福建省晋江市潘径中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学监测试题【含答案】

这是一份福建省晋江市潘径中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学监测试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若线段，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（ ）
A．B．C．或D．或
2、（4分）一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
3、（4分）如果甲图上的点P（－2，4）经过平移变换之后Q（－2，2），则甲图上的点M（1，－2）经过这样平移后的对应点的坐标是（ ）
A．（1，－4）B．（－4，－4）C．（1，3）D．（3，－5）
4、（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝6，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5B．2C．D．4
5、（4分）以下调查中，适宜全面调查的是（ ）
A．调查某批次汽车的抗撞击能力B．调查某班学生的身高情况
C．调查春节联欢晚会的收视率D．调查济宁市居民日平均用水量
6、（4分）如图，在△ABC中，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若∠BAD=45°，则∠B的度数为（ ）
A．75°B．65°C．55°D．45°
7、（4分）如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为( )
A．30°B．36°C．54°D．72°
8、（4分）如图，在中，，，，D为AB上的动点，连接CD，以AD、CD为边作平行四边形ADCE，则DE长的最小值为（ ）
A．3B．4C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）将点向右平移4个单位，再向下平移3个单位，则平移后点的坐标是__________．
10、（4分）函数中，自变量x的取值范围是 ．
11、（4分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，CD⊥AB于D，求CD的长及三角形的面积．
12、（4分）已知等腰三角形有两条边分别是3和7，则这个三角形的周长是_______.
13、（4分）某同学在体育训练中统计了自己五次“1分钟跳绳”成绩，并绘制了如图所示的折线统计图，这五次“1分钟跳绳”成绩的中位数是__________个．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，且DE是△ABC的中位线．延长ED到F，使DF=ED，连接FC，FB．回答下列问题：
（1）试说明四边形BECF是菱形．
（2）当的大小满足什么条件时，菱形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．

15、（8分）如图，点D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，求AC的长．
16、（8分）平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与直线y＝x交于点A（m，1）．与y轴交于点B
（1）求m的值和点B的坐标；
（2）若点C在y轴上，且△ABC的面积是1，请直接写出点C的坐标．
17、（10分）小辉为了解市政府调整水价方案的社会反响，随机访问了自己居住在小区的部分居民，就“每月每户的用水量”和“调价对用水行为改变”两个问题进行调查，并把调查结果整理成下面的图1，图1．
小辉发现每月每户的用水量在之间，有7户居民对用水价格调价涨幅抱无所谓，不用考虑用水方式的改变．根据小军绘制的图表和发现的信息，完成下列问题：
(1) ，小明调查了 户居民，并补全图1；
(1)每月每户用水量的中位数落在 之间，众数落在 之间；
(3)如果小明所在的小区有1100户居民，请你估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数多少?
18、（10分）学海书店购一批故事书进行销售,其进价为每本40元，如果按每本故事书50元进行出售，每月可以售出500本故事书，后来经过市场调查发现，若每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本.
(1)若学海书店要保证每月销售此种故事书盈利6000元，同时又要使购书者得到实惠，则每本故事书需涨价多少元；
(2)若使该故事书的月销量不低于300本，则每本故事书的售价应不高于多少元？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC= ．
20、（4分）如图，已知，点是等腰斜边上的一动点，以为一边向右下方作正方形，当动点由点运动到点时，则动点运动的路径长为______.
21、（4分）若点A（2，a）关于x轴的对称点是B（b，－3）则ab的值是 .
22、（4分）若二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，则a可以为_________（写出一个即可）．
23、（4分）如图，△ABC中，BD⊥CA，垂足为D，E是AB的中点，连接DE．若AD＝3，BD＝4，则DE的长等于_____
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）在小正方形组成的15×15的网格中，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的位置如图所示．
(1)现把四边形ABCD绕D点按顺时针方向旋转90°，画出相应的图形A1B1C1D1，
(1)若四边形ABCD平移后，与四边形A′B′C′D′成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形A1B1C1D1．
25、（10分）已知直线 y＝kx＋b(k≠0)过点 F(0，1)，与抛物线 相交于B、C 两点
(1)如图 1，当点 C 的横坐标为 1 时，求直线 BC 的解析式；
(2)在(1)的条件下，点 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作 y 轴的平行线，与抛物线交于点 D， 是否存在这样的点 M，使得以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图 2，设 B(m，n)(m＜0)，过点 E(0，－1)的直线 l∥x 轴，BR⊥l 于 R，CS⊥l 于 S，连接 FR、FS.试判断△ RFS 的形状，并说明理由．
26、（12分）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AC于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD.
