北京市第十五中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

这是一份北京市第十五中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题，共12页。试卷主要包含了10等内容，欢迎下载使用。

2024.10
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知集合，，则
A．B．C．D．
2．已知，则的大小关系为
A．B．
C．D．
3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是
A．B．
C．D．
4．已知等差数列的前项和为 ，若，则
A．54B．63
C．72D．135
5．若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为
A．B．C．D．
6．设且,则“”是“”成立的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．若函数的部分图象如图所示，则的值是
A． B． C． D．
8．在中，分别是角的对应边，若，则下列式子正确的是
A．B．
C．D．
9．已知函数当时，方程的根的个数为
A．0B．1C．2D．3
10．数列各项均为实数，对任意满足，且，则下列选项中不可能的是
A．，B．， C．，D．，
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．函数的定义域为 .
12．在平面直角坐标系中，角和角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则=__________．
13．已知数列的前项和为，则 ．
14．已知函数为在上的偶函数，且满足条件：①在上单调递减；②，则关于的不等式的解集是 ．
15．已知函数，对于函数有下述四个结论：
①函数在其定义域上为增函数；
②有且仅有一个零点；
③对于任意的，都有成立；
④若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则必是的零点.
其中所有正确的结论序号是
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．(本小题13分)已知函数，
（Ⅰ）求实数的值;
（Ⅱ）求函数的最小正周期及单调增区间.
17．(本小题13分)已知函数．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若对都有恒成立，求实数的取值范围．
18．(本小题14分)在中，.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.
条件①；
条件②；
条件③AB边上的高为.
19．(本小题15分)为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
（Ⅰ）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
（Ⅱ）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为．当为何值时，最小．（结论不要求证明）
20．(本小题15分)已知函数.
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的极值和单调区间；
（Ⅲ）若在上不是单调函数，且在上恒成立，求实数的取值范围．
21．(本小题15分)若有穷数列：，，…，，满足，则称数列为数列．
（Ⅰ）判断下列数列是否为数列，并说明理由；
①1，2，4，3
②4，2，8，1
（Ⅱ）已知数列：，，…，，其中，，求的最小值．
（Ⅲ）已知数列是1，2，…，的一个排列．若，求的所有取值．
参考答案
8．D
解析：由题意可知，所以
由余弦定理可得，
所以，
所以
,即,
9．D
解析：画出函数的图像，
有图可知方程 的根的个数为3个.
故选C.
10．C
解析：对任意满足，.
对于A，若，，则，故，故或，
若，则，故，
此时，，，
当时，；
当时，；
当时，，
故A成立.
对于B，若，，则，故，
又，，
故或，
若，则无解；
若，则，故或，
此时，，，满足；
或，，，满足；
故B成立.
对于C，若，，则，故，且，
故，又，
故或，
若，则无解；
若，则也无解，
故C错误.
对于D，若，，则，故，
又，故，此时，
满足
故选：B
11．
12．
13．36
解析：由题意可得为奇数时，，
两式相减得；
为偶数时，，两式相加得，
故.
14．
解析：函数为在上的偶函数，在上单调递减，故在上单调递增；
，故.画出函数简图，如图所示：
，故，故，解得.
故答案为：
15．③④
解析：对于①，的定义域为，
因为，，①错误；
对于②，因为，所以在和上单调递增，
又，，，，
所以在区间和上都存在零点，
又在和上单调递增，
即在区间和上各有一个零点，②错误；
对于③，因为，所以，所以，
即，所以③正确；
对于④，因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
得切线方程为，即，
设与相切于点，因为，所以切线斜率为，
得切线方程为，即，
所以，即，
消去得，整理得，即是的零点，④正确.
16．解：（Ⅰ）由可求出；（2）先化简得，由三角函数的图象和性质可求出函数的周期及单调递增区间．
试题解析：（1）由知
∴
∴
（Ⅱ）解：∵
∴
∴，
∴（）
∴（）
∴函数的最小正周期为，单调增区间为（）
17．解：（Ⅰ）由，得.
令得或.
当变化时，在各区间上的正负，以及的单调性如下表所示：
所以当时取极大值；当时取极小值.
（Ⅱ）由（1）可得函数在上单调递减，在上单调递增，
则在上的最小值为.
对都有恒成立，所以.
18．解：（Ⅰ）在中，，由正弦定理得，
由于，则，
由于，故；
（Ⅱ）若选①②，存在且唯一，解答如下：
由于，，
又，故，则；
又，故，
故；
若选①③，存在且唯一，解答如下：
由于，，
AB边上的高h为，故
则，则；
又，故，
故；
若选②③，不唯一，解答如下：
，AB边上的高h为，故，
或，此时有两解，不唯一，不合题意.
19．解：（Ⅰ）由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为．
（Ⅱ）由题意得，样本中名毕业生选择“继续学习深造”的频率为．
用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为．
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．
所以，
，
，
．
所以的分布列为
．
（Ⅲ）易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以．
20．解：（Ⅰ）当时，函数，．
所以，．
所以曲线在点处的切线方程．
（Ⅱ）函数定义域．
求导得.
①当时，因为，所以．
故的单调递减区间是，此时无极值.
②当时，变化时，变化如下表：
所以的单调递减区间是，单调递增区间是．
此时函数的极小值是，无极大值．
（Ⅲ）因为在不是单调函数，由第（2）可知此时，
且，
又因为在上恒成立，只需
即可，所以，
解得的取值范围是
21．解：（Ⅰ）①因为，所以该数列不是数列；
②因为，所以该数列是数列．
（Ⅱ）由，则，得或，恒成立，得或，同理得故.
（Ⅲ）当时，因为，所以，不符合题意；
当时，数列为3，2，4，1．此时，符合题意；
当时，数列为 2，3，4，5，1．此时，符合题意；
下证当时，不存在满足题意．
令，2，，，
则，且，
所以有以下三种可能：
①； ②；③．
当时，因为，
即，2，，．
所以 或．
因为数列的各项互不相同，
所以．
所以数列是等差数列．
∴，，，是公差为1（或的等差数列．
当公差为1时，由得 或，所以或，与已知矛盾．
当公差为时，同理得出与已知矛盾．
所以当 时，不存在满足题意．
其它情况同理．
综上可知，的所有取值为4或5．
毕业去向
继续学习深造
单位就业
自主创业
自由职业
慢就业
人数
200
560
14
128
98
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
B
A
C
A
D
D
C
＋
0
－
0
＋
↗
极大
↘
极小
↗
0
1
2
3
极小值
1
极小值