专题08数列的通项与求和（考点清单）（含答案） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）学案

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【清单01】数列的递推公式
1、递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、通项公式和递推公式的异同点
【清单02】数列通项公式的求法
1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
2、公式法
（1）使用范围：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2构造两式作差求解．
（2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
3、累加法：适用于an+1=an+f(n)，可变形为an+1−an=f(n)
要点：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解
4、累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为eq \f(an＋1,an)＝f(n)
要点：利用恒等式an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解
5、构造法：形如an+1=pan+q（其中均为常数且）型的递推式,常采用构造法
【清单03】数列求和的方法
1、公式法
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
2、分组转化法求和
（1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
（2）常见类型：
= 1 \* GB3 ①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列；
= 2 \* GB3 ②通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.
3、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，．
4、倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
5、裂项相消法求和：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和．
6、错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求.
【考点题型一】已知Sn与an的关系求通项
方法总结：已知Sn求an的三个步骤
（1）利用a1＝S1求出a1.
（2）当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．
（3）看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．
（1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
（2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
【例1】（23-24高二下·江苏盐城·期中）如果数列an的前n项和Sn=n2+2n，那么a12的值为（ ）
A．23B．24C．25D．26
【变式1-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2+3n+1，则数列an的通项公式为 ．
【变式1-2】（22-23高二下·江苏镇江·期中）数列an的前n项和记为Sn，若Sn=n2−3n+1，则an= .
【变式1-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）记Sn为数列an的前n项和，Tn为数列Sn的前n项和，若a1=2且an+1=2Sn+2.
(1)证明：数列Sn+1是等比数列；
(2)若Tn>120−n成立，求n的最小值.
【变式1-4】（23-24高二上·江苏·期中）已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2n+3．
(1)求数列an的通项公式an；
(2)若数列bn满足：bn=n2an，求数列bn的最大项．
【考点题型二】累加法求通项
方法总结：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
【例2】（22-23高二下·江苏盐城·期中）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：1、4、9、16，则该数列的第20项为（ ）
A．399B．400C．401D．402
【变式2-1】（22-23高二上·江苏南通·期中）等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，数列bn满足b1=14，n≥2时，bn−bn−1=1an，则数列bn的通项公式为（ ）
A．2n−3B．2n−2C．34−12nD．34+2n−3
【变式2-2】（22-23高二上·江苏扬州·期中）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列an，正方形数构成数列bn，则a10= ；i=1101bi+1−ai+1= .
【变式2-3】（21-22高二上·江苏苏州·期中）设数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1−an=n，则a10= .
【变式2-4】（20-21高二上·江苏扬州·期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，n∈N∗，数列{bn}满足：b1=1，b2=13，且3bn+2−4bn+1+bn=0，n∈N∗
（1）求证：数列bn+1−bn是等比数列；
（2）求数列{an}与{bn}的通项公式.
【考点题型三】累乘法求通项
方法总结：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
【例3】（20-21高二上·江苏苏州·期中）已知在数列{an}中，a1=2,an+1=nn+1an，则a2020的值为（ ）
A．12020B．12019C．11010D．11009
【变式3-1】（23-24高二下·海南海口·期中）已知数列an的前n项和为Sn,a1=2且满足Sn=n+23an，则数列an的通项公式为 ．
【变式3-2】（22-23高二上·福建宁德·期中）已知a1=1,an+1=nan−an+1n∈N+，则数列an的通项公式是an= ．
【变式3-3】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）数列{an}满足a1=1，anan−1=2n+12n−1(n∈N∗,n≥2)，则an= ．
【变式3-4】（22-23高二上·福建莆田·期中）已知数列an满足4Sn=(2n+1)an+1n∈N∗，则an= ．
【考点题型四】构造法求通项
方法总结：形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项．
【例4】（23-24高二下·广东·期中）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，且(n2−1+1)Sn=nSn−1+an（n≥2且n∈N∗），若Sk=135，则k=（ ）
A．49B．50C．51D．52
【变式4-1】（多选）（23-24高二下·广东·期中）已知数列an的首项a1=1，前n项和为Sn，且an+1=4an+3n，则（ ）
A．a2=7B．Sn是递增数列
C．an+3n是等差数列D．a10=220−310
【变式4-2】（多选）（20-21高二上·江苏泰州·期中）数列an是首项为1的正项数列，an+1=2an+3，Sn是数列an的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．a3=13B．数列an+3是等比数列
C．an=4n−3D．Sn=2n+1−n−2
【变式4-3】（多选）（20-21高二上·江苏·期中）已知数列an，下列结论正确的有（ ）
A．若a1＝2，an+1＝an+n+1，则a20＝211.
