重难点23 与圆有关的最值与范围问题（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc1748" 【题型1 斜率型最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc1748 \h 2
\l "_Tc22047" 【题型2 直线型最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc22047 \h 2
\l "_Tc8830" 【题型3 定点到圆上点的最值（范围）】 PAGEREF _Tc8830 \h 3
\l "_Tc25165" 【题型4 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】 PAGEREF _Tc25165 \h 4
\l "_Tc30985" 【题型5 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc30985 \h 4
\l "_Tc9094" 【题型6 圆的切线长度最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc9094 \h 5
\l "_Tc17519" 【题型7 周长面积型最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc17519 \h 5
\l "_Tc31560" 【题型8 数量积型最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc31560 \h 6
\l "_Tc23025" 【题型9 坐标、角度型最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc23025 \h 6
\l "_Tc1156" 【题型10 长度型最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc1156 \h 7
1、与圆有关的最值与范围问题
从近几年的高考情况来看，与圆有关的最值与范围问题是高考的热点问题，由于圆既能与平面几何相联系，又能与圆锥曲线相结合，命题方式比较灵活，故与圆相关的最值与范围问题备受命题者的青睐.此类问题考查形式多样，对应的解题方法也是多种多样，需要灵活求解.
【知识点1 与距离有关的最值问题】
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想进行求解得到相关结论.
1．圆上的点到定点的距离最值问题
一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值.
2．圆上的点到直线的距离最值问题
已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为：，距离的最大值为：.
【知识点2 利用代数法的几何意义求最值】
1．利用代数法的几何意义求最值
(1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题.
【知识点3 切线长度最值问题】
1．圆的切线长度最值问题
(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.
【知识点4 弦长最值问题】
1．过圆内定点的弦长最值问题
已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.
【知识点5 解决与圆有关的最值与范围问题的常用方法】
1．与圆有关的最值与范围问题的解题方法
(1)数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.
(2)建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解.
(3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a·b或者a+b的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证.
(4)多与圆心联系，转化为圆心问题.
(5)参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解.
【题型1 斜率型最值（范围）问题】
【例1】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知P(m,n)为圆C:(x−1)2+(y−1)2=1上任意一点，则m+nm+1的最大值为（ ）
A．33B．−33C．1+33D．1−33
【变式1-1】（2024·河南·模拟预测）已知点Px,y在圆x−12+y−12=3上运动，则4−yx−3的最大值为（ ）
A．−6−30B．6+30C．−6+30D．6−30
【变式1-2】（2024·陕西商洛·三模）已知Px0,y0是圆C:x2+y2−2x−2y+1=0上任意一点，则y0+1x0−3的最大值为（ ）
A．−2B．−12C．−4−73D．−4+73
【变式1-3】（2024·福建南平·三模）已知Pm,n为圆C：x−12+y−12=1上任意一点，则n−1m+1的最大值为 .
