福建省龙岩市新罗区龙岩初级中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】

这是一份福建省龙岩市新罗区龙岩初级中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）若a≤1，则化简后为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠α=140°，那么∠A等于（ ）.
A．70°B．110°C．140°D．220°
4、（4分）下列不等式的变形中，不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5、（4分）如图，线段由线段绕点按逆时针方向旋转得到，由沿方向平移得到，且直线过点.则（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）若m个数的平均数x，另n个数的平均数y，则m+n个数的平均数是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（ ）．
A．B．C．D．
8、（4分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）一组数据 ，则这组数据的方差是 __________ .
10、（4分）函数y=的自变量x的取值范围是_____．
11、（4分）已知x＝+5，则代数式（x﹣3）2﹣4（x﹣3）+4的值是_____．
12、（4分）甲、乙两地相距200千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶时间关于行驶速度的函数表达式是_____.
13、（4分）在矩形ABCD中，点A关于∠B的平分线的对称点为E，点E关于∠C的平分线的对称点为F．若AD＝AB＝2，则AF2＝_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．
大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表
请根据调查的信息分析：
（1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为 ；
（2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；
（3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．
15、（8分）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动.
（1）奋进小组用图1中的矩形纸片ABCD，按照如图2所示的方式，将矩形纸片沿对角线AC折叠，使点B落在点处，则与重合部分的三角形的类型是________.
（2）勤学小组将图2中的纸片展平，再次折叠，如图3，使点A与点C重合，折痕为EF，然后展平，则以点A、F、C、E为顶点的四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
（3）创新小组用图4中的矩形纸片ABCD进行操作，其中，，先沿对角线BD对折，点C落在点的位置，交AD于点G，再按照如图5所示的方式折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M．则EM的长为________cm.
16、（8分）已知方程组的解中，x为非正数，y为负数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简|a﹣3|+|a+2|．
17、（10分）若m，n，p满足m－n=8，mn＋p2＋16=0，求m＋n＋p的值？
18、（10分）如图，矩形的长，宽，现将矩形的一角沿折痕翻折，使得点落在边上，求点的位置（即的长）。
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，四边形ABCD中，,E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相较于点F.若△BCD是等腰三角形，则四边形BDFC的面积为_______________。
20、（4分）如图，点是的对称中心， ，是边上的点，且是边上的点，且，若分别表示和的面积则.
21、（4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的中点，若CD=5cm，则AB=_____________cm.
22、（4分）因式分解：__________．
23、（4分）约分___________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某产品生产车间有工人10名.已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个,且每生产一个甲种产品可获得利润100元,每生产一个乙种产品可获得利润180元.在这10名工人中,车间每天安排x名工人生产甲种产品,其余工人生产乙种产品．
（1）请写出此车间每天获取利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；
（2）若要使此车间每天获取利润为14400元,要派多少名工人去生产甲种产品？
（3）若要使此车间每天获取利润不低于15600元,你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适？
25、（10分）若x＝3＋2，y＝3－2，求的值．
26、（12分）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点．
（1）求证：四边形BDEC是平行四边形；
（2）连接AD、BE，△ABC添加一个条件： ，使四边形DBEA是矩形（不需说明理由）．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】
A、是最简二次根式，符合题意；
B、＝，不符合题意；
C、＝3，不符合题意；
D、＝2，不符合题意；
故选A．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2、D
【解析】
将（1﹣a）3化为（1﹣a）2•（1﹣a），利用二次根式的性质进行计算即可．
【详解】
若a≤1，有1﹣a≥0；
则=（1﹣a）．
故选D．
本题考查了二次根式的意义与化简．二次根式规律总结：当a≥0时，a；当a≤0时，a．
3、B
【解析】
解：根据周角可以计算360°﹣∠α=220°，
再根据圆周角定理，得∠A的度数．
∵∠1=360°﹣∠α=220°，
∴∠A=∠1=220°÷2=110°．
故选B．
考点：圆周角定理．
4、D
【解析】
根据不等式的基本性质进行判断。
【详解】
A. ∴，故A正确；
B. ，在不等式两边同时乘以（-1）则不等号改变，∴，故B正确；
C. ，在不等式两边同时乘以（-3）则不等号改变，∴，故C正确；
D. ，在不等式两边同时除以（-3）则不等号改变，∴，故D错误
所以，选项D不正确。
主要考查了不等式的基本性质：
1、不等式两边同时加（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变；
2、不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；
3、不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
5、B
【解析】
由旋转的性质得，AD=AB，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论.
【详解】
解：∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠ABD=45°，
∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，
∴AB∥EF，
∴∠BDF=∠ABD=45°；
故选：B
此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质.
