专题02直线方程（考题猜想）（含答案） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）学案

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题型大集合 点斜式方程综合应用
截距式方程综合应用
一般式直线理论
直线与坐标轴围成面积
含参直线过定点
点到直线距离最值型
平行线距离最值范围
对称：点关于直线对称
对称：光学性质
对称：最小值
对称：两点距离公式几何意义
对称：将军饮马型
对称：叠纸型
直线关于直线对称
直线综合
题型大通关
一．点斜式方程综合应用 （共3小题）
1．（22-23高二上·北京·期中）已知直线，直线l2是直线l1绕点逆时针旋转45°得到的直线．则直线l2的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得的斜率，利用点斜式写出直线方程即可.
【详解】设直线的倾斜角分别为，则，，
故，又点在直线上，
故直线的方程为，整理得：.
故选：D.
2．（21-22高二上·新疆省直辖县级单位·期中）已知的三个顶点，则的高CD所在的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出，进而得到，再由点斜式写出直线方程即可.
【详解】由题意知：，则，故CD所在的直线方程为，即.
故选：D.
3．（21-22高一上·江苏南通·期中）已知点到和的距离相等，则的最小值为
A．2B．4C．D．
【答案】D
【解析】首先求得线段的垂直平分线的方程，由此求得的关系式，利用基本不等式求得的最小值.
【详解】因为点到和的距离相等，
所以点在线段的垂直平分线上，且过AB的中点，，垂直平分线的斜率为，由点斜式得，
所以垂直平分线的方程为：即，
因为，且，
所以.
所以的最小值为，
故选：D.
【点睛】本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查基本不等式求最值，属于中档题.
截距式方程综合应用（共3小题）
4．（23-24高二上·广东东莞·期中）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设出直线方程，求得其在在轴上的截距，建立不等式，解出即可.
【详解】设直线的斜率为，则直线方程为，
令，得，故直线在轴上的截距为，令，
得或者，故选：
5．（23-24高二上·陕西榆林·期中）直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且满足，则直线的斜率为（ ）
A．2B．C．D．或
【答案】C
【分析】由题意设直线的方程为，列出关于的方程组，求解即可.
【详解】由题意设直线的方程为，则①，
又，∴②，
由①②解得，或，，
又由知，则，，
则直线的斜率为．
故选：C．
6．（21-22高二上·江苏南通·期中）过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（ ）
A．4条B．2条C．3条D．1条
【答案】C
【分析】考虑截距为0，截距相等且不为0，截距互为相反数且不为0，求出相应的方程，得到答案.
【详解】当截距为0时，设直线方程为，将代入，求得，
故方程为；
当截距不为0时，
①截距相等时，设方程为，
将代入，即，解得：，故方程为；
②截距互为相反数时，设直线方程为，
将代入，即，解得：，故方程为；
一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条.
故选：C
三．一般式直线理论 （共2小题）
7．（21-22高二上海浦东新·期中）在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（ ）
A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上
B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行
C．若，则直线经过线段M，N的中点；
D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交；
【答案】A
【分析】根据题意对一一分析，逐一验证．
【详解】解：对于，化为：，即点，不在直线上，因此不正确．
对于，，则，即过，两点的直线与直线的斜率相等，又点，不在直线上，因此两条直线平行，故正确；
对于，，则，化为，因此直线经过线段的中点，故正确；
对于，，则，则点，在直线的同侧，故正确；
故选A
【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
8．（21-22高二上·北京·期中）设，为不同的两点，直线.记，则下列结论中正确的个数是（ ）
①不论为何值，点都不在直线上；
②若，则过的直线与直线相交；
③若，则直线经过的中点.
A．0个B．1个
C．2个D．3个.
【答案】C
【分析】①通过分母不为0，确定，可以判断①的对错；②③通过对条件整理变形，利用直线的相关性质判断.