【题型2 直线型最值（范围）问题】
【例2】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知点Px,y是圆C：x−a2+y2=3a>0上的一动点，若圆C经过点A1,2，则y−x的最大值与最小值之和为（ ）
A．4B．26C．−4D．−26
【变式2-1】（24-25高二上·全国·课后作业）如果实数x,y满足等式x2+y2+4x−2y−4=0，那么x2+y2的最大值是 ；2x−y的最大值是 ．
【变式2-2】（23-24高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知x，y是实数，且x−12+y−22=4．
(1)求3x+4y的最值；
(2)求yx的取值范围；
(3)求x2+y2的最值．
【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)yx的最大值和最小值；
(2)y＋x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
【题型3 定点到圆上点的最值（范围）】
【例3】（2024·陕西铜川·三模）已知圆C:(x−a)2+(y−b)2=1经过点A3,4，则其圆心到原点的距离的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式3-1】（23-24高三下·山东济南·开学考试）已知P是圆O:x2+y2=9上的动点，点Q满足PQ=3,−4，点A1,1，则AQ的最大值为（ ）
A．8B．9C．29+3D．30+3
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）M点是圆C:(x+2)2+y2=1上任意一点，AB为圆C1:(x−2)2+y2=3的弦，且|AB|=22，N为AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．47
【变式3-3】（2024·四川乐山·三模）已知圆O:x2+y2=16，点F−2,12+19，点E是l:2x−y+16=0上的动点，过E作圆O的切线，切点分别为A，B，直线AB与EO交于点M，则|MF|的最小值为（ ）
A．32B．352C．552D．3192
【题型4 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】
【例4】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知M，N是圆C：x2+y2−2y−3=0上的两个点，且MN=22，P为MN的中点，Q为直线l：x−y−3=0上的一点，则PQ的最小值为（ ）
A．22B．2C．2−2D．2−1
【变式4-1】（2024·辽宁鞍山·二模）已知直线l:x−y−2=0，点C在圆x−12+y2=2上运动，那么点C到直线l的距离的最大值为（ ）
A．322+1B．522C．322D．22
【变式4-2】（2024·河北·二模）已知Ax1,y1，Bx2,y2是圆x2+y2=9上的两个动点，且x1x2+y1y2=−92，若点M满足AM=2MB，点P在直线x+3y−43=0上，则MP的最小值为（ ）
A．43B．33C．23D．3
【变式4-3】（2024·湖南岳阳·二模）已知点Ax1,y1,Bx2,y2是圆x2+y2=16上的两点，若∠AOB=π2，则x1+y1−2+x2+y2−2的最大值为（ ）
A．16B．12C．8D．4
【题型5 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】
【例5】（23-24高二上·重庆·期末）已知圆的方程为x2+y2−8x=0，则该圆中过点P(2,1)的最短弦的长为（ ）
A．10B．11C．210D．211
【变式5-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线l:tx+y−2t−3=0(t∈R)与圆C:x−12+y2=16相交于A,B两点，则弦长AB的取值范围是（ ）
A．[23,8]B．[43,8]C．(43,8)D．[4,43]
【变式5-2】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知直线l：mx−y−3m+1=0恒过点P，过点P作直线与圆C：(x−1)2+(y−2)2=25相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．45B．2C．4D．25
【变式5-3】（2024·江西赣州·二模）已知直线l:m+nx+m−ny−2m=0mn≠0.圆C:x−22+y−22=8，则（ ）
A．l过定点1,−1B．l与C一定相交
C．若l平分C的周长，则m=1D．l被C截得的最短弦的长度为4
【题型6 圆的切线长度最值（范围）问题】
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知P为直线l:x−y+1=0上一点，过点P作圆C:x−12+y2=1的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【变式6-1】（2024·新疆·二模）从直线x−y+2=0上的点向圆x2+y2−4x−4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．22B．1C．24D．22−1
