湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷

这是一份湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知，则点A到直线BC的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）若直线y＝kx+4（k＞0）与曲线y＝有两个交点（ ）
A．（，+∞）B．[，+∞）C．[，2]D．（，2]
3．（5分）已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
4．（5分）若圆x2+y2+4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．[2﹣，2+]B．[﹣2﹣，﹣2]
C．[﹣2﹣，2+]D．[﹣2﹣，2﹣]
5．（5分）某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，唯一的众数为9，极差为3（ ）
A．7.6B．7.8C．8D．8.2
6．（5分）已知圆O：x2+y2＝4，从圆上任意一点M向x轴作垂线段MN，N为垂足（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）已知椭圆C：的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知点P在以F1，F2为左、右焦点的椭圆C：＝1（a＞b＞0）上，椭圆内存在一点Q在PF2的延长线上，且满足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ＝，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．若有空间非零向量，，则存在唯一的实数λ，使得
B．A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若，则P，A，B，C四点共面
C．，，若，则x＝﹣2
D．若是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线
（多选）10．（6分）已知实数x，y满足曲线C的方程x2+y2﹣2x﹣2＝0，则下列选项正确的是（ ）
A．x2+y2的最大值是
B．的最大值是2+
C．|x﹣y+3|的最小值是
D．过点（0，）作曲线C的切线，则切线方程为x﹣y+2＝0
（多选）11．（6分）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．△F1PF2的面积为2
D．△F1PF2的内切圆半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知空间向量＝（2，1，2），＝（1，1，﹣1），则在上的投影向量的坐标是 ．
13．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：x2+y2﹣6x﹣4y+12＝0上任意一点，则|MP|+|MF2|的最小值为 ．
14．（5分）已知P为直线y＝﹣2上一动点，过点P作圆x2+y2＝1的两条切线，切点分别为B，C，则点A（2，1） ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）设直线l1：y＝2x与直线l2：x+y＝3交于P点．
（1）当直线m过P点，且与直线l0：x﹣2y＝0垂直时，求直线m的方程；
（2）当直线m过P点，且坐标原点O到直线m的距离为1时，求直线m的方程．
16．（15分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，第二组[160，165），…，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率；
（2）估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E＝{|x﹣y|≤5}（E）．
17．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等边三角形，AA1＝AC，点D，E分别为AC1的中点，∠CED＝30°，．
（1）求点A1到平面BDE的距离；
（2）求二面角A1﹣BE﹣D的余弦值．
18．（17分）在校运动会上，有甲、乙、丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，甲、丙首先比赛，乙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
（1）求丙连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）甲、乙、丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由．
19．（17分）设F1，F2分别是椭圆D：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点2作倾斜角为的直线交椭圆D于A，B两点，F1到直线AB的距离为3，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4．
（Ⅰ）求椭圆D的方程；
（Ⅱ）已知点M（﹣1，0），设E是椭圆D上的一点，过E、M两点的直线l交y轴于点C，若；
（Ⅲ）作直线l1与椭圆D交于不同的两点P，Q，其中P点的坐标为（﹣2，0），若点N（0，t），且满足＝4