（1）①求证：四边形BFDE是菱形；②求∠EBF的度数．
（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
分AC＜BC、AC＞BC两种情况，根据黄金比值计算即可．
【详解】
解：当AC＜BC时，BC= AB=，
当AC＞BC时，BC==，
故选：D．
本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
2、D
【解析】
试题解析：设这个多边形的边数为n，
由题意可得：（n-2）×180°=1260°，
解得n=9，
∴这个多边形的边数为9，
故选D．
3、A
【解析】
根据P,Q点的变换，找到规律，再应用的M点即可。
【详解】
解：由甲图上的点P（－2，4）经过平移变换之后Q（－2，2），可以发现P点向下平移两个单位，得到Q;
则点M（1，－2）向下平移两个单位的对应点坐标为（1，-4）；
故答案为A；
本题考查了图形的平移变换，解题的关键是掌握，图形上一点怎么平移，其余各点也怎么平移。
4、B
【解析】
连接AC、CF，根据正方形的性质求出AC、CF，并判断出△ACF是直角三角形，再利用勾股定理列式求出AF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解．
【详解】
如图，连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，AC＝BC＝2，CF＝CE＝6，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
所以，∠ACF＝45°+45°＝90°，
所以，△ACF是直角三角形，
由勾股定理得，AF＝＝4，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝×4＝2．
故选：B．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出直角三角形．
5、B
【解析】
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】
解：A、调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故A选项错误；
B、调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故B选项正确；
C、调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故C选项错误；
D、调查济宁市居民日平均用水量，适于抽样调查，故D选项错误．
故选：B．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6、A
【解析】
由基本作图得到MN垂直平分AC，则DA=DC，所以∠DAC=∠C=30°，然后根据三角形内角和计算∠B的度数．
【详解】
解：由作法得MN垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°+30°=75°，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠B=180°-75°-30°=75°．
故选：A．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
7、B
【解析】
在等腰三角形△ABE中，求出∠A的度数即可解决问题．
【详解】
解：在正五边形ABCDE中，∠A=×（5-2）×180=108°
又知△ABE是等腰三角形，
∴AB=AE，
∴∠ABE=（180°-108°）=36°．
故选B．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．
8、D
【解析】
当DE⊥CE时，DE最小，过点C 作AB的垂线，交AB于点F.先证出是直角三角形，再用面积法求出CF的值，然后根据平行线间的距离处处相等得到DE的值。
【详解】
解：如图，当DE⊥CE时，DE最小，过点C 作AB的垂线，交AB于点F.
∵，，，
∴是直角三角形，面积=×3×4=6，
∴CF=
∵平行四边形ADCE，
∴CE∥AB,
∴DE=CF=
故选：D
本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短的应用，熟练掌握定理和面积法求高是解题关键。
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（3，-1）
【解析】
直接利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此可得．
【详解】
将点A（-1，2）向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，
则平移后点的坐标是（-1+4，2-3），即（3，-1），
故答案为：（3，-1）．
此题考查坐标与图形变化-平移，解题关键在于掌握左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
10、．
【解析】
∵在实数范围内有意义，
∴
∴
故答案为
11、S△ABC=6cm2，CD=cm．
【解析】
利用勾股定理求得BC=3cm，根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半即可求得△ABC的面积，再利用直角三角形的面积等于斜边乘以斜边上高的一半可得AB•CD=6，由此即可求得CD的长.
【详解】
∵∠ACB=90°，AB=5cm，AC=4cm，
∴BC==3cm，
则S△ABC=×AC×BC=×4×3=6（cm2）．
根据三角形的面积公式得：AB•CD=6，
即×5×CD=6，
∴CD=cm．
本题考查了勾股定理、直角三角形面积的两种表示法，根据勾股定理求得BC=3cm是解决问题的关键.
12、17
【解析】
根据等腰三角形的可得第三条边为3或7，再根据三角形的三边性质即可得出三边的长度，故可求出三角形的周长.
【详解】
依题意得第三条边为3或7，又3+3＜7，故第三条边不能为3，
故三边长为3,7,7故周长为17.
此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知三角形的构成条件.
