南宁市良庆区银海三雅学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份南宁市良庆区银海三雅学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版），共22页。
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若 其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果气温为“零上”记作，那么气温为“零下”应表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：零上温度记作“”，零下温度记作“”，由此求解．
【详解】解：气温为“零上”记作，那么气温为“零下”应表示为，
故选：C．
2. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，进行判断即可．
【详解】A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，不符合题意；
C．是中心对称图形，符合题意；
D．不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点N的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【详解】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点N的坐标是．
故选：B．
4. 如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的内接四边形对角互补，计算解答即可．
本题考查了圆的内接四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形．
∴．
∵，
∴．
故选：C．
5. 如图，将沿方向平移得到对应的．若，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到，则．
【详解】解：∵将沿方向平移得到对应的，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式并把解集在数轴上表示，熟练的掌握不等式的性质，会求不等式的解集，是解题的关键．注意：“”在数轴上是空心小圆圈，“”在数轴上是实心小圆点．
根据不等式的性质，求出不等式的解集，进而判定在数轴上表示正确选项即可．
【详解】解：∵
∴
在数轴上表示D选项是正确的．
故选：D．
7. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了幂乘方计算，同底数幂乘法计算，求一个数的平方根和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．根据幂的乘方，同底数幂乘法法则，平方根和合并同类项概念逐一判断选项即可
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
8. 如果，那么下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A．，
，故本选项不符合题意；
B．，
，故本选项符合题意；
C．，
，故本选项不符合题意；
D．，
，故本选项不符合题意；
故选：B．
9. 校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（ ）
A. 外心B. 垂心C. 重心D. 内心
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外心的性质，根据三角形外心的性质即可解答．
【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等，
∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点，即外心，
故选：A．
10. 如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为，宽为的杭州金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整幅挂图的面积是，设纸边的宽为（），则应满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
依题意得，面积为，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，矩形挂图的长为，宽为，
依题意得，面积为，
故选：D．
11. 如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵， E是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
12. 某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试，飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：s）的函数解析式是，则飞行着陆后停下来需滑行的时间是（ ）
A. 40秒B. 30秒C. 20秒D. 10秒
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际运用，由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当s取得最大值时，t也取得最大值，即为飞行着陆后停下来需滑行的时间．
【详解】解：，
当时，s取最大值，
即飞行着陆后停下来需滑行的时间为20秒，
故选C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 如果分式有意义，那么x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式分母不为0．
【详解】解：，
解得：，
故答案为：．
14. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，运用公式法分解即可
【详解】解：
，
故答案为：
15. 如图，已知A、B、C三点都在上，， ___________．
【答案】25
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案是：25．
16. 如图，以为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的一半的长为半径作弧，两弧在内部相交于点；过点作射线．若，则四边形是_______形．
【答案】菱
【解析】
【分析】首先由作图得到，然后结合平行线的性质得到，推出，然后由作图得到，，推出，即可证明出四边形是菱形．
【详解】由作图可得，平分
∴
∵
∴
∴
∴
由作图可得，，
∴
∴四边形是菱形．
故答案为：菱．
【点睛】此题考查了角平分线的尺规作图，平行线的性质，等角对等边，菱形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
17. 如图，是的直径，弦，垂足为E，连接，若，则弦的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．由题意易得，根据勾股定理可求的长，然后问题可求解．
【详解】解：连接，
∵是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，可得DG垂直平分EH，从而得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，再分别求出EF和FH，即可求解．
【详解】解：如图，在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，
在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
∴△DEH为等腰直角三角形，
∵DG平分∠ADC，
∴DG垂直平分EH，
∴PE=PH，
∴的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，
∴当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴AE=DE=DH=3，AF=4，
∴EF=5，
∵FK⊥CD，
∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，
∴四边形ADKF为矩形，
∴DK=AF=4，FK=AD=6，
∴HK=1，
∴，
∴FH+EF=，即的周长最小为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了最短距离问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，明确题意，准确得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算问题，掌握有理数混合运算法则是解题的关键．先算乘方，再算乘法，最后算加法即可．
【详解】解：
20. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：，
得：，
解得：，
把代入①得：
，
∴方程组的解为：.