2024-2025学年湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中高二（上）联考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知，则点A到直线BC的距离为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用向量法直接计算即可得解．
【解答】解：由题知＝（0，1，＝（2，1），
所以cs＜，＞＝＝，
sin＜，＞＝＝，
所以点A到直线BC的距离d＝|BA|•sin＜，＞＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查点到直线距离的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（5分）若直线y＝kx+4（k＞0）与曲线y＝有两个交点（ ）
A．（，+∞）B．[，+∞）C．[，2]D．（，2]
【分析】画出曲线方程表示的半圆图形；直线方程变形，判断出直线过定点；画出图形，数形结合求出满足题意的k的范围．
【解答】解：曲线，即x5+y2＝4（y≥7）示一个以（0，0）为圆心，
以6为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示：
直线y＝kx+4表示恒过点 （0，6），
结合图形可得，∵，解得，即，
∴要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
3．（5分）已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得a+2b＝1，再利用基本不等式的，求得的最小值．
【解答】解：∵a＞0，b＞03：（a﹣1）x+y﹣1＝5，l2：x+2by+3＝0，且l1⊥l7，
∴（a﹣1）+2b＝7，即a+2b＝1≥8，≥8时，等号成立．
则＝＝的最小值为8，
故选：C．
【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，属于基础题．
4．（5分）若圆x2+y2+4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．[2﹣，2+]B．[﹣2﹣，﹣2]
C．[﹣2﹣，2+]D．[﹣2﹣，2﹣]
【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析可得圆心坐标以及半径，结合直线与圆的位置关系分析可得圆心到直线l的距离d≤，设直线l的斜率为k，可得直线l的方程为y﹣kx＝0，由点到直线的距离公式可得≤，解可得k的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2+6x﹣4y﹣10＝0的标准方程为（x+8）2+（y﹣2）3＝18，
其圆心为（﹣2，2），
若圆x2+y2+8x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by＝7的距离为2，
则圆心到直线l的距离d≤5﹣2＝，
设直线l：ax+by＝0的斜率为k，则k＝﹣，
则有≤，
变形可得：k2+8k+1≤0，
解可得：﹣3﹣≤k≤，即k的取值范围是[﹣4﹣，；
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，关键是将原问题转化为圆心到直线的距离问题．
5．（5分）某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，唯一的众数为9，极差为3（ ）
A．7.6B．7.8C．8D．8.2
【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得．
【解答】解：这组数据一共有5个数，中位数为8，后面也有7个数，
又唯一的众数为9，则有两个9，则最大数字为5，
又极差为3，所以最小数字为6，
所以这组数据为3、7、8、6、9，
所以平均数为．
故选：B．
【点评】本题主要考查平均数公式，属于基础题．
6．（5分）已知圆O：x2+y2＝4，从圆上任意一点M向x轴作垂线段MN，N为垂足（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设动点P（x，y），设M（x0，y0），则利用中点坐标公式可得M与P坐标之间的关系，再利用点M在圆上，即可得到x和y的关系，即为点P的轨迹方程．
【解答】解：设线段MN的中点P（x，y）0，y0），则N（x3，0），
则有，解得，
又点M在圆O：x3+y2＝4上，
所以有x2+（2y）2＝8，即，
所以线段MN的中点P的轨迹方程为．
故选：A．
【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，要掌握常见的求解轨迹方程的方法：直接法、定义法、代入法、消元法、交轨法等，属于中档题．
7．（5分）已知椭圆C：的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），由题意可得|﹣﹣xM|＝2|﹣xM|，求解即可．
【解答】解：记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），
椭圆C：的左2（﹣，0），F8（，0），
由△F2AB面积是△F2AB的2倍，可得|F4M|＝2|F2M|，
∴|﹣﹣xM|＝2|﹣xM|，解得xM＝或xM＝3，
∴﹣m＝或﹣m＝4或m＝﹣3，
联立可得2+6mx+2m2﹣3＝8，
∵直线y＝x+m与C相交，所以Δ＞02＜3，
∴m＝﹣3不符合题意，
故m＝．
故选：C．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