13、1．
【解析】
解：由图可知，把数据从小到大排列的顺序是：180、182、1、185、186，中位数是1．
故答案为1．
本题考查折线统计图；中位数．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
【解析】
分析：（1）根据已知条件发现：可以证明四边形的对角线互相垂直平分即是一个菱形．
（2）菱形要是一个正方形，则根据正方形的对角线平分一组对角，即∠BEF=45°，则∠A=45°．
详（1）证明：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC．
又∵∠ACB=90°，
∴EF⊥BC．
又∵BD=CD，DF=ED，
∴四边形BECF是菱形．
（2）解：要使菱形BECF是正方形
则有BE⊥CE
∵E是△ABC的边AB的中点
∴当△CBA是等腰三角形时，满足条件
∵∠BCA=90°
∴△CBA是等腰直角三角形
∴当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
点睛：（1）熟悉菱形的判定方法；（2）探索性的试题，可以从若要满足结论，则需具备什么条件进行分析．
15、AC＝2
【解析】
可证明△ACD∽△ABC，则，即得出AC2=AD•AB，从而得出AC的长．
【详解】
∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD·AB，
∴AC2＝12，
∴AC＝2 (负值舍去)
本题考查了相似三角形的判定和性质，两个角相等，两个三角形相似．
16、（1）m=2，B（0，2）；（2）C（0，-1）或（0，-3）.
【解析】
（1）依据一次函数图象上点的坐标特征，即可得到m的值和点B的坐标；
（2）依据点C在y轴上，且△ABC的面积是1，即可得到BC=1，进而得出点C的坐标．
【详解】
（1）∵直线y＝x+b与直线y＝x交于点A（m，1），
∴m＝1，
∴m=2，
∴A（2，1），
代入y=x+b，可得×2+b＝1，
∴b=-2，
∴B（0，-2）．
（2）点C（0，-1）或C（0，-3）．理由：
∵△ABC的面积是1，点C在y轴上，
∴|BC|×2=1，
∴|BC｜=1，
又∵B（0，-2），
∴C（0，-1）或C（0，-3）．
本题考查一次函数的交点问题以及三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
17、（1）110，84，补图见解析；（1），；（3）700户
【解析】
（1）利用即可求出n的值，利用“对用水价格调价涨幅抱无所谓，不用考虑用水方式的改变”的居民的数量除以相应的百分比即可求出调查的总数量，然后用总数量减去用水量在，的居民的数量，即可求出用水量在之间的居民的数量，即可补全图1；
（1）根据中位数和众数的概念即可得出答案；
（3）用总人数1100×样本中“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民所占的百分比即可得出答案．
【详解】
(1) ，
调查的居民的总数为 ，
用水量在之间的居民的数量为 ，
补全的图1如图：
(1)根据中位数的概念，因为共调查了84户居民，每月每户用水量的中位数为第41，41个数据的平均数，即中位数落在之间，由图可知，用水量在的数据最多，所以众数落在之间；
(3)∵ (户)，
∴估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有700户．
本题主要考查扇形统计图和频数分布直方图，掌握中位数，众数的概念，用样本估计总体的方法是解题的关键．
18、 (1)每本故事书需涨5元；(2)每本故事书的售价应不高于60元.
【解析】
(1)设每本故事书需涨价x元，按每本故事书50元进行出售，每月可以售出500本故事书，调查发现每涨1元，少卖20本，根据总利润=(售价-进价)×数量，列方程求解即可；
(2)设每本故事书的售价为m元，根据在50元售价的基础上每涨1元，少卖20本，可得关于m的不等式，解不等式即可求得答案.
【详解】
(1)设每本故事书需涨价x元，由题意则有
(x+50-40)(500-20x)=6000，
解得：，，
为了让购书者得到实惠，x=10应舍去，
故x=5，
答：每本故事书需涨5元；
(2)设每本故事书的售价为m元，则
500-20(m-50)≥300，
解得：m≤60，
答：每本故事书的售价应不高于60元.
本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系，不等关系列出方程或不等式是解题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1+
【解析】
分析：首先根据三角形外角的性质可得∠B=∠BAD，根据等角对等边可得BD=AD=√55，然后利用勾股定理计算出CD长，进而可得BC长．
详解：∵∠B+∠DAB=∠ADC，∠ADC=2∠B，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=，
∵∠C=90°，
∴CD===1，
∴BC=+1．
故答案为.
