重难点25 直线与圆综合（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

这是一份重难点25 直线与圆综合（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用），文件包含重难点25直线与圆综合举一反三新高考专用教师版2025年高考数学一轮复习专练新高考专用docx、重难点25直线与圆综合举一反三新高考专用学生版2025年高考数学一轮复习专练新高考专用docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2840" 【题型1 圆的弦长与中点弦问题】 PAGEREF _Tc2840 \h 2
\l "_Tc8365" 【题型2 圆的切线及切线方程问题】 PAGEREF _Tc8365 \h 4
\l "_Tc1409" 【题型3 直线与圆中的面积问题】 PAGEREF _Tc1409 \h 7
\l "_Tc5881" 【题型4 直线与圆中的最值问题】 PAGEREF _Tc5881 \h 11
\l "_Tc20648" 【题型5 距离及其新定义问题】 PAGEREF _Tc20648 \h 14
\l "_Tc3971" 【题型6 阿波罗尼斯圆】 PAGEREF _Tc3971 \h 16
\l "_Tc11433" 【题型7 直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 PAGEREF _Tc11433 \h 19
\l "_Tc12229" 【题型8 直线与圆中的向量问题】 PAGEREF _Tc12229 \h 24
\l "_Tc8121" 【题型9 直线与圆中的探索性问题】 PAGEREF _Tc8121 \h 26
1、直线与圆的综合
直线与圆是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长、面积、最值问题等，多以选择题或填空题的形式考查，难度中等；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线等相结合，难度较大，需要学会灵活求解.
【知识点1 直线与圆相交时的弦长求法】
1．圆的弦长的求法：
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.
【知识点2 圆的切线及切线方程问题】
1．自一点引圆的切线的条数：
(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
2．求过圆上的一点的圆的切线方程：
(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求
得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
(2)重要结论：
①经过圆上一点P的切线方程为.
②经过圆上一点P的切线方程为.
③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为
.
【知识点3 解决直线与圆有关的最值与范围问题的常用方法】
1．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题的解题方法
直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选
用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
【题型1 圆的弦长与中点弦问题】
【例1】（2024·河南·模拟预测）直线l:x+y=1，圆C:x2+y2−2x−2y−2=0.则直线l被圆C所截得的弦长为（ ）
A．2B．23C．27D．14
【解题思路】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标与圆的半径，再求出圆心到直线的距离，最终利用勾股定理即可求解.
【解答过程】圆C的标准方程为x−12+y−12=4，
由此可知圆C的半径为r=2，圆心坐标为C1,1，
所以圆心C1,1到直线l:x+y=1的距离为d=1+1−112+12=22，
所以直线被圆截得的弦长为2r2−d2=222−222=14.
故选：D.
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线l:y=x+m(m>0)与⊙C:(x−1)2+y2=2交于A，B两点，若AB=2，则m=（ ）
A．1B．2C．2−1D．3−1
【解题思路】如图，根据点到直线的距离求出圆心C(1,0)到直线l:x−y+m=0的距离，由垂径定理求出CD，建立关于m的方程，解之即可求解.
【解答过程】如图，取AB的中点D，连接CD,AC，则AB⊥CD，

圆C:(x−1)2+y2=2的圆心C(1,0)，半径为r=2，
圆心C(1,0)到直线l:x−y+m=0的距离为d=1+m2，
又d=r2−(AB2)2=2−1=1，所以1+m2=1，
由m>0，解得m=2−1.
故选：C.
【变式1-2】（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l过点2,1，且与圆C：x−22+y−42=10相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解题思路】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数.
【解答过程】由题设，圆C的圆心为(2,4)，且半径r=10，
而2−22+1−42=9