内蒙古部分名校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题

这是一份内蒙古部分名校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A.B.C.D.
2.已知复数，则z在复平面内对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.若向量，，则“”是“”的
A.必要不充分条件B.充要条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
4.某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在内.现将所有学生的体能测试成绩按，，分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为
A.4B.6C.8D.10
5.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则该圆台的体积V=
A.29πB.31πC.87πD.93π
6.在一个港口，有一艘船以每小时30海里的速度向正东方向行驶，在某时观测到在该船北偏东75°方向上有一座灯塔A，2小时后，灯塔A在该船的东北方向上，该船继续向正东方向行驶足够长时间，则该船与灯塔A之间的最短距离是
A.海里B.海里
C.海里D.海里
7.已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是
A.B.C.D.
8.已知，，则
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知甲组数据为4,3,2，乙组数据为6,7,8，将甲、乙两组数据混合后得到丙组数据，则
A.丙组数据的中位数为5
B.甲组数据的70%分位数是2
C.甲组数据的方差等于乙组数据的方差
D.甲组数据的极差等于乙组数据的极差
10.已知函数的部分图象如图所示，其中，，则
A.
B.
C.在上单调递减
D.将的图象向左平移个单位长度，得到的新函数图象关于原点对称
11.正八面体是一种正多面体，也是一种正轴体，由8个正三角形面组成，每个面均为正三角形.如图，正八面体EABCDF的棱长为10，M为棱FC上一点，且CM=2，则
A.平面EDC//平面FBA
B.该正八面体外接球的表面积为100π
C.二面角E-AD-F的余弦值为
D.异面直线AE与BM所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.已知复数z满足.若z为纯虚数，则m= ，的虚部为 .
13.在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为 .
14.已知函数.若，则的零点为 ；若恰有两个零点，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知向量与的夹角为，且，.
（1）求，；
（2）求在方向上的投影向量（用表示）.
16.（15分）
记△ABC的内角的对边分别为，已知，.
（1）求；
（2）若，求△ABC的周长.
17.（15分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=6，AB=2CD=6，AB//CD，AB⊥AD，F为PD的中点，E为AB的中点.
（1）证明：PE//平面ACF.
（2）证明：AF⊥平面PCD.
（3）求直线AC与平面PCD所成角的正弦值.
18.（17分）
某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售.如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工.
（1）若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y（单位：元）关于当天青菜需求量x（单位：公斤）的函数解析式.
（2）该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表.
（ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数；
（ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率.
19.（17分）
在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码为1，若依次收到1,1,1，则译码为1）.
（1）已知，.
①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；
②若采用单次传输方案，依次发送0,0,1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立.
（2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围.
高一数学考试参考答案
1.C 因为，所以.
2.D 因为，所以z在复平面内对应的点为，位于第四象限.
3.C 若，则，即.若，则，解得.
4.B 根据题意可得体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为.
5.B 设该圆台的母线长为l，根据题意可得，解得.所以该圆台的高为，则.
6.D 设该船的初始位置为B，2小时后的位置为C，过A作AD⊥BC，垂足为D（图略），则AD为所求的最短距离.由题意可知∠ABC=15°，∠ACB=135°，BC=60海里，则∠BAC=30°.在△ABC中，由正弦定理可得，则海里.在Rt△ABD中，∠ABD=15°，∠ADB=90°，海里，则海里.
7.A 当时，单调递增，则由题意可得解得，故a的取值范围是.
8.D 根据题意可得，，则，，.
9.ACD 将丙组数据从小到大排列为2,3,4,6,7,8，可得丙组数据的中位数为，A正确.将甲组数据从小到大排列为2,3,4，因为3×70%=2.1，所以甲组数据的70%分位数是4，B错误.易得甲组数据的方差等于乙组数据的方差，C正确.甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，D正确.
10.AD 由图得.根据题意可得，解得，A正确.将的坐标代入，可得，因为是单减区间上的零点，所以，解得，因为，所以，B错误.由，得，则在上先单调递增，后单调递减，C错误.将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，函数的图象关于原点对称，D正确.
11.ACD 由正八面体的性质可得ED//BF，DC//AB.又，，所以平面EDC//平面FBA，A正确.
连接EF，AC.设EF与AC交于点O，则AO即该正八面体外接球的半径.因为，所以该正八面体外接球的表面积为，B错误.取AD的中点N，连接EN，FN，易得EN⊥AD，FN⊥AD，则∠ENF即二面角E-AD-F的平面角.因为正八面体EABCDF的棱长为10，所以，，，所以，C正确.因为FC//AE，所以∠BMF即异面直线AE与BM所成的角.因为CM=2，所以FM=8.因为，所以，则，D正确.
12.； 根据题意可得，则，得，则，，的虚部为.
13. 由题意，选3个方格，每行和每列均恰有1个方格被选中，每种选法可标记为，分别表示第一、二、三行里所选方格中的数字，则所有的可能结果为，，，，，，共6种.其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有2种，故所求概率为.
14.100；20 由，解得，得的零点为100.由题意得关于x的方程有两个解.作出的图象，则，且，则，即，所以，当且仅当，即时，等号成立.
15.解：（1）由题意得.3分
由，5分
得.7分
（2）因为，9分
所以在方向上的投影向量为.13分
16.解：（1）因为，所以.2分
又，所以，则，4分
因为，所以.6分
（2）因为，所以.8分
由余弦定理，得.10分
整理得，解得或.12分
经验证，不满足，舍去，得.14分
故△ABC的周长为.15分
17.（1）证明：如图，连接EC，ED，设ED与AC交于点O，连接OF.1分
由题意可得AE//CD，AE=CD，所以四边形AECD为平行四边不形，所以O为ED的中点.2分
又因为F为PD的中点，所以OF为△PED的中位线，则PE//OF.4分
因为平面ACF，平面ACF，所以PE//平面ACF.5分
（2）证明：因为AB//CD，AB⊥AD，所以CD⊥AD.6分
因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥CD.7分
，所以CD⊥平面PAD.8分
平面PAD，所以CD⊥AF.9分
因为PA=AD，F为PD的中点，所以AF⊥PD.10分
，所以AF⊥平面PCD.11分
（3）解：由（2）得AF⊥平面PCD，所以∠ACF即为直线AC与平面PCD所成的角.12分
易得，，13分
所以，即直线AC与平面PCD所成角的正弦值为.15分
18.解：（1）当时，；2分
当时，.4分
故y关于x的函数解析式为6分
（2）（ⅰ）这100天有5天的日利润为元，7分
10天的日利润为元，8分
20天的日利润为元，9分
65天的日利润为800元，10分
所以这100天出售青菜的日利润的平均数为元.13分
（ⅱ）若当天的利润不少于780元，则当日需求量不少于790公斤，15分
故当天的利润不少于780元的概率为0.2+0.35+0.2+0.1=0.85.17分
19.（1）①解：记事件A为“至少收到一次0”，则.3分
②证明：记事件B为“第三次收到的信号为1”，则.5分
记事件C为“三次收到的数字之和为2”，则.7分
因为，9分
所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立.10分
（2）解：记事件M为“采用三次传输方案时译码为0”，则.12分
记事件N为“采用单次传输方案时译码为0”，则.14分
根据题意可得，即，15分
因为，所以，，16分
解得，故的取值范围为.17分日需求量x
770
780
790
800
820
830
频数
5
10
20
35
20
10