【详解】因为，分母不为0，所以，所以不论为何值，点都不在直线上，①正确；
当时，设，（），则，为直线上的两个点，显然直线与直线平行，故过的直线与直线不会相交，②错误；
当时，设，整理得：，因为，，所以的中点坐标为，故若，则直线经过的中点.③正确；正确的个数为2个
故选：C
四．直线与坐标轴围成面积（共4小题）
9．（2022高三·全国·期中）直线与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，可得；令，可得，可得，，解出即可．
【详解】解：令，可得；令，可得，
，，
解得，且．
故选：．
【点睛】本题考查了直线的截距意义、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
10．（21-22高二上·安徽·期中）过点且与两坐标轴围成的三角形面积为4的直线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】设直线的斜率为，得到，分别求得直线在坐标轴上的截距，根据题意列出方程，即，分类讨论，即可求解.
【详解】由题意知，所求直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，
则直线方程为，即，
令，可得；令，可得，
因为过点且与两坐标轴围成的三角形面积为4，
可得，整理得，
当时，可得，解得；
当时，可得，解得或，
所以满足条件的直线方程共有3条.
故选：C.
11．（22-23高二上·河南期中）已知直线l过点，且分别交两直线于x轴上方的两点，O点为坐标原点，则面积的最小值为（ ）
A．8B．9C．D．20
【答案】A
【分析】判断直线斜率存在并设直线l的方程为，求出两点的横坐标，表示出三角形的面积，并化简，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意知直线l的斜率一定存在，斜率设为k，则直线l的方程为，
分别与联立可得两点的横坐标：，
故，两点都在x轴的上方，
故，
故，
当且仅当，即时等号成立，
故面积的最小值为8，
故选：A．
12．（21-22高二下·江苏南京·期中）直线中，．若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为（ ）
A．6B．7C．8D．16
【答案】B
【解析】根据题意求出三角形的面积，找到满足的条件，列举即可解出．
【详解】因为，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为，于是，若时，没有这样的满足条件；若时，；若时，；若时，，所以这样的直线的条数为7．
故选：B．
【点睛】本题主要考查直线的截距式方程的应用，属于基础题．
五．含参直线过定点（共2小题）
13．（23-24高二上·河北石家庄·期中）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意求出的关系，然后利用基本不等式求出的最小值.
【详解】由直线，
得：，即恒过点，
因为直线过此定点，其中m，n是正实数
所以，
则，
，当且仅当时取等号；
故选：B
14．（2023高二上·全国·期中）已知，满足，则直线必过定点（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用已知条件消去，令的系数为0即可.
【详解】由，得，
代入直线方程中，
得，即，
令，解得，
所以该直线必过定点.
故选：D
六．点到直线距离最值型 （共3小题）
15．（2023高二上·江苏·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．；B．；
C．；D．；
【答案】C
【分析】根据题意，得到直线过定点，若使得到直线的距离最大，则，求得，得到，进而得到直线方程.
【详解】由直线，
可得化为，
联立方程组，解得，即直线过定点，
若要到直线的距离最大，只需，
此时点到直线的最大距离，即为线段的长度，可得，
又由直线的斜率为，
因为，可得，可得，
故此时直线的方程为，即，
经检验，此时，上述直线的方程能够成立.
故选：C.
16．（23-24高二上·北京海淀·期中）点到直线的距离最大时，直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由直线方程确定定点，根据时点线距离最大，求出直线的斜率，进而可得直线的斜率，进而写出直线的方程.
【详解】由直线的方程整理可得：，
可得直线恒过定点，所以，
当 时，到直线的距离最大，
可得直线的斜率为，即，
所以直线的方程为，
即．
故选：．
17．（23-24高二上·全国·期中）若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．4
【答案】A
【分析】由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为，然后利用两平行线间的距离公式列方程可求出的值，再利用点到直线的距离公式可求得结果.
【详解】由题意，知点M在直线与之间且与两直线距离相等的直线上，
设该直线方程为，则，即，
∴点M在直线上，
∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线的距离，即.
故选：A.
平行线距离最值范围（共2小题）
18．（22-23高二上·四川成都·期中）已知，两点的坐标分别为，，若两平行直线，分别过点A，B，则，间的距离的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据平行线之间的距离转化为一直线上的点到平行线之间的距离，可结合图形分析，间的距离的最大值为，即可求得.