【变式6-2】（2024·四川宜宾·二模）已知点P是直线x+y+3=0上一动点，过点P作圆C:(x+1)2+y2=1的一条切线，切点为A，则线段PA长度的最小值为（ ）
A．23B．22C．2D．1
【变式6-3】（2024·湖北·模拟预测）已知点P为直线l:3x−4y+12=0上的一点，过点P作圆C:x−32+y−22=1的切线PM，切点为M，则切线长PM的最小值为（ ）
A．125B．135C．1705D．1945
【题型7 周长面积型最值（范围）问题】
【例7】（2024·上海普陀·二模）直线l经过定点P(2,1)，且与x轴正半轴、y轴正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，动圆M在△OAB的外部，且与直线l及两坐标轴的正半轴均相切，则△OAB周长的最小值是（ ）
A．3B．5C．10D．12
【变式7-1】（2024·山西吕梁·一模）已知圆Q:(x−4)2+(y−2)2=4，点P为直线x+y+2=0上的动点，以PQ为直径的圆与圆Q相交于A,B两点，则四边形PAQB面积的最小值为（ ）
A．27B．47C．2D．4
【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）设P为直线x−y=0上的动点，PA，PB为圆C：(x−2)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则四边形APBC的周长的最小值为（ ）
A．3B．2+3C．4D．2+23
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知A(−3,0)，B(0,3)，设C是圆M:x2+y2−2x−3=0上一动点，则△ABC面积的最大值与最小值之差等于（ ）．
A．12B．62C．6D．32
【题型8 数量积型最值（范围）问题】
【例8】（2024·陕西安康·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线y=x2−4x+1与坐标轴的交点都在圆C上，AB为圆C的直径，点P是直线3x+4y+10=0上任意一点；则PA⋅PB的最小值为（ ）
A．4B．12C．16D．18
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知圆O是圆心为原点的单位圆，A,B是圆O上任意两个不同的点，M2,0，则MA+MB的取值范围为（ ）
A．1,2B．1,3C．2,4D．2,6
【变式8-2】（2024·河南开封·二模）已知等边△ABC的边长为3，P为△ABC所在平面内的动点，且|PA|=1，则PB⋅PC的取值范围是（ ）
A．−32,92B．−12,112C．[1,4]D．[1,7]
【变式8-3】（2024·河北唐山·二模）已知圆C：x2+y−32=4，过点0,4的直线l与x轴交于点P，与圆C交于A，B两点，则CP⋅CA+CB的取值范围是（ ）
A．0,1B．0,1C．0,2D．0,2
【题型9 坐标、角度型最值（范围）问题】
【例9】（2024·江西·模拟预测）已知点M是圆x2+y2=1上一点，点N是圆C:x−32+y2=3上一点，则∠CMN的最大值为（ ）
A．π2B．π3C．π4D．π6
【变式9-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线l:x−y+2=0与圆O:x2+y2=1，过直线l上的任意一点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，则∠AOB的最小值为（ ）
A．3π4B．2π3C．π2D．π6
【变式9-2】（23-24高一下·河南洛阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知 O0,0,A154,0，曲线C上任一点M满足OM=4AM，点P在直线y=2x−1上，如果曲线C上总存在两点到点P的距离为2，那么点P的横坐标t的范围是（ ）
A．1【变式9-3】（23-24高二上·江西九江·期末）已知点P在直线l:3x+4y+3=0上，过P作圆M:x2+y2−6x−4y+9=0的两条切线，切点为A,B，则∠APB的最大值为（ ）
A．30∘B．45∘C．60∘D．90∘
【题型10 长度型最值（范围）问题】
【例10】（2024·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知A−3,0,B1,0,P为圆C:(x−3)2+(y−3)2=1上动点，则PA2+PB2的最小值为（ ）
A．34B．40C．44D．48
【变式10-1】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知圆C:x2+y2=4上两点Ax1,y1,Bx2,y2满足x1x2+y1y2=0，则x1+3y1+6+x2+3y2+6的最小值为（ ）
A．32−2B．6−22
C．62−4D．12−42
【变式10-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知P为直线l:x+y=0上一点，过点P作圆M:(x−1)2+(y−1)2=1的切线PA（A点为切点），B为圆N:(x−3)2+(y−3)2=4上一动点． 则PA+PB的最小值是（ ）
A．31−2B．32−1C．31D．27−2
