2024-2025学年人教版八年级上册数学期中测试题（1-3单元）

这是一份2024-2025学年人教版八年级上册数学期中测试题（1-3单元），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每题3分，共30分）
1．大学校徽是学校的一种标志、一种形象，诠释了大学特有的历史、理念和追求，是大学文化的一个重要组成部分．下图是北京大学、中国人民大学、浙江大学、南京邮电大学的校徽图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．从多边形的一个顶点出发可以引出条对角线，这个多边形的边数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
3．如图，在中，D是中点，E是中点，连接、，若的面积为20，则的面积为（ ）
A．5B．10C．15D．18
4．如图，，过点C作，垂足为D，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．则下列说法：①；②和面积相等；③； ④．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，点是内部一点，点关于、的对称点是、，直线交、于点、，若的周长是15，且，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．如图，D、E分别是的边、上的点，若，，则（ ）
A．当为定值时，为定值B．当为定值时，为定值
C．当为定值时，为定值D．无法确定
8．若等腰中，，有一个内角等于，那么的度数为（ ）
A．B．或C．或D．或
9．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，是的中点，平分，如图，则下列说法正确的有（ ）
（1）平分，（2），（3），（4），（5）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，已知和都是等边三角形，且，，三点共线．与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤，其中正确结论的有（ ）个
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．如图所示，在中，，平分．若，，则的度数为 ．
12．如图所示，求图中的度数之和为 ．
13．如图，每个小方格的边长均为1，则+= ．
14．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ．
15．如图，，，，，点P和点Q从A点出发，分别在线段和射线上运动，且（不考虑的情况），当点P运动到 ，与全等．
16．如图，在中，，，平分交于，于，且，则的周长是 ．
17．如图，在等边三角形中，，．若，，则线段的长为 ．
18．如图，是等边三角形，点、、分别在、、上，若，，则 度．
19．如图，在中，，分别是和的角平分线，且，，则的周长是 ．
20．如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为40，则的最小值为 ．
三、解答题（共60分）
21．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．
(1)若，，求的度数；
(2)直接写出、、三个角之间存在的等量关系．
22．如图，在中，点D是边上一点，，作，使，且，连接．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
23．如图，在中，点在边上，点在边上，延长交于点，且．
(1)若，，求的长度；
(2)求证：；
(3)若，，则______．
24．已知：如图，，，，．与分别相交于点D、M．
(1)求证：；
(2)与有怎样的位置关系？ 证明你的结论．
25．如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分．
(1)求证：平分；
(2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和．
26．如图，，，点D在边上，，和相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，且平分，求的度数．
27．如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．
(1)求证：；
(2)求的度数．
28．在中，，点是直线上一点（不与、点重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
(1)如图1，当点在线段上时，如果，则______；
(2)如图2，当点在线段上时，如果，请你求出的度数．（写出求解过程）；
(3)探索发现，设，．
①如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：________．
②当点在线段的延长线上时，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：__________．
参考答案：
1．A
【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
利用轴对称图形定义进行解答即可．
【详解】解：选项、、均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
2．B
【分析】本题考查了多边形对角线的计算，根据多边形中，从一个顶点出发可以引出条对角线的计算方法即可求解．
【详解】解：根据题意，设多边形的边数为，
∴，
解得，，
∴这个多边形的边数为9，
故选：B ．
3．B
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算，得到答案．本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
【详解】解：∵D是中点，
∴的面积的面积的面积，
∵E是中点，
∴的面积的面积，的面积的面积，
∴的面积的面积的面积，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，是解题的关键．
根据全等的性质，得到，进而推出，再利用直角三角形的两个锐角互余，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选B．
5．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等底等高的三角形的面积相等、平行线的判定等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
根据三角形中线的定义可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，故④正确；
∴，故①正确，
∴，故③正确；
∵，点A到的距离相等，
∴和面积相等，故②正确，
综上所述，正确的是①②③④，共4个．
故选：D．
6．D
【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握基础知识，并能数形结合是关键．由轴对称的性质知：，，，，证明是等边三角形，求解即可．
【详解】解：连接，

由轴对称的性质知：，，，，
∵，即，
∴，，
∴是等边三角形，
∵的周长是15，
∴的长为，
故选：D．
7．B
【分析】根据得到，根据得，利用三角形外角性质，解答即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握这两个性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当为定值时，为定值，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，再运用三角形的内角和定理即可求解，注意分类讨论．
【详解】解：∵，
∴，
当顶角为，即，则，
当底角为，即，
∴的度数为或，
故选：D．
9．D
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定与性质即可判断（1）、（3）和（4）正确；根据平行线的判定即可判断（5）正确；假设，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，据此即可判断（2）错误．
【详解】解：如图，延长交于点，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平分，（等腰三角形的三线合一），则说法（1）和（4）正确；
又∵，，，
∴，则说法（3）正确；
假设，
∴，
∴，
∴，
∴，由已知条件不能得出这个结论，
∴假设不成立，即说法（2）错误；
∵，
∴，
∴，则说法（5）正确；
综上，说法正确的有4个，
故选：D．
10．B
【分析】由等边三角形的性质，证，即可判断①结论；根据全等三角形的性质，得到，结合对顶角相等可推出，然后根据三角形外角的性质，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，结合等边三角形的判定，即可判断④结论：根据等边三角形的性质，得出，即可判断⑤结论；