【详解】解：由题可知，，如图，两平行直线，分别过点A，B，
因为，所以，间的距离即点到直线的距离，由图可知，
当，垂直时，，间的距离取最大值，即最大值为，
又由两点间的距离公式可知，.
故选：D．
19．（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期中）夹在两平行直线与之间的圆的最大面积等于
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】夹在两平行直线之间的面积最大的圆与这两条直线都相切，求出直径即可得到面积
【详解】两平行直线与之间的距离：
，
夹在两平行直线与之间的圆半径最大值为2，
所以该圆的面积为.
故选：B
【点睛】此题考查求两条平行直线之间的距离，关键在于熟记距离公式正确求解.
八． 对称：点关于直线对称（共2小题）
20．（23-24高二上·安徽·期中）已知在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用对称将三角形的周长转化为四点共线问题，求出两点之间距离即可.
【详解】设点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，连接交于，交轴于，
则此时的周长取最小值，且最小值为，与关于直线对称，，解得，易求得，，即周长的最小值为.
故选：.
21．（22-23高二上·江苏南京期中）已知的一条内角平分线的方程为，两个顶点为、，则顶点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】计算出点关于直线的对称点的坐标，可求得直线的方程，联立直线、的方程，可得出点的坐标.
【详解】设点关于直线的对称点为，
线段的中点为，则点在直线上，
所以，，即，①
因为直线与直线垂直，直线的斜率为，则，②
联立①②可得，，即点，
，所以，直线的方程为，
由题意可知，点为直线、的交点，联立，解得，
因此，点的坐标为.
九．对称：光学性质（共2小题）
22．（23-24高二上·福建三明·期中）已知，从点射出的光线经y轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】C
【分析】利用光线反射定理结合点关于直线的对称点即可求得光线所经过的路程.
【详解】直线的方程为，点关于y轴的对称点为，
设点E关于直线的对称点为，
则，解之得，则
设点射出的光线交y轴于点C，交直线于点D，则光线所经过的路程为
故选：C
23．（23-24高二上·安徽·期中）如图，已知某光线从点射出，经过直线上的点B后第一次反射，此反射光线经过直线上的点C后再次反射，该反射光线经过点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】分别求出点关于的对称点为以及点关于的对称点的坐标，然后根据光的反射原理，即可得出答案.
【详解】设点关于的对称点为，则有，解得，所以，.
又点关于的对称点为，根据光的反射原理，可知点与点，均在直线上，所以．故选：D.
十．对称：最小值 （共2小题）
24．（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知直线分别与轴交于两点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作点关于直线对称的点，连接交直线于点，求出坐标即可.
【详解】由题直线分别与轴交于两点，则，
设点关于直线对称的点为，则，所以，
则直线，联立，
所以.故选：A
25．（23-24高二上·四川达州·期中）已知直线：和点，点，点P是直线上一动点，当最小时，点P的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件求出A关于直线的对称点坐标，求出直线方程，与已知直线方程联立即可求解.
【详解】依题意，设关于直线的对称点，
所以，解得，所以，
由直线的对称性知，，则，
当且仅当三点共线时，等号成立，即取到最小，
由及知直线的方程为，联立，解得，即.
所以最小时，点P的坐标是.故选：C
十一．对称：两点距离公式几何意义 （共3小题）
26．（23-24高二上·河北·期中）已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．108D．117
【答案】A
【分析】将转化为动点到，两点距离之和，再结合直线的对称问题，即可解决距离和的最小值.
【详解】∵
∴该式表示直线l：上一点到，两点距离之和的最小值．
易知P，Q两点在l的同一侧，
设点P关于l对称的点，
则，解得，∴，
故．
故选：A.
27．（23-24高二上·河南新乡·期中）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意将所求问题转化为上一点到两点的距离之和的最小值，可求出点关于直线的对称点为，可得答案.
【详解】因为
表示直线上一点到两点的距离之和．
设点关于直线的对称点为，所以，解得，
即，所以，
即的最小值为.