21. 如图，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）请画出与关于原点对称的，并写出点的坐标；
（2）将绕原点顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标．
【答案】（1）图形见解析，
（2）图形见解析，
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换、画关于原点对称图形、写出直角坐标系中点的坐标，准确作图是解答本题的关键．
（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案；
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【小问1详解】
如图，即为所求，
由图可得，点的坐标为；
【小问2详解】
如图，即为所求，
由图可得，点的坐标为．
22. 移动支付是指消费者在不需使用现金的情况下，支付各项服务或数字及实体商品的费用，且快捷高效，中国的移动支付在世界处于领先水平，为了解人们平时最喜欢用哪种移动支付方式，社会实践小组开展以“移动支付方便你我他”为主题的项目研究．
任务一：收集数据，描述数据
“社会实践小组”的学生对某社区岁的部分居民进行随机抽样调查，设置了四个选项：支付宝、微信、现金、其他移动支付（每人只选一项），形成如下调查报告：
任务二：解决问题
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1） 这次调查的样本容量是__________；并补全条形统计图；
（2）根据条形统计图可得，该社区中岁居民使用支付宝、微信、现金、其他移动支付人数这组数据的中位数是__________，众数是__________；
（3）该社区中岁的居民约人，估算这些人中最喜欢用“支付宝”支付方式的人数．
【答案】（1），见解析
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意知，这次调查的样本容量是，使用现金支付的人数为（人），则其中岁居民使用现金支付的有（人），然后补图即可；
（2）由题意知，区中岁居民使用支付宝、微信、现金、其他移动支付人数分别为共，，，5，从小到大依次排序为5，，，，然后求中位数、众数即可；
（3）根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，这次调查的样本容量是，使用现金支付的人数为（人），
∴其中岁居民使用现金支付的有（人），
补图如下；
【小问2详解】
解：由题意知，区中岁居民使用支付宝、微信、现金、其他移动支付人数分别为共，，，5，
从小到大依次排序为5，，，，
∴中位数为第2、3位数的平均数为，众数为，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：∵，
∴估算这些人中最喜欢用“支付宝”支付方式的人数为．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，样本容量，中位数，众数，用样本估计总体．从统计图中获取正确的信息是解题的关键．
23. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，勾股定理，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分．
（1）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由得出，即可得出结论．
（2）根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形为菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
24. 年4月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元购进A款和用元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？
【答案】（1）B款文化衫每件元，A款文化衫每件元
（2）购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量与不等量关系，正确列出分式方程和不等式．
（1）设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，依题意得，，计算求解，然后作答即可；
（2）设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元，依题意得，，可求，由题意知，，然后根据一次函数的图象与性质求解作答即可．
【小问1详解】
解：设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，
依题意得，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，且符合要求；
∴，
∴B款文化衫每件元，A款文化衫每件元；
【小问2详解】
解：设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元，
依题意得，，
解得，，
由题意知，，
∵，
∴当时，费用最低为（元），
∴购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元．
25. 如图，为的直径，射线交于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定和性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，30°角的直角三角形的性质等知识点，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得证；
（2）根据题意求出，根据含角的直角三角形的性质计算，得到答案．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵直线是的切线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
26. 阅读下面材料：
子薇遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．子薇是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是．
请回答：在图2中，的度数是 ．
参考子薇得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形ABCD中，，，，E是CD上一点，若，，求BE的长度．
（2）如图4，已知线段，线段绕点旋转，且，连接，以为边作正方形，连接．求线段的最大值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，然后求出，再根据计算即可得解；
（1）过点作交的延长线于点，可得四边形是正方形，然后设，根据子薇的结论表示出，再求出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解；
（2）过点作，取，连接，如图所示，在等腰中，，然后利用“”证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用三角形三边关系可知，从而得到线段的最大值为．
【详解】解：绕点顺时针旋转得到，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（1）解：过点作交的延长线于点，如图3所示：
，，，
四边形是正方形，
设，根据子薇的结论，，
，，
，，
在中，，即，整理得，，解得，即；
（2）解：过点作，取，连接，如图所示：
在等腰中，，
在正方形中，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，利用三角形三边关系可知，且当三点共线时，，即，
线段的最大值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形三边关系，（2）中作辅助线补充完整正方形是解题的关键，（3）作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
课题主题
“移动支付方便你我他”——移动支付在人们生活中的作用
活动目标
了解移动支付使用情况和发展前景，增强社会责任意识，科技创新意识
调查方式
抽样调查
数据的收集、整理与描述
手机支付是中国移动面向用户提供一项综合性移动支付服务，可使用支付账户完成生活消费、缴话费、网上购物、水电燃气账单支付等远程消费．
移动支付的调查问卷
您好！这是一份关于移动支付方式问卷调查，请选择一项您最常使用的方式（只选一项），在其后的括号内打“√”，非常感谢您的配合！
移动支付方式
A．支付宝支付（ ）
B．微信支付（ ）
C．现金支付（ ）
D．其他移动支付（ ）
调查结果
……