【详解】解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，①结论正确；
，
，
又，
，
是的外角，
，
，②结论错误；
，
，
在和中，
，
，
，③结论正确；
，
，
又，
是等边三角形，④结论正确；
，
，
，⑤结论正确；
即正确结论的个数是①③④⑤，共个，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
11．/10度
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理求得，，根据角平分线的定义可得，则．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵在中，且，，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了三角形外角的性质，多边形内角和．熟练掌握三角形外角的性质，多边形内角和是解题的关键．
如图，由题意知，①，②，③，得， ，整理求解即可．
【详解】解：如图，
由题意知，①，
②，
③，
得， ，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．根据证明，根据，得出，
即可求出结果．
【详解】解：如图，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14．1,4
【分析】本题考查坐标与图形，直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，过点和分别作于，于，证明，由全等三角形的性质和已知数据即可求出点的坐标．解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形．
【详解】解：过点和分别作于，于，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，
∴，，
∴，
∴点的坐标是1,4．
故答案为：1,4．
15．5或10
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据判断三角形全等，分两种情况，和两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴当时，，
当时，；
故答案为：5或10．
16．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长，即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出的周长是解题的关键．
【详解】
解：，平分，，，
在和中，
，
，
，
的周长，
，
，
，
，
，
，
的周长是．
故答案为：．
17．2
【分析】过点E作于点H，根据是等边三角形，，得到是等边三角形，已知，得到，结合，得到，在中，求得，表示出，根据即可求得线段的长，继而得到的长．
本题主要考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】解：过点E作于点H，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
18．
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，先由等边三角形的性质得到，再由三角形外角的性质证明，据此利用三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
19．
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，由分别是和的角平分线，得，，根据平行线的性质得出，，从而有，，则，，然后代入求值即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵分别是和的角平分线，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴的周长，
故答案为：．
20．8
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，连接，则有，所以，然后可得当点A、M、N三点共线且时最小，进而问题可求解．
【详解】解：∵，平分，
∴，则BD垂直平分，
连接，过点A作于点H，如图所示：
∴，
∴，
要使的值为最小，则需满足点A、M、N三点共线且，如图中线段的长，
∵，的面积为40，
∴，
∴的最小值是8；
故答案为：8．
21．(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义：
（1）先得出，根据平分，可得，再根据，即可作答；
（2）根据平分，可得，结合， ，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
∵平分，
∴，
又∵，
∴
，
即．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形的角度问题：
（1）证明，得到，即可得证；
（2）根据三角形的内角和定理和全等三角形的性质，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．(1)
(2)见解析
(3)4
【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
（1）先根据全等三角形的性质得到，然后计算即可；
（2）先根据全等三角形的性质得到，再根据平角的定义计算出，然后根据三角形内角和定理可证明；
（3）先计算出，再根据全等三角形的性质得到，然后计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
而，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：4．
24．(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂线的定义，三角形内角和定理：
（1）先由条件可以得出，再根据证明就可以得出结论；
（2）由全等三角形的性质得到，再导角证明，即．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∴
即
∵在和中
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
∵
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
25．(1)见解析
(2)20
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键．
（1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得，再利用角平分线判定定理，即可解答；
（2）根据，，可求出，从而可得，然后再利用，进行计算即可解答．
【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E．
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴．
∴，
∴平分；
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
即．
∴，
故线段与的长度之和为20．
26．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
（1）先证明，再根据全等三角形的判定即可判断；
（2）证明，由（1）可知： ， ，根据平角的定义可得．
【详解】（1）证明：∵和BD相交于点，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
，
∴．
∵，
∴，
∴．
27．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据全等三角形的判定定理即可求出答案．
（2）根据，可知，由于．从而可知．
【详解】（1）证明：在等边三角形中，，，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
．
，
．
28．(1)
(2)
(3)①②
【分析】（1）由条件可证得，可得，利用条件可求得，可求得；
（2）同（1）可证得，在中由等腰三角形的性质可求得，从而可求得；
（3）①同（1）可证得，在中由等腰三角形的性质可求得，从而可求得；②过程同①．
【详解】（1）解：，
，
在和中
，
，
，，
，
，
故答案为：；
（2），
，
在和中
，
，
，，
，
；
（3）①，
，
在和中
，
，
，，
，
，
故答案为：；
②如图，
，
，
在和中
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等，把后面的问题都转化为第（1）问中的问题是解题的关键，即利用三角形全等证得角相等．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
B
D
D
B
D
D
B