福建省晋江市2024年数学九年级第一学期开学监测试题【含答案】

这是一份福建省晋江市2024年数学九年级第一学期开学监测试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A．对角线互相垂直B．对角线互相平分
C．对角线相等D．四个角都是直角
2、（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜x3，（ ）
A．若＜＜，则++＞0B．若＜＜，则＜0
C．若＜＜，则++＞0D．若＜＜，则＜0
3、（4分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
4、（4分）已知x=，y=，则x2+xy+y2的值为（ ）
A．2B．4C．5D．7
5、（4分）下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A．x4+16＝0B．x2+2x+3＝0C．D．
6、（4分）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD．结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EGBC；⑤四边形EFGH的周长等于2AB．其中正确的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
7、（4分）下列结论中，正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．正方形两条对角线相等，但不互相垂直平分
D．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质
8、（4分）有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（ ）
A．10B．10（-1）C．100D．-1
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）将一个有80个数据的一组数分成四组，绘出频数分布直方图，已知各小长方形的高的比为，则第二小组的频数为______.
10、（4分）某跳远队甲、乙两名运动员最近10次跳远成绩的平均数为602cm，若甲跳远成绩的方差为=65.84，乙跳远成绩的方差为=285.21，则成绩比较稳定的是_____．（填“甲”或“乙”）
11、（4分）计算_________.
12、（4分）对于点P（a，b），点Q（c，d），如果a﹣b＝c﹣d，那么点P与点Q就叫作等差点．例如：点P（4，2），点Q（﹣1，﹣3），因4﹣2＝1﹣（﹣3）＝2，则点P与点Q就是等差点．如图在矩形GHMN中，点H（2，3），点N（﹣2，﹣3），MN⊥y轴，HM⊥x轴，点P是直线y＝x+b上的任意一点（点P不在矩形的边上），若矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，则b的取值范围为_____．
13、（4分）已知如图所示，AB＝AD＝5，∠B＝15°，CD⊥AB于C，则CD＝___.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在中，，，DF是的中位线，点C关于DF的对称点为E，以DE，EF为邻边构造矩形DEFG，DG交BC于点H，连结CG．
求证：≌．
若．
求CG的长．
在的边上取一点P，在矩形DEFG的边上取一点Q，若以P，Q，C，G为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的平行四边形的面积．
在内取一点O，使四边形AOHD是平行四边形，连结OA，OB，OC，直接写出，，的面积之比．
15、（8分）解不等式组：.并判断这个数是否为该不等式组的解.
16、（8分）为了贯彻落实区中小学“阅读·写字·演讲”三项工程工作，我区各校大力推广阅读活动，某校初二（1）班为了解2月份全班学生课外阅读的情况，调查了全班学生2月份读书的册数，并根据调查结果绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：
根据以上信息解决下列问题：
（1）参加本次问卷调查的学生共有______人，其中2月份读书2册的学生有______人；
（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中读书3册所对应扇形的圆心角度数．
17、（10分）如图，点分别是对角线上两点，.求证：.
18、（10分）新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量。经过市场调查得知，某市去年新能源汽车总量已达到3250辆，预计明年会增长到6370辆.
（1）求今、明两年新能源汽车数量的平均增长率；
（2）为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对今年增加的新能源汽车给予每辆0.8万元的政府性补贴.在（1）的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为 ．
20、（4分）如图，正方形的边长为8，点是上的一点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处，的延长线交于点，当时，则的长为__．
21、（4分）在菱形ABCD中，M是AD的中点，AB＝4，N是对角线AC上一动点，△DMN 的周长最小是2+，则BD的长为___________．
22、（4分）如图，小军在地面上合适的位置平放了一块平面镜(平面镜的高度忽略不计)，刚好在平面镜中的点处看到旗杆顶部，此时小军的站立点与点的水平距离为，旗杆底部与点的水平距离为．若小军的眼睛距离地面的高度为(即)，则旗杆的高度为_____．
23、（4分）现用甲、乙两种汽车将吨防洪物资运往灾区，甲种汽车载重吨，乙种汽车载重吨，若一共安排辆汽车运送这些物资，则甲种汽车至少应安排 _________辆.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图①，在正方形ABCD中，，点E，F分别在BC、CD上，，试探究面积的最小值。
下面是小丽的探究过程：
(1)延长EB至G，使，连接AG，可以证明．请完成她的证明；
(2)设，,
①结合（1）中结论，通过计算得到与x的部分对应值。请求出表格中a的值：（写出解答过程）
②利用上表和（1）中的结论通过描点、连线可以分别画出函数、的图像、请在图②中完善她的画图；
③根据以上探究，估计面积的最小值约为（结果估计到1．1）。

图① 图②
25、（10分）某中学为了预防流行性感冒，对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例．药物燃烧后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物6min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为4mg，
（1）写出药物燃烧前后，y与x之间的函数表达式；
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟，学生方能回到教室？
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2mg且持续时间不低于9min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？
26、（12分）先化简，再求值：，其中- 1.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
试题分析：正方形四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等；矩形四个角都是直角，对角线互相平分且相等.