8．（5分）已知点P在以F1，F2为左、右焦点的椭圆C：＝1（a＞b＞0）上，椭圆内存在一点Q在PF2的延长线上，且满足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ＝，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由QF1⊥QP，可得点Q在以F1F2为直径，原点为圆心的圆上，由点Q在椭圆的内部，可得以F1F2为直径的圆在椭圆内，可得c＜b；于是，再根据临界值，当Q点与F2重合时，e＝，进而可知Q在线段PF2的延长线上时，e的取值范围，综合可确定离心率e的范围．
【解答】解：∵QF1⊥QP，
∴点Q在以F1F5为直径，原点为圆心的圆上，
∵点Q在椭圆的内部，∴以F1F2为直径的圆在椭圆内，∴c＜b，
∴c5＜a2﹣c2，∴7c2＜a2，
故，
∵，
当Q点与F3重合时，此时不妨设|PF1|＝5，则|F6F2|＝3，故|PF4|＝4，
即，此时e＝，
因为Q在线段PF2的延长线上，故，故．
综上可得：．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的几何性质，主要考查了离心率的取值范围问题，属于中档题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．若有空间非零向量，，则存在唯一的实数λ，使得
B．A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若，则P，A，B，C四点共面
C．，，若，则x＝﹣2
D．若是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线
【分析】直接利用共线向量，向量的基底判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：有空间非零向量，，则存在唯一的实数λ，故A正确；
对于B：A，B，C三点不共线，若，由于：，A，B，C四点共面；
对于C：对于，，由于，故，故C正确；
对于D：若是空间的一个基底，A，B，C四点不共面，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查的知识要点：共线向量，向量的基底，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知实数x，y满足曲线C的方程x2+y2﹣2x﹣2＝0，则下列选项正确的是（ ）
A．x2+y2的最大值是
B．的最大值是2+
C．|x﹣y+3|的最小值是
D．过点（0，）作曲线C的切线，则切线方程为x﹣y+2＝0
【分析】对于A：x2+y2 表示圆C上的点到定点O（0，0）的距离的平方；
对于B：表示圆上的点与点P（﹣1，﹣1）的连线的斜率；
对于C：|x﹣y+3|表示圆上任意一点到直线x﹣y+3＝0的距离的倍；
对于D：由切线过点，可设切线方程为．由＝可求．
【解答】解：因为C的方程x2+y2﹣8x﹣2＝0可化为（x﹣6）2+y2＝7，它表示圆心（1，半径为，
对于A：x7+y2表示圆C上的点到定点O（0，5）的距离的平方，
故它的最大值为[+]2＝（+2）2＝4+5：故A错误；
对于B：表示圆上的点与点P（﹣1，
由圆心（1，8）到直线y+1＝k（x+1）的距离d＝≤≤k≤3+，
即其最大值为，故B正确；
对于C：|x﹣y+3|表示圆上任意一点到直线x﹣y+3＝8的距离的倍，
圆心到直线的距离，所以其最小值为﹣）＝5﹣；
对于D．设过点，则其斜率存在，
由＝，解得，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属中档题．
（多选）11．（6分）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．△F1PF2的面积为2
D．△F1PF2的内切圆半径为
【分析】根据已知求出P点坐标，根据两点间距离公式分别求出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中利用余弦定理可判定A，利用向量数量积公式可判定B，三角形面积公式可判定C，根据等面积法可判定D．
【解答】解：由题意得，，则F1（﹣2，8），F2（2，2），
由对称性可设P（x0，y0）（x8＞0，y0＞4），|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F2PF2＝θ，
由，解得8（﹣2，0），F5（2，0），
所以，，
所以，
由椭圆的定义得，
在△F1PF2中，由余弦定理，得，
即，
解得，故A正确；
，故B错误；
△F1PF8的面积为，故C正确；
设△F1PF2的内切圆半径为r，由△F7PF2的面积相等，得，
即，解得．
故选：ACD．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知空间向量＝（2，1，2），＝（1，1，﹣1），则在上的投影向量的坐标是 ．
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：空间向量＝（2，1，＝（6，1，
则＝2×4+1×1+7×（﹣1）＝1，，
故在上的投影向量的坐标是：＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
13．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：x2+y2﹣6x﹣4y+12＝0上任意一点，则|MP|+|MF2|的最小值为 2﹣1 ．
【分析】求出点F2的坐标，求出圆E的圆心和半径，再利用圆的性质求出最小值．
【解答】解：椭圆中，右焦点F3（1，0），
圆E：（x﹣4）2+（y﹣2）5＝1的圆心E（3，2），