6、C
【解析】
m+n个数的平均数=，
故选C．
7、B
【解析】
根据正比例函数的定义来判断：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．
【详解】
A、该函数不符合正比例函数的形式，故本选项错误．
B、该函数是y关于x的正比例函数，故本选项正确．
C、该函数是y关于x的一次函数，故本选项错误．
D、该函数是y2关于x的函数，故本选项错误．
故选B．
主要考查正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．
8、A
【解析】
最简二次根式满足的条件是:被开方数不含能开方的因数或因式;被开方数不能是小数或分数;分母中不能出现二次根式.
【详解】
根据最简二次根式满足的条件可得:
是最简二次根式,
故选A.
本题主要考查最简二次根式的定义,解决本题的关键是要熟练掌握满足最简二次根式的条件.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
分析：先求出这5个数的平均数，然后利用方差公式求解即可．
详解：平均数为=（1+1+3+4+5）÷5=3，
S1= [（1-3）1+（1-3）1+（3-3）1+（4-3）1+（5-3）1]=1．
故答案为：1．
点睛：本题考查了方差的知识，牢记方差的计算公式是解答本题的关键，难度不大．
10、x≤且x≠0
【解析】
根据题意得x≠0且1﹣2x≥0，
所以且．
故答案为且．
11、1
【解析】
将代入原式=（x-3-2）2=（x-1）2计算可得．
【详解】
当时，
原式
，
故答案为1．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．
12、
【解析】
根据实际意义，写出函数的解析式即可．
【详解】
解：根据题意有：；
故与之间的函数图解析式为，
故答案为：．
本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
13、40﹣16
【解析】
由AD＝AB＝2，可求得AB＝2，AD＝2，又由在矩形ABCD中，点A关于角B的角平分线的对称点为E，点E关于角C的角平分线的对称点为F，根据轴对称的性质，可求得BE，CF的长，继而求得DF的长，然后由勾股定理求得答案．
【详解】
∵AD＝AB＝2，
∴AB＝2，AD＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝2，CD＝AB＝2，
∵在矩形ABCD中，点A关于角B的角平分线的对称点为E，点E关于角C的角平分线的对称点为F，
∴BE＝AB＝2，
∴CF＝CE＝BC﹣BE＝2﹣2，
∴DF＝CD﹣CF＝4﹣2，
∴AF2＝AD2+DF2＝（2）2+（4﹣2）2＝40﹣16．
故答案为：40﹣16；
此题考查了矩形的性质、轴对称的性质以及勾股定理．解题关键在于注意掌握轴对称图形的对应关系．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）4.5首；（2）大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有850人；（3）见解析.
【解析】
分析：（1）根据统计图中的数据可以求得这组数据的中位数；
（2）根基表格中的数据可以解答本题；
（3）根据统计图和表格中的数据可以分别计算出比赛前后的众数和中位数，从而可以解答本题．
解：（1）本次调查的学生有：20÷=120（名），
背诵4首的有：120﹣15﹣20﹣16﹣13﹣11=45（人），
∵15+45=60，
∴这组数据的中位数是：（4+5）÷2=4.5（首），
故答案为4.5首；
（2）大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有：1200×=850（人），
答：大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有850人；
（3）活动启动之初的中位数是4.5首，众数是4首，
大赛比赛后一个月时的中位数是6首，众数是6首，
由比赛前后的中位数和众数看，比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高，这次举办后的效果比较理想．
点睛：本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体、统计量的选择，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15、（1）等腰三角形（或钝角三角形）；（2）菱形，理由详见解析；（3）.
【解析】
（1）利用折叠的性质和角平分线定义即可得出结论；
（2）利用四边相等的四边形是菱形即可得出结论；
（3）由勾股定理可求BD的长，BG的长，AG的长，利用勾股定理和折叠的性质可得到结果。
【详解】
解：（1）等腰三角形（或钝角三角形）．
提示：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴．
由折叠知，，
∴，
∴重合部分的三角形是等腰三角形.
（2）菱形．
理由：如图，
连接AE、CF，设EF与AC的交点为M，
由折叠知，，，
∴，．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形．
（3）.
提示：∵点D与点A重合，得折痕EN，，，
∴.
在中，，
∴.
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴由勾股定理可得，
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∴，设，则．
由勾股定理得，即，
解得，即.
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
16、（1）﹣2＜a≤3；（2）1
【解析】
（1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围即可；
（2）根据a的取值范围去掉绝对值符号，把代数式化简即可；
【详解】
解：（1）方程组解得：，
∵x为非正数，y为负数；
∴，
解得：﹣2＜a≤3；
（2）∵﹣2＜a≤3，即a﹣3≤0，a+2＞0，
∴原式＝3﹣a+a+2＝1．
本题考查的是解二元一次方程组、解一元一次不等式组、代数式的化简求值，熟练掌握并准确计算是解题的关键.
17、m＋n＋p＝0.