考点：(1)、正方形的性质；(2)、矩形的性质
2、B
【解析】
反比例函数的图像及x1＜x2＜x3分别进行判断即可
【详解】
反比例函数的图像及x1＜x2＜x3分别进行判断
若＜＜，k为负在二四象限，且x1＜x2＜0，x3＞0，则++不一定大于0，故A错；
若＜＜ ，k为正在一三象限，x1＜0，0＜x2＜x3，则＜0，故B正确；
若＜＜，k为负在二四象限，且x1＜0，0＜x2＜x3，则++不一定大于0，故C错；
若＜＜，k为正在一三象限，x1＜x2＜0，0＜x3则＞0，故D错误；
故选B
熟练掌握反比例函数的图像及增减性是解决本题的关键
3、B
【解析】
由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得取值范围；
【详解】
解：因为一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以＞0，且，
所以＞0，解得：＜，
又因为，所以，
所以且，
故选B．
本题考查利用一元二次方程的根的判别式求字母的取值范围，同时考查一元二次方程定义中二次项系数不为0，掌握知识点是解题关键．
4、B
【解析】
试题分析：根据二次根式的运算法则进行运算即可．
试题解析：
.
故应选B
考点：1.二次根式的混合运算；2.求代数式的值．
5、C
【解析】
利用在实数范围内，一个数的偶数次幂不能为负数对A进行判断；利用判别式的意义对B进行判断；利用分子为0且分母不为0对C进行判断；利用非负数的性质对D进行判断．
【详解】
解：A、因为x4＝﹣16＜0，所以原方程没有实数解，所以A选项错误；
B、因为△＝22﹣4×3＝﹣8＜0，所以原方程没有实数解，所以B选项错误；
C、x2﹣4＝0且x﹣2≠0，解得x＝﹣2，所以C选项正确；
D、由于x＝0且x﹣1＝0，所以原方程无解，所以D选项错误．
故选：C．
此题考查判别式的意义，分式有意义的条件，二次根式，解题关键在于掌握运算法则
6、C
【解析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断即可得答案．
【详解】
∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴EF=CD，FG=AB，GH=CD，HE=AB，
∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形，故②错误，
∴EG⊥FH，HF平分∠EHG；故①③正确，
∴四边形EFGH的周长= EF=FG=GH=HE =2AB，故⑤正确，
没有条件可证明EG=BC，故④错误，
∴正确的结论有：①③⑤，共3个，
故选C.
本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形EFGH是菱形并熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
7、B
【解析】
A.可判断为菱形，故本选项错误，
B.对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确，
C.正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，故本选项错误，
D.菱形的对角线不一定相等，故本选项错误，
故选B．
8、B
【解析】
由于计算器显示结果的位数有限，要想在原来显示的结果的右端再多显示一位数字，则应该设法去掉左端的数字“1”.
对于整数部分不为零的数，计算器不显示位于左端的零. 于是，先将原来显示的结果左端的数字“1”化为零，即计算. 为了使该结果的整数部分不为零，再将该结果的小数点向右移动一位，即计算. 这样，位于原来显示的结果左端的数字消失了，空出的一位由原来显示结果右端数字“7”的后一位数字填补，从而实现了题目的要求.
根据以上分析，为了满足要求，应该在这个计算器中计算的值.
故本题应选B.
点睛：
本题综合考查了计算器的使用以及小数的相关知识. 本题解题的关键在于理解计算器显示数字的特点和规律. 本题的一个难点在于如何构造满足题目要求的算式. 解题过程中要注意，只将原结果的左端数字化为零并不一定会让这个数字消失. 只有当整数部分不为零时，左端的零才不显示. 另外，对于本题而言，将结果的小数点向右移动是为了使该结果的整数部分不为零，要充分理解这一原理.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、2
【解析】
各小长方形的高的比为3：3：2：3，就是各组频率的比，也是频数的比，根据一组数据中，各组的频率和等于3；各组的频数和等于总数，即可求解．
【详解】
∵各小长方形的高的比为3：3：2：3，
∴第二小组的频率=3÷（3+3+2+3）=0.3．
∵有80个数据，
∴第二小组的频数=80×0.3=2．
故答案为：2.
