专题07等比数列的概念与前n项和（考点清单）（含答案） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）学案

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【清单01】等比数列的概念与通项公式
一．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
二．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±eq \r(ab).
三．等比数列的通项公式
等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1.
四．等比数列的性质
1.若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．
特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．
2.在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.
3.数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积．
4.在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1.
5.当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．
【清单02】等比数列的前n项和
一．等比数列的前n项和公式
二．等比数列前n项和的性质
1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．
3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
①在其前2n项中，eq \f(S偶,S奇)＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq \f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．
【考点题型一】等比数列基本量的计算
方法总结：等比数列前n项和运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，eq \f(a1,1－q)都可看作一个整体．
(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
【例1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知等比数列{an}满足an+1=4an，若a4+a5=16，则a3+a4=（ ）
A．12B．1C．4D．8
【变式1-1】（22-23高二上·江苏淮安·期中）设等比数列an的前n项和为Sn，若S3=72,S6=632，则公比q=（ ）
A．4B．−2C．2D．−4
【变式1-2】（22-23高二上·江苏连云港·期中）记Sn为等比数列an的前n项和．若S2=3,S4=12，则S6的值为（ ）
A．24B．48C．39D．36
【变式1-3】（22-23高二下·江苏南京·期中）在等比数列{an}中，已知a1a3=4，a9=256，则a8= .
【变式1-4】（22-23高二上·江苏南通·期中）等比数列an的前n项和为Sn，若a2+S3=0，则公比q= .
【考点题型二】等比数列的通项公式
方法总结：定义法:先根据条件判断该数列是不是等比数列，若是等比数列则又等比数列定义直接求它的通项公式。
【例2】（22-23高二上·江苏南通·期中）等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，数列bn满足b1=14，n≥2时，bn−bn−1=1an，则数列bn的通项公式为（ ）
A．2n−3B．2n−2C．34−12nD．34+2n−3
【变式2-1】（22-23高二上·江苏南通·期中）已知数列an的前n项之和为Sn，满足Sn=2Sn−1n≥2，且a1=1，则n≥2时，an= ．
【变式2-2】（20-21高二上·江苏·期中）设an是正项等比数列，且3a3+2a4=a5，a2=3，则an的通项公式为 .
【变式2-3】（21-22高二上·江苏徐州·期中）
(1)已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1，求数列an的通项公式；
(2)已知数列an中，a1=2,a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1−2Sn+Sn−1=1(n≥2)，求数列an的通项公式．
【变式2-4】（23-24高二下·江苏南京·期中）设an是公差不为0的等差数列，a1=2，a7为a3，a17的等比中项.
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=2n，求数列anbn的前n项和Sn.
【考点题型三】等比数列的前n项和
方法总结：注意:(1)公式的推导方法是错位相减法，即先求前n项和，然后把等式的两边同乘以等比数列的公比，最后等式的左边减左边，右边第一个等式的一项轮空，第二项减去第二个等式的第一项，第一个等式的第三项减去第二个等式的第二项，依次减下去，第一个等式中的最后一项减去第二个等式的倒数第二项，第二个等式的最后一项变成原来的相反数
(2)在求等比数列的前n项和时，一要讨论公比q是否能为 1
【例3】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知数列an是公比为2的等比数列，数列bn是等差数列，a1=b3，a2=b5，a3=b8+1．
(1)求数列an，bn的通项公式；
(2)设cn=an+bn，求数列cn的前n项和Sn．
【变式3-1】（23-24高二下·江苏南京·期中）数列an满足a1=1，an+1=3an+4，n∈N*.
(1)an的通项公式；
(2)bn=(a2n+2)lg3(an+2)，求数列bn的前n项和Tn.
【变式3-2】（22-23高二上·江苏镇江·期中）已知数列an满足：a1=1，nan+1=3n+1an，设bn=ann．
(1)求证：bn是等比数列；
(2)求数列an的通项公式；
(3)求数列an的前n项和Sn．
【变式3-3】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=12,2nSn+1−Sn=n+1an．
(1)求an的通项公式；
(2)求Sn．
【变式3-4】（23-24高二下·江苏南通·期中）已知递增的等比数列an满足a3=4，且a2，a3，a4−2成等差数列．
(1)求an的通项公式：
(2)设bn=2ann为奇数12an−1n为偶数，求数列bn的前2n项和．
【考点题型四】等比数列的证明
方法总结：判断一个数列是等比数列的常用方法
1.定义法：若数列{an}满足eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
2.通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
3.等比中项法：若aeq \\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列．
4.构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．
【例4】（多选）（23-24高二下·江苏南京·期中）设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，an+1=3Sn，n∈N*，则（ ）
A．S2=4B．a6=16a4
C．数列an是等比数列D．数列Sn是等比数列
【变式4-1】（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列an满足an+1=2an+kn，则（ ）
A．当k=0且a1≠0时，an为等比数列
B．当k=1时，an+1为等比数列
C．当k=2时，an2n为等差数列
D．当k=3，且a1=5时，1lg2an−3nlg2an+1−3n+1的前n项和为nn+1
【变式4-2】（多选）（22-23高二上·江苏宿迁·期中）若数列an是等比数列，则下列数列一定是等比数列的有（ ）
A．an2B．an⋅an+1C．an+an+1D．an+1
【变式4-3】（多选）（20-21高二上·江苏南通·期中）设数列{an}前n项和为Sn(n∈N∗)，关于数列{an}有下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若an=an+1(n∈N∗)则{an}既是等差数列又是等比数列
B．若Sn=an2+bn(a,b∈R)，则{an}为等差数列
C．若{an}为等比数列，则Sn,S2n−Sn,S3n−S2n,⋅⋅⋅成等比数列
D．若Sn=1−(−1)n，{an}是等比数列
【变式4-4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an+n−3 (n∈N∗)．
(1)求证：数列an−1是等比数列，并求数列an的通项公式；
(2)设cn=1an−1，数列cn的前n项和为Tn，求证：Tn<2．
【考点题型五】等比数列的性质
方法总结：
1.若数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，
则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
注意：如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比数列的前提是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不为0.