【解析】
试题分析:把m,n,p看成是未知数,本题已知两个方程求三个未知数,因此可以采用主元法,将其中一个未知数看成常数,另外两个当作未知数进行解答,本题由m－n＝8,可得:
m＝n＋8,把m＝n＋8代入mn＋p2＋16＝0,得n2＋8n＋16＋p2＝0,即(n＋4)2＋p2＝0,根据非负数的非负性质可求出n=－4,p=0,所以m=4,因此m＋n＋p＝4＋(－4)＋0＝0.
因为m－n＝8，所以m＝n＋8.
将m＝n＋8代入mn＋p2＋16＝0中，得n(n＋8)＋p2＋16＝0，所以n2＋8n＋16＋p2＝0，即(n＋4)2＋p2＝0.
又因为(n＋4)2≥0，p2≥0，
所以，解得，所以m＝n＋8＝4，
所以m＋n＋p＝4＋(－4)＋0＝0.
18、点E在离点D的距离为处．
【解析】
由折叠的性质可得BC=BC'=5，CE=C'E，由勾股定理可求AC'=4，可得C'D=1，由勾股定理可求DE的长，即可求E点的位置．
【详解】
∵将矩形的一角沿折痕BE翻折，使得C点落在AD边上，
∴BC=BC'=5，CE=C'E
在Rt△ABC'中，AC'==4，
∴C'D=AD-AC'=1，
在Rt△C'DE中，C'E2=DE2+C'D2，
∴（3-DE）2=DE2+1
∴DE=
∴点E在离点D的距离为处．
本题考查翻折变换、矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、5或1．
【解析】
先证明四边形BDFC是平行四边形；当△BCD是等腰三角形求面积时，需分①BC=BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG=BC=5，然后求出DG=3，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=4，矛盾．
【详解】
证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠DFE，
在△BEC与△FED中，

∴△BEC≌△FED，
∴BE=FE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE=DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（1）BC=BD=5时，由勾股定理得，AB===，
所以，四边形BDFC的面积=5×=5 ；
（2）BC=CD=5时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
所以，AG=BC=5，
所以，DG=AG-AD=5-2=3，由勾股定理得，CG===4，
所以，四边形BDFC的面积=4×5=1；
（3）BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=4，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是5或1．
故答案为：5或1．
本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．
20、
【解析】
根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出再由点O是▱ABCD的对称中心，根据平行四边形的性质可得S△AOB=S△BOC= ，从而得出S1与S2之间的等量关系．
【详解】
解：由题意可得
∵点O是▱ABCD的对称中心，
∴S△AOB=S△BOC= ，
故答案为:
本题考查了中心对称，三角形的面积，平行四边形的性质，根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出是解题的关键．
21、1
【解析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴线段CD是斜边AB上的中线；
又∵CD=5cm，
∴AB=2CD=1cm．
故答案是：1．
本题考查了直角三角形斜边上的中线．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
22、
【解析】
先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】
解：原式，
故答案为：
本题考查提公因式，熟练掌握运算法则是解题关键.
23、
【解析】
根据分式的性质,分子分母同时扩大或缩小相同倍数时分式的值不变即可解题.
【详解】
=,（分子分母同时除以6abc）.
本题考查了分式的变形和化简,属于简单题,熟悉分式的性质是解题关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1） y =﹣200x+1
（2）2
（3）2
【解析】
（1）根据每个工人每天生产的产品个数以及每个产品的利润，表示出总利润即可．
（2）根据每天获取利润为14400元，则y=14400，求出即可．
（3）根据每天获取利润不低于15200元即y≥15200，求出即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：y=12x×100+10（10﹣x）×180=﹣200x+1．
（2）当y=14400时，有14400=﹣200x+1，解得：x=2．
∴要派2名工人去生产甲种产品．
（3）根据题意可得，y≥15200，即﹣200x+1≥15200，解得：x≤4，
∴10﹣x≥2，
∴至少要派2名工人去生产乙种产品才合适．
25、1
【解析】
先运用平方差及完全平方公式进行因式分解，再约分，将分式化到最简即可．
【详解】

=
=
=
=1．
故当x＝3+2，y＝3−2时，原式=1．
本题考查了二次根式的化简求值．运用公式将分子因式分解可使运算简便．由于所求代数式化简之后是一个常数1，与字母取值无关．因而无论x、y取何值，原式都等于1．
26、（1）见解析；（2）AB=BC.
【解析】
（1）证明DB=EC． DB∥EC即可；
（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．
【详解】
（1）证明：∵E是AC中点，
∴EC=AC．
∵DB=AC，
∴DB=EC．
又∵DB∥EC，
∴四边形DBCE是平行四边形．
（2）如图，连接AD，BE，
添加AB=BC．
理由：∵DB∥AE，DB=AE，
∴四边形DBEA是平行四边形．
∵BC=DE，AB=BC，
∴AB=DE．
∴▭ADBE是矩形．
故答案为：AB=BC．
此题考查了平行四边形的判定与矩形的判定，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
10
10
15
40
25
20