本题是对频率、频数意义的综合考查．
注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于3．
10、甲．
【解析】
试题分析：∵=65.84，=285.21，∴＜，∴甲的成绩比乙稳定．故答案为甲．
考点：方差．
11、19+6
【解析】
根据完全平方公式展开计算即可。
【详解】
解：18+6+1=19+6
本题考查了用完全平方公式进行实数的计算，理解和掌握乘法公式是关键。
12、﹣1＜b＜1
【解析】
由题意，G(-2，3)，M(2，-3)，根据等差点的定义可知，当直线y＝x+b与矩形MNGH有两个交点时，矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，求出直线经过点G或M时的b的值即可判断．
【详解】
解：由题意，G(-2，3)，M(2，-3)，
根据等差点的定义可知，当直线y＝x+b与矩形MNGH有两个交点时，矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，
当直线y＝x+b经过点G(-2，3)时，b＝1，
当直线y＝x+b经过点M(2，-3)时，b＝-1，
∴满足条件的b的范围为：-1＜b＜1．
故答案为：-1＜b＜1.
本题考查一次函数图象上点的特征、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
13、
【解析】
根据等边对等角可得∠ADB=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAC=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=AD．
【详解】
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠B=15°，
∴∠DAC=∠ADB+∠B=30°，
又∵CD⊥AB，
∴CD=AD=×5=．
故答案为：．
本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）证明见解析；（2）①1；②或或．（3）：3：1．
【解析】
根据矩形的性质、翻折不变性利用HL即可证明；
想办法证明即可解决问题；
共三种情形画出图形，分别解决问题即可；
如图5中，连接OD、OE、OB、首先证明四边形DOHC是矩形，求出OD、OH、OE即可解决问题.
【详解】
如图1中，
四边形DEFG是矩形，
，，
由翻折不变性可知：，，
，，
，
≌，
如图1中，≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
如图2中，当点P与A重合，点Q与E重合时，四边形PQGC是平行四边形，此时
如图3中，当四边形QPGC是平行四边形时，．
如图4中，当四边形PQCG是平行四边形时，作于M，CE交DF于N．
易知，，
如图中，当四边形PQCG是平行四边形时，，
综上所述，满足条件的平行四边形的面积为或或．
如图5中，连接OD、OE、OB、OC．
四边形AOHD是平行四边形，
，，
四边形CDOH是平行四边形，
，
四边形CDOH是矩形，
，
≌，
，
，，
，，，，
：：：：：3：1．
本题考查四边形综合题、解直角三角形、矩形的性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、全等三角形的判定和性质、等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
15、, 不是不等式组的解.
【解析】
先求出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，由x的取值范围即可得出结论．
【详解】
解.
解不等式（1）得：，
解不等式（2）得：，
所以不等式是。
∵＞1
∴不是不等式组的解。
本题考查的是解一元一次不等式组及估算无理数的大小，根据题意求出x的取值范围是解答此题的关键．
16、（1）50；17；（2）补全条形图见详解；144°．
【解析】
（1）根据条形统计图读书4册的人数为4人，扇形图中占比8%，即可求得总人数；再根据读书2册人数占比34%，即可求得读书2册的人数；
（2）根据条形图中数据以及（1）中所求，可容易求得读书3册的人数，读书3册的人数除以总人数即为扇形图中所占百分比，再乘以360°，即为读书3册所对应扇形的圆心角度数．
【详解】
解：（1）根据条形统计图及扇形统计图知：本次问卷调查的学生共有人，
读书2册的学生有人．
（2）根据条形统计图知：读书3册的学生有人，补全如图：
读书3册的学生人数占比．
∴扇形统计图中读书3册所对应扇形的圆心角度数为：．
本题考查直方图，难度一般，是中考的常考知识点，熟练掌握扇形图、条形图的相关知识有顺利解题的关键．
17、见解析
【解析】
用SAS证明△BAF≌△DCE即可说明∠DEC=∠BFA．
【详解】
证明：：∵四边形为平行四边形,
∴,
∴,
又,
∴≌,
∴.
本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，解决这类问题一般是四边形转化为三角形处理．
18、（1）40%；（2）财政部门今年需要准备1040万元补贴资金.
【解析】
（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为x，根据“去年新能源汽车总量已达到3250辆，预计明年会增长到6370辆”列出方程并解答；
（2）根据（1）中的增长率可以得到：3250×增长率×0.1．
【详解】
解：（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为，由题意得
.
解得，，（舍）
因此，.
所以，今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为40%.
（2）3250×40%×0.1=1040（万元）.