B．若a1＝1，an+1＝3an+2，则a7=1457
C．若Sn=3n+12，则数列an是等比数列
D．若a1＝1，an+1＝2an2+an n∈N∗，则a15＝215
【变式4-4】（23-24高二下·广东珠海·期中）已知数列{an}，其中a1=1，满足an+1=2an+2n−1(n∈N∗)，设Sn为数列{an}的前n项和，当不等式Sn+4+n2+2n>2025成立时，正整数n的最小值为 .
【考点题型五】裂项相消法求和
方法总结：1、用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
2、裂项相消法中常见的裂项技巧
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
【例5】（23-24高二上·江苏苏州·期中）数列an中，an=1n+n+1，Sn=8，则n=（ ）
A．77B．78C．79D．80
【变式5-1】（23-24高二下·江苏徐州·期中）12!+23!+34!+⋅⋅⋅+99100!=
【变式5-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）若an是公差不为0的等差数列，a2,a4,a8成等比数列，a1=1，Sn为an的前nn∈N∗项和，则1S1+1S2+⋯+1S10的值为 ．
【变式5-3】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知Sn为等差数列an的前n项和，3a2−a5=6，S6=54．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若n+3bn2=1an，求数列bn的前10项和T10．
【变式5-4】（22-23高二上·江苏镇江·期中）已知数列an的前n项和为Sn，满足2Sn=4an−4n∈N*．
(1)求数列an的通项公式；
(2)记bn=anan−1an+1−1，Tn是数列bn的前n项和，若对任意的n∈N*，不等式Tn>1−kn+1都成立，求实数k的取值范围．
【考点题型六】错位相减法求和
方法总结：1、解题步骤
2、注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
①
②
得：．
整理得：．
【例6】（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知数列an为等差数列，a1=1，公差d>0，数列bn为等比数列，且a2=b2，a8=b4，a32=b6n∈N∗．
(1)求数列an、bn的通项公式；
(2)设cn=an⋅bn2，数列cn的前n项和为Tn，求满足Tn>4an+1的n的最小值．
【变式6-1】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知数列{an}满足a1=5，an+1−2an=3n（n∈N∗）.记bn=an−3n .
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)设cn=nbn，求数列{cn}的前n项和.
【变式6-2】（22-23高二下·江苏南京·期中）正项数列an的前n和为Sn，且2Sn=an2+an (n∈N∗)．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=a13n+a23n−1+a33n−2+⋯+an−132+an3，求数列bn的前n项和Tn.
【变式6-3】（22-23高二下·湖北·期中）已知正项数列an满足a1=1且an+12an+1+an2an+1−1=0n∈N∗.
(1)求an的通项公式；
(2)设数列2nan的前n项和为Sn，是否存在p、q使pSn+q2n=n−1恒成立，若存在，求出p、q的值；若不存在，请说明理由.
【变式6-4】（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知数列an中，a1=2，且对任意n∈N*，都有an+1=2an−1．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=2n⋅an−1，求数列bn的前n项和Sn．
【考点题型七】分组并项求和
方法总结：并项求和法∶若一个数列的前n项中两两结合后可求和，则用并项求和法.
【例7】（多选）（22-23高二上·江苏苏州·期中）数列an满足a1=1，an+1an=12n(n∈N∗)，Sn为数列an的前n项和，则（ ）
A．a2n−1=12n−1B．an+1≤anC．Sn<3D．Sn<32Sn−1
【变式7-1】（22-23高二上·江苏淮安·期中）数列bn的前n项和为Tn，且bn=(−1)nn,T19= .
【变式7-2】（22-23高二上·江苏南通·期中）(1)求数列1+12，2+14，3+18，…，n+12n，的前n项和Sn.
(2)求数列12，12+14，12+14+18，…，12+14+…+12n的前n项和Tn.
【变式7-3】（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列an满足a5=9，S11=121，数列bn是单调递增的等比数列且满足b1+b4=9，b2b3=8.
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)记cn=an,n=2k−1,bn,n=2k k∈N∗，求数列cn的前2n项的和S2n.
【变式7-4】（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知正项数列an满足a1=12，an+1+an=2n+1anan+1．
(1)求数列an的通项公式；
(2)求证：a1+a2+⋯+an<118．
不同点
相同点
通项公式
可根据某项的序号n的值，直接代入求出an
都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项
递推公式
可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出an