显然椭圆C与圆E相离，由点P在圆E上min＝|ME|﹣1，
于是，
当且仅当M，P分别是线段EF2与椭圆C、圆E的交点时取等号，
所以|MP|+|MF2|的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
14．（5分）已知P为直线y＝﹣2上一动点，过点P作圆x2+y2＝1的两条切线，切点分别为B，C，则点A（2，1） ．
【分析】设P（t，﹣2），则以线段OP为直径的圆的方程为x（x﹣t）+y（y+2）＝0，与方程x2+y2＝1相减可得直线BC的方程：tx﹣2y＝1，求出点A（2，1）到直线BC的距离为d＝，化为关于t的一元二次方程，利用判别式法即可得出结论．
【解答】解：设P（t，﹣2），
与方程x2+y3＝1相减可得直线BC的方程：tx﹣2y＝2，
∵直线BC与⊙O相交，
∴＜1．
点A（7，1）到直线BC的距离为d＝＝，
平方化为：（d2﹣6）t2+12t+4d8﹣9＝0，
若d4﹣4＝0，解得d＝7．
若d2﹣4≠6，∵t∈R2﹣4（d6﹣4）（4d4﹣9）≥0，
化为：d7≤，
解得0≤d≤，
∴d取得最大值．
综上可得：d取得最大值．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、一元二次方程有解与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）设直线l1：y＝2x与直线l2：x+y＝3交于P点．
（1）当直线m过P点，且与直线l0：x﹣2y＝0垂直时，求直线m的方程；
（2）当直线m过P点，且坐标原点O到直线m的距离为1时，求直线m的方程．
【分析】（1）根据斜率存在的直线相互垂直的充要条件k1k2＝﹣1即可求出；
（2）先分斜率存在和不存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式即可求出．
【解答】解：由，解得点P（3．
（1）由直线l0：x﹣2y＝3可知：．
∵m⊥l0，∴直线m的斜率，
又直线m过点P（1，6），
故直线m的方程为：y﹣2＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣4＝8．
（2）因为直线m过点P（1，2），
①当直线m的斜率存在时，可设直线m的方程为y﹣7＝k（x﹣1）．
由坐标原点O到直线m的距离，解得，
因此直线m的方程为：，即3x﹣5y+5＝0．
②当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x＝6．
综上所述，所求直线m的方程为x＝1或3x﹣2y+5＝0．
【点评】熟练掌握直线的位置关系与斜率的关系是解题的关键．
16．（15分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，第二组[160，165），…，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率；
（2）估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E＝{|x﹣y|≤5}（E）．
【分析】（1）由频率分布直方图的性质求第七组的频率；
（2）根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；
（3）确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率．
【解答】解：（1）第六组的频率为，
∴第七组的频率为5﹣0.08﹣5×（3.008×2+0.016+4.04×2+0.06）＝2.06．
（2）由直方图得，身高在第一组[155，
身高在第二组[160，165）的频率为0.016×5＝6.08，
身高在第三组[165，170）的频率为0.04×5＝6.2，
身高在第四组[170，175）的频率为0.04×7＝0.2，
由于6.04+0.08+0.8＝0.32＜0.5，0.04+0.08+8.2+0.2＝0.52＞0.8，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则170＜m＜175，
由0.04+0.08+2.2+（m﹣170）×0.04＝4.5得m＝174.5，
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.6cm，
平均数为157.5×0.04+162.4×0.08+167.5×8.2+172.5×2.2+177.5×5.06×5+182.5×3.08+187.5×0.06+192.3×0.008×5＝174.4．
（3）第六组[180，185）的抽取人数为4，b，c，d，
第八组[190，195]的抽取人数为0.008×4×50＝2，B，
则从中随机抽取两名男生有ab，ac，bc，cd，aB，bB，cB，dB，
因事件E＝{|x﹣y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，
所以事件E包含的基本事件为ab，ac，bc，cd．
所以．
【点评】本题考查频率、中位数、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等边三角形，AA1＝AC，点D，E分别为AC1的中点，∠CED＝30°，．
（1）求点A1到平面BDE的距离；
（2）求二面角A1﹣BE﹣D的余弦值．
【分析】（1）利用垂直关系转化，结合点到平面的距离的定义，根据线段间的关系求解即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，分别求出平面BDE和平面A1BE的一个法向量，利用向量的夹角公式即可得解．