【变式10-3】（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）已知圆C1:(x−2)2+(y−3)2=1，圆C2:x−32+y−42=9，M，N分别是圆C1,C2上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（ ）
A．52−2B．17−1C．6+22D．52−4
一、单选题
1．（2024·江西·模拟预测）已知实数a,b满足a2+b2=a−b，则a+b−3的最小值为（ ）
A．2B．2C．322D．4
2．（2024·四川攀枝花·三模）由直线y=x上的一点P向圆x−42+y2=4引切线，切点为Q，则PQ的最小值为（ ）
A．2B．2C．6D．22
3．（2024·全国·模拟预测）直线y=kx+2被圆x2+y2−6x−7=0截得的弦长的最小值为（ ）
A．2B．3C．22D．23
4．（2024·山东济南·三模）圆(x−1)2+(y+1)2=4上的点到直线3x+4y−14=0的距离的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．9
5．（2024·陕西汉中·二模）已知⊙M:x2+y2−2x−2y−2=0，直线l:2x+y+2=0,P为l上的一动点，A，B为⊙M上任意不重合的两点，则cs∠APB的最小值为（ ）
A．−255B．−45C．−55D．−35
6．（2024·安徽·模拟预测）已知点M是直线l1:ax+y−2a=0和l2:x−ay+2=0（a∈R）的交点，A−1,0，Bm,0，且点M满足MA=12MB恒成立，若C2,2，则2MA+MC的最小值为（ ）
A．6B．26C．10D．210
7．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知直线y=kx+2k∈R交圆O:x2+y2=9于Px1,y1,Qx2,y2两点，则3x1+4y1+16+3x2+4y2+16的最小值为（ ）
A．9B．16C．27D．30
8．（2024·陕西西安·一模）已知圆O的方程为：x2+y2=1，点A2,0，B0,2，P是线段AB上的动点，过P作圆O的切线，切点分别为C，D，现有以下四种说法：①四边形PCOD的面积的最小值为1；②四边形PCOD的面积的最大值为3；③PC⋅PD的最小值为−1；④PC⋅PD的最大值为32．其中所有正确说法的序号为（ ）
A．①③④B．①②④C．②③④D．①④
二、多选题
9．（2024·安徽六安·模拟预测）已知圆C:x2+y2−4x−5=0，点Pa,b是圆C上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C关于直线x−3y−2=0对称
B．已知A1,−2，B5,0，则PA2+PB2的最小值为32−122
C．2a+b的最小值为2−35
D．a+2b+9a+3的最大值为194
10．（2024·吉林延边·一模）已知Ax1,y1,Bx2,y2是圆O:x2+y2=4上的两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若点O到直线AB的距离为2，则AB=22
B．若AB=23，则∠AOB=π3
C．若∠AOB=π2，则x1+y1−1+x2+y2−1的最大值为6
D．x1x2+y1y2的最小值为−4
11．（2024·辽宁丹东·一模）已知圆C:(x−2)2+(y−1)2=9，直线l:kx−y+1=0与C交于A,B两点，点M为弦AB的中点，P0,3，则（ ）
A．弦AB有最小值为25B．OM有最小值为2−1
C．△OCM面积的最大值为5+12D．PO⋅PM的最大值为9
三、填空题
12．（2024·四川泸州·三模）动直线l：mx+y−2m−1=0被圆C：x2+y2+2x−25=0截得弦长的最小值为 ．
13．（2024·四川绵阳·模拟预测）直线l:ax+y−2a−2=0 (a∈R)，与圆C:x2+y2−4x−4y=1相交于A、B两点，点P为直线m:2x+y+6=0上一动点，则PA⋅PB的最小值是 .
14．（23-24高二上·北京·期末）已知Ax1,y1、Bx2,y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=−12，则代数式3x1−4y1+3x2−4y2的取值范围是 .
四、解答题
15．（23-24高二下·全国·随堂练习）已知点P在圆(x−4)2+(y−5)2=16上，点A4,0，B0,2．求点P到直线AB距离的最大值；
16．（23-24高二上·全国·期中）已知圆M过A(−1,5)，B(5,5)，C(6,−2)三点.
(1)求圆M的标准方程；
(2)若点P(x,y)在圆M上运动，求2x+y的最大值.
17．（2024高三·全国·专题练习）已知M(m，n)为圆C：x2+y2−4x−14y+45=0上任意一点.
(1)求m+2n的最大值；
(2)求n−3m+2的最大值和最小值；
(3)求m2+n2的最大值和最小值.
18．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆C:(x−1)2+(y+1)2=4.
(1)过点P3,2作C的切线l，求l的方程；
(2)若点Q为直线l′:3x−4y+13=0上的动点，过Q作圆C的切线，记切点为M，当QM取最小值时，求∠CQM的大小.
19．（2024高三·全国·专题练习）已知点Px,y是圆(x+2)2+y2=1上任意一点．
(1)求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值．
(2)求x−2y的最大值和最小值．
(3)求y−2x−1的最大值和最小值.