点睛：此题主要考查了勾股定理，以及三角形外角的性质，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
20、
【解析】
连接，根据题意先证出，然后得出，所以点运动的路径长度即为点从到的运动路径，继而得出结论
【详解】
连接，
∵，是等腰直角三角形，
∴,∠ABC=90°
∵四边形是正方形
∴BD=BF，∠DBF=∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠CBF,
在△DAP与△BAP中
∴，
∴，
点运动的路径长度即为点从到的运动路径,为.
故答案为：
本题主要考查的是等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、正方形的性质以及全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
21、1
【解析】
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数得出a，b的值，从而得出ab．
解答：解：∵点A（2，a）关于x轴的对称点是B（b，-3），
∴a=3，b=2，
∴ab=1．
故答案为1．
22、a＝−2（答案不唯一）
【解析】
由图象开口向下，可得a＜2．
【详解】
解：∵图象开口向下，
∴a＜2，
∴a＝−2，（答案不唯一）．
故答案为：−2．
本题考查了二次函数的性质，注意二次函数图象开口方向与系数a的关系．
23、2.1
【解析】
根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线性质得出DE＝AB，代入求出即可．
【详解】
.解：∵BD⊥CA，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝ ＝＝1，
∵E是AB的中点，∠ADB＝90°，
∴DE＝AB＝2.1，
故答案为：2.1．
本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上中线的性质，能求出AB的长和得出DE＝AB是解此题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）图略（1）向右平移10个单位，再向下平移一个单位．（答案不唯一）
【解析】
（1）D不变，以D为旋转中心，顺时针旋转90°得到关键点A，C，B的对应点即可；
（1）最简单的是以C′D′的为对称轴得到的图形，应看先向右平移几个单位，向下平移几
个单位．
25、（1）；（2）存在；M点坐标为：（-3，），，；（3）△RFS是直角三角形；证明见详解.
【解析】
（1）首先求出C的坐标，然后由C、F两点用待定系数法求解析式即可；
（2）因为DM∥OF，要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则DM=OF，设M（x，），则D（x，x2），表示出DM，分类讨论列方程求解；
（3）根据勾股定理求出BR=BF，再由BR∥EF得到∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，所以∠RFS=∠BFC=90°，所以△RFS是直角三角形．
【详解】
解：（1）因为点C在抛物线上，所以C（1，），
又∵直线BC过C、F两点，
故得方程组：
解之，得，
所以直线BC的解析式为：；
（2）存在；理由如下：
要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图1所示，
设M（x，），则D（x，x2），
∵MD∥y轴，
∴，
由MD=OF，可得：；
①当时，
解得：x1=0（舍）或x1=-3，
所以M（-3，）；
②当时，
解得：，
所以M或M，
综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，
M点坐标为：（-3，），，；
（3）△RFS是直角三角形；理由如下：
过点F作FT⊥BR于点T，如图2所示，
∵点B（m，n）在抛物线上，
∴m2=4n，
在Rt△BTF中，
，
∵n＞0，
∴BF=n+1，
又∵BR=n+1，
∴BF=BR．
∴∠BRF=∠BFR，
又∵BR⊥l，EF⊥l，
∴BR∥EF，
∴∠BRF=∠RFE，
∴∠RFE=∠BFR，
同理可得∠EFS=∠CFS，
∴∠RFS=∠BFC=90°，
∴△RFS是直角三角形．
本题主要考查了待定系数法求解析式，平行四边形的判定，平行线的性质，勾股定理以及分类讨论和数形结合等数学思想．解题的关键是掌握待定系数法求解析式，以及学会运用分类讨论和数形结合等数学思想去解题.
26、（1）①证明见解析；②；（2）；（3）.
【解析】
（1）①由，推出，，推出四边形是平行四边形，再证明即可．
②先证明，推出，延长即可解决问题．
（2）．只要证明是等边三角形即可．
（3）结论：．如图3中，将绕点逆时针旋转得到，先证明，再证明是直角三角形即可解决问题．
【详解】
（1）①证明：如图1中，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是菱形．
②平分，
，
，
，
，
，
，，
，
．
（2）结论：．
理由：如图2中，延长到，使得，连接．
四边形是菱形，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，
，
，
是等边三角形，
在中，，，
，
．
（3）结论：．
理由：如图3中，将绕点逆时针旋转得到，
，
四点共圆，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，，
．
本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人