故选：C.

28．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据目标式的几何意义，将问题转化为动点Px,y到定点和的距离之和的最小值问题，然后求出点A关于的对称点为，结合图形可解.
【详解】因为，
所以，目标式表示动点Px,y到定点和的距离之和.
点Px,y在直线上，设点A关于的对称点为，
则，解得，由对称性可知，，
当三点共线时等号成立，
所以，的最小值为.故选：C
十二．对称：将军饮马型（共2小题）
29．（22-23高二上·江西景德镇·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】A
【分析】作图，求出点关于直线对称的点，再由两点间的距离公式即可得解．
【详解】如图， 设点关于直线对称的点为，
则，解得，则“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
30．（22-23高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将已知变形设出，，则为点分别到点，的距离之和，则，即可根据两点间距离计算得出答案.
【详解】，，
设，，，则为点分别到点，的距离之和，
点关于轴的对称点的坐标为，连接，
则，
当且仅当，，三点共线时取等号，故选：B.
十三．对称：叠纸型（共2小题）
31．（23-24高二上·河北石家庄·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点和点重合，点和点重合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两点关于折线对称，先求出折线方程，再根据与关于折线对称求出即可.
【详解】设点和，线段中点为点, 折线即为线段的中垂线，
则，，所以，直线的斜率为，则折线斜率为2，
所以折线方程为：，由题知与关于折线对称，
则两点中点在直线上且两点连线与直线垂直，所以化简得，
解得，所以.故选：A
32．（22-23高二上·浙江杭州·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】由对称，求出折痕所在直线方程，两个方程相同，列方程组可求未知数.
【详解】假设折痕所在直线的斜率不存在，由点与点可得折痕所在直线的方程为，由点与点可得折痕所在直线的方程为，故舍去；
由点与点可得折痕所在直线的斜率不为0，
由点与点关于折痕对称，两点的中点坐标为，两点确定直线的斜率为，则折痕所在直线的斜率为，所以折痕所在直线的方程为：，即，
由点与点关于折痕对称，两点的中点坐标为，两点确定直线的斜率为，则折痕所在直线的斜率为，所以折痕所在直线的方程为：，即，则有，解得.
所以故选：D
十四．直线关于直线对称 （共2小题）
33．（21-22高二上·湖北武汉·期中）已知直线：与关于直线对称，与平行，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】点关于直线的对称点为可得的方程，再根据相互平行可得答案.
【详解】直线关于直线对称的直线，即是交换位置所得，
即，相互平行，的斜率为，
故.
故选：C.
34．（16-17高一下·安徽阜阳·期中）已知直线与关于直线对称， 与垂直，则
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据题意设，由于直线过定点，而与关于直线对称，所以过，代入方程中可求出的值，然后将方程与联立求出交点坐标，此点也在直线上，代入方程可求出的值.
【详解】与垂直，故的斜率是2，设，
过定点 ，设关于直线的对称点为，则
，解得因为与关于直线对称，
所以过，所以，得，所以直线：，
由，得，，所以直线与直线交于，
因为点在直线上，所以，解得故选：B
十五．直线综合（共 2小题）
35．（2022高三·全国·期中）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，得出点在平面中，问题转化为在平面内直线上取一点，求点到定点的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点关于直线到直线的距离，从而可得结果.
【详解】
如上图示，连接则，点在平面中，且，，，
在△中，以为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，如下图示，则，，，

设点关于直线的对称点为，而直线为①，
所以，故直线为 ②，
联立①②，解得，故直线与的交点，
所以对称点，则，最小值为到直线的距离为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：将立体几何问题转化为平面问题，结合将军饮马模型，求点到直线上动点距离最小.
36．（22-23高三上·浙江绍兴·期中）已知实数，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，设直线：，则的几何意义为，点到直线的距离，即可求出取值范围.
【详解】根据题意，设直线：，设点
那么点到直线的距离为：，
因为，所以，且直线的斜率，
当直线的斜率不存在时，，所以，
当时， ，
所以，即，
因为，所以，
故答案为：.