为（ ）
A．182+12B．162+16C．122+20D．102+24
6．（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC中，AB=2，以三条边为直径向外作三个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若BM=λAB+μAC，则λ+μ的最大值为（ ）
A．12B．33C．1D．32
7．（2024·湖北·模拟预测）向量a，b满足〈a,b〉=π6，|b|=433，且∀t∈R，不等式|b+ta|≥|b−a|恒成立.函数f(x)=|xb−a|+xb−12a(x∈R)的最小值为（ ）
A．12B．1C．3D．5
8．（2024·四川成都·三模）已知正方形 ABCD 的边长为 1，M，N 分别是边 AB，AD 上的点 (均不与端点重合)，记 △AMN，△CMN 的面积分别为 S1，S2 . 若 S1=CM⋅AB⋅CN⋅AD ，则 S2 的取值范围是（ ）
A．14，34B．2−1，34C．14，12D．2−1，12
二、多选题
9．（2024·浙江宁波·二模）若平面向量a,b,c满足a=1,b=1,c=3且a⋅c=b⋅c，则（ ）
A．a+b+c的最小值为2
B．a+b+c的最大值为5
C．a−b+c的最小值为2
D．a−b+c的最大值为13
10．（2024·山西晋中·模拟预测）在△ABC中，D为边AC上一点且满足AD=12DC，若P为边BD上一点，且满足AP=λAB+μAC，λ，μ为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．λμ的最小值为1B．λμ的最大值为112
C．1λ+13μ的最大值为12D．1λ+13μ的最小值为4
11．（2024·山东潍坊·二模）已知向量a，b，c为平面向量，a=1，b=2，a⋅b=0，c−a=12，则（ ）
A．1≤c≤32B．c−a⋅c−b的最大值为1+254
C．−1≤b⋅c≤1D．若c=λa+μb，则λ+μ的最小值为1−54
三、填空题
12．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知点O,A,B在同一平面内且A为定点，OA⋅AB=−2,OB⋅AB=2,C,D分别是点B轨迹上的点且BC=2，则BD⋅CD的最大值与最小值之和是 .
13．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知△ABC中，角A , B , C所对的边分别为a , b ,c，∠BAC=π6，b=1，c=3，若AD=m2(m+n)AB+2nm+nAC，则AD的最小值为 ．
14．（2024·天津滨海新·三模）在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AD=23AB，点E在边DC上，满足DE=13DC，则向量AE在向量AD上的投影向量为 （请用AD表示）；若AB=3，点M，N分别为线段AB，BC上的动点，满足BM+BN=1，则EM⋅EN的最小值为 ．
四、解答题
15．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，点P满足BP=2PC，过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于点M,N，若AM=λAB,AN=μAC,(λ>0,μ>0).
(1)λ与μ的关系；
(2)求λ+μ的最小值
16．（23-24高一·浙江·期中）在△ABC中，已知AB=3，AC=1，AB⋅AC=−1，设点P为边BC上一点，点Q为线段CA延长线上的一点，且AQ=tAC(t<0).
(1)当t=−1且P是边BC上的中点时，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长；
(2)若PA⋅PQ+3=AP⋅AB，求BQ的最小值.
17．（23-24高一下·湖南长沙·期末）如图，设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量OM=xe1+ye2，则把有序实数对(x,y)叫做向量OM在坐标系Oxy中的坐标，记作OM=(x,y).在此坐标系Oxy中，若OA=(3,0),OB=(0,2),OP=(3,2)，E,F分别是OB,BP的中点，AE,AF分别与OP交于R,T两点.
(1)求：|OP|；
(2)求OR,OT的坐标；
(3)若点M在线段AF上运动，设OM=(x,y)，求xy的最大值.
18．（23-24高二上·上海虹口·期中）在ΔABC中，满足：AB⊥AC，M是BC的中点.
（1）若AB=AC，求向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值；
（2）若O是线段AM上任意一点，且AB=AC=2，求OA⋅OB+OC⋅OA的最小值：
（3）若点P是∠BAC内一点，且AP=2，AP⋅AC=2，AP⋅AB=1，求AB+AC+AP的最小值.
19．（23-24高一下·江苏苏州·期中）在锐角△ABC中，csB=22，点O为△ABC的外心.
(1)若BO=xBA+yBC，求x+y的最大值；
(2)若b=2，
（i）求证：OB+sin2A⋅OA−cs2A⋅OC=0；
（ii）求3OB+2OA+OC的取值范围.