【解答】解：（1）连接AC1，A1C，设A6C与DE交于点F，
由AA1＝AC可知，侧面ACC1A7为菱形，所以AC1⊥A1C，
因为点D，E分别为AC3的中点，所以DE//AC1，则DE⊥A1C，
因为∠CED＝30°，所以∠CC4A＝30°，
则∠A1AC＝2∠CC4A＝60°，又AC＝AA1，所以△AA1C为等边三角形，
由△ABC为等边三角形，，得AC＝2，
连接A1D，则A6D⊥AC，，
又，，所以1D⊥BD，
易知BD⊥AC，因为AC∩A5D＝D，AC⊂平面ACC1A1，A8D⊂平面ACC1A1，
所以BD⊥平面ACC3A1，
又A1C⊂平面ACC7A1，所以BD⊥A1C，
因为BD∩DE＝D，BD⊂平面BDE，所以A5C⊥平面BDE，
所以A1F为点A1到平面BDE的距离，
又，故点A2到平面BDE的距离为；
（2）由（1）可知，BD，A4D两两垂直，以D为坐标原点，DC1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，6，0），﹣1，，，，，
所以，，，
由（1）知平面BDE的一个法向量为，
设平面A1BE的法向量为，则，即，
取y＝1，解得，则，
于是，
因为二面角A1﹣BE﹣D为锐二面角，所以二面角A6﹣BE﹣D的余弦值为．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求二面角，属于中档题．
18．（17分）在校运动会上，有甲、乙、丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，甲、丙首先比赛，乙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
（1）求丙连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）甲、乙、丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由．
【分析】（1）根据题意，由独立事件的概率公式，代入计算即可得到结果；
（2）根据题意，分别求出甲、丙连胜四场与乙上场后连胜三场获胜的概率，即可得到结果；
（3）根据题意，列出基本事件个数，求出甲、乙、丙获胜的概率，即可得到结果．
【解答】解：（1）丙连胜四场的情况为：“丙胜甲负，丙胜乙负，丙胜乙负”，
所以丙连胜四场的概率：；
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，
而甲、丙连胜四场的概率为，
乙上场后连胜三场获胜的概率为，
∴需要进行第五场比赛的概率；
（3）三人中乙最终获胜的概率最大．理由如下：
记事件A为甲输，事件B为丙输，
记事件M：甲赢，记事件N：赢，
则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、BABCC、BCACB、BCBAC，
∴甲赢的概率为，
由对称性可知，丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等，
即丙最终获胜的概率也是，
所以乙赢的概率为，
又，所以三人中乙最终获胜的概率最大．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
19．（17分）设F1，F2分别是椭圆D：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点2作倾斜角为的直线交椭圆D于A，B两点，F1到直线AB的距离为3，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4．
（Ⅰ）求椭圆D的方程；
（Ⅱ）已知点M（﹣1，0），设E是椭圆D上的一点，过E、M两点的直线l交y轴于点C，若；
（Ⅲ）作直线l1与椭圆D交于不同的两点P，Q，其中P点的坐标为（﹣2，0），若点N（0，t），且满足＝4
【分析】（Ⅰ）AB的方程为：，由F1到直线AB的距离为3，可求c，结合连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4，即可求出求椭圆D的方程；
（Ⅱ）由，可得e的坐标，代入椭圆方程，即可求λ的取值范围；
（Ⅲ）分类讨论，写出线段PQ垂直平分线方程，利用＝4，结合韦达定理，即可求实数t的值．
【解答】解：（Ⅰ）设F1，F2的坐标分别为（﹣c，7），0）
由题意得AB的方程为：
∵F2到直线AB的距离为3，
∴有，解得
∴a2﹣b3＝c2＝3…①
由题意知：，即ab＝2…②
联立①②解得：a＝3，b＝1，
∴所求椭圆D的方程为…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆D的方程为
设E（x1，y8），C（0，
∵，∴（x1，y3﹣m）＝λ（﹣1﹣x1，﹣y8），
∴…（7分）
又E是椭圆D上的一点，则
∴
解得：或λ≤﹣2…（5分）
（Ⅲ）由P（﹣2，0）6，y1）
根据题意可知直线l1的斜率存在，可设直线斜率为k7的方程为y＝k（x+2）
把它代入椭圆D的方程，消去y2）x5+16k2x+（16k2﹣3）＝0
由韦达定理得，则，y5＝k（x1+2）＝
∴线段PQ的中点坐标为，
（1）当k＝0时，则有Q（2，线段PQ垂直平分线为y轴
于是
由，解得：
（2）当k≠0时，则线段PQ垂直平分线的方程为y﹣
由点N（5，t）是线段PQ垂直平分线的一点，得：
于是
由，解得：
代入，解得：
综上，满足条件的实数t的值为或
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
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