所以，财政部门今年需要准备1040万元补贴资金.
本题考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（40﹣x）（30+3x）=3．
【解析】
试题分析：设每件童裝应降价x元，可列方程为：（40﹣x）（30+3x）=3．故答案为（40﹣x）（30+3x）=3．
考点：3．由实际问题抽象出一元二次方程；3．销售问题．
20、
【解析】
根据翻折变换的性质可得AN=AB，∠BAE=∠NAE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAE=∠F，从而得到∠NAE=∠F，根据等角对等边可得AM=FM，设CM=x，表示出DM、AM，然后利用勾股定理列方程求出x的值，从而得到AM的值，最后根据NM=AM-AN计算即可得解．
【详解】
沿直线翻折，点落在点处，
，，
正方形对边，
，
，
，
设，，
，
，，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
所以，，
所以，．
故答案为：
本题考查了翻折变换的性质，正方形的性质，勾股定理，翻折前后对应线段相等，对应角相等，此类题目，关键在于利用勾股定理列出方程．
21、4
【解析】
根据题意，当B、N、M三点在同一条直线时，△DMN的周长最小为：BM+DM=2+，由DM=，则BM=，利用勾股定理的逆定理，得到∠AMB=90°，则得到△ABD为等边三角形，即可得到BD的长度.
【详解】
解：如图：连接BD，BM，则AC垂直平分BD，则BN=DN，
当B、N、M三点在同一条直线时，△DMN的周长最小为：BM+DM=2+，
∵AD=AB=4，M是AD的中点，
∴AM=DM=，
∴BM=，
∵，
∴△ABM是直角三角形，即∠AMB=90°；
∵BM是△ABD的中线，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=AD=4.
故答案为：4.
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，以及三线合一定理.解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到△ABD是等边三角形.
22、1
【解析】
分析：根据题意容易得到△CDE∽△CBA，再根据相似三角形的性质解答即可．
详解：由题意可得：AB=1.5m，BC=2m，DC=12m，
△ABC∽△EDC，
则，
即，
解得：DE=1，
故答案为1．
点睛：本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．
23、6
【解析】
设甲种汽车安排x辆，则乙种汽车安排10-x辆, 根据两辆汽车载重不少于46吨建立不等式求出其解，即可得出答案.
【详解】
解：设甲种汽车安排x辆，则乙种汽车安排10-x辆，根据题意可得：5x+4(10-x)≥46
解得：x≥6
因此甲种汽车至少应安排6辆.
本题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是以载重不少于46吨作为不等量关系列出方程求解.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）①，②见解析；③41.4或41.5.
【解析】
（1）AB=AD，BG=DF，则AG=AF，∠DAF+∠BAE=91°-∠EAF=45°=∠EAF，AF=AG，AE=AE，则△AFE≌△AGE（SAS），即可求解；
（2）①∵CE=BC-6=4，设DF=a，CF=11-a，EF=DF+BE=6+a，由勾股定理即可求解；②由①得：y2=y1+x，描点画图即可；
（3）利用分割法即可得出．
【详解】
（1）证明：如图①，延长EB至G，使，连接AG.
四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
.
（2）①在中，，
，
，
解这个方程，得.
②如图②所示.
③S△AEF=SABCD- S△ADF - S△ABE - S△EFC
=111---
=111-（DF+BE）11-
=111-EF11-
=111-5y2-（11-x）（11-y1）
=51-xy1
当x=4，y1=4.29时，S△AEF最小
S△AEF=51-×4×.29≈41.4或41.5.
图① 图②
本题为四边形综合题，涉及到三角形全等、函数作图，此类题目通常在作图的基础上，从图表查阅符合条件的数据点，进而求解．
25、（1）药物燃烧时y关于x的函数关系式为：；药物燃烧后y关于x的函数关系式为：；（2）至少需要15分钟后学生方能回到教室；（3）此次消毒有效.
【解析】
（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝k1x，把点（6，4）代入即可；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点（6，4）代入即可；
（2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x即可判断；
（3）把y＝2代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与9进行比较，不小于9就有效．
【详解】
解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x (k1≠0)，
代入（6，4）得：4＝6k1，解得：，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为：；
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为，
代入（6，4）得，解得：k2＝24，
∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为：；
（2）将y=1.6代入，解得：x=15，
所以从消毒开始，至少需要15分钟后学生方能回到教室；
（3）把y＝2代入，得：x＝3，
把y＝2代入，得：x＝12，
∵12−3＝9，
所以此次消毒有效．
本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
26、
【解析】
试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，然后代入计算即可．
试题解析：解：原式==
当x=时，原式==．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
x
1
1
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