2.等比数列{an}中，若项数为2n，则S奇S偶＝1q；若项数为2n＋1，则eq \f(S奇－a1,S偶)＝q.
【例5】（20-21高二上·江苏扬州·期中）已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若S3=4,S6=12，则S12=（ ）
A．50B．60C．70D．80
【变式5-1】（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）设Sn,Tn分别是等差数列an和等比数列bn的前nn∈N∗项和，下列说法正确的是（ ）
A．若a15+a16>0，a15+a17<0，则使Sn>0的最大正整数n的值为15
B．若Tn=5n+c（c为常数），则必有c=−1
C．S5,S10−S5,S15−S10必为等差数列
D．T5,T10−T5,T15−T10必为等比数列
【变式5-2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）两个等比数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知SnTn=4n2n−1，则a5b5= ．
【变式5-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知Sn是正项等比数列an的前n项和，S4=10，则2S12−3S8+S4的最小值为 .
【变式5-4】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知数列an共有10项，该数列的前5项成等比数列，后6项成等差数列，且a2=4，a6=34，a10=42，则a8−a3= ；数列an所有项的和为 .
【考点题型六】等比数列的单调性
方法总结：等比数列的单调性基本方法：
1a1>0时，
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①公比q>1，单调递增; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②q=1无单调性; = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③02a1<0时，
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①公比q>1，单调递减; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②q=1无单调性; = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③0【例6】（多选）（20-21高二上·江苏无锡·期中）关于递增等比数列an，下列说法不正确的是（ ）
A．当a1>0q>1B．a1>0C．q>1D．anan+1<1
【变式6-1】（20-21高二上·江苏连云港·期中）设an是公比为q的等比数列，q>1，令bn=an+1(n=1,2,⋯)，若数列bn有连续四项在集合−53,−23,19,37,82中，则q值为（ ）
A．−32B．−43C．32D．43
【变式6-2】(多选)（20-21高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且a1>1,a8+a9>a8a9+1>2，记{an}的前n项积为Tn，则下列选项中正确的选项是（ ）
A．q>1B．a8>1C．T16>1D．T17>1
【变式6-3】(多选)（23-24高二上·江苏南通·期中）已知数列an的前n项和为Sn，则以下命题正确的有（ ）．
A．若数列an为等差数列，则2an为等比数列
B．若数列an为等差数列，Sn>0恒成立，则an是严格增数列
C．若数列an为等比数列，则S2023⋅a2023>0恒成立
D．若数列an为等差数列，a1>0，S6=S11，则Sn的最大值在n为8或9时取到
【变式6-4】（20-21高二上·江苏苏州·期中）在①1，an，Sn成等差数列；②递增等比数列an中的项a2，a4是方程x2−10x+9=0的两根；这二个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.
已知数列an和等差数列bn满足__________，且b1=a4，b2=a2−a3，是否存在k3【考点题型七】等比数列实际应用
【例7】（23-24高二上·江苏南通·期中）折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（ ）
A．2−18B．2−28C．28D．18
【变式7-1】（多选）（23-24高二下·江苏盐城·期中）在边长为3的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得∠BEF=15°，再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，使得∠FMN=15°依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第n个正方形的边长为an（其中第1个正方形的边长为a1=AB，第2个正方形的边长为a2=EF，⋯⋯），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为Sn（其中第1个直角三角形AEH的面积为S1，第2个直角三角形EQM的面积为S2，⋯⋯，）则（ ）
A．a2=6B．S1=34
C．数列Sn是公比为63的等比数列D．数列an2的前n项和Tn取值范围9，27
【变式7-2】（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形……如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有511个正方形，且其最大的正方形的边长为1，则其最小正方形的边长为 .
【变式7-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）如图，将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列a1、a2、a5、⋯构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d的等差数列，若a3=6，a69=272，则d= ．
【变式7-4】（23-24高二上·江苏泰州·期中）侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形A1B1C1D1的边长为3，往里第二个正方形为A2B2C2D2,…，往里第n个正方形为AnBnCnDn．那么第7个正方形的周长是 ，至少需要前 个正方形的面积之和超过20．（参考数据：lg2=0.301,lg3=0.477）．
【考点题型八】等比数列恒成立
【例8】（23-24高二上·江苏苏州·期中）设数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an−2n+1，数列bn满足bn=lg2ann+1，其中n∈N∗．则使不等式1+1b2⋅1+1b4⋯⋅1+1b2n≥m⋅b2n+2对任意正整数n都成立的最大实数m的值为 ．
【变式8-1】（20-21高二上·江苏南通·期中）等比数列an的前n项积为Tn，且满足a1>1，a102a103−1>0，a102−1a103−1<0，则使得Tn>1成立的最大自然数n的值为（ ）
A．102B．203
C．204D．205
【变式8-2】（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，
①求数列bn的前n项和Tn；
②若不等式λTn−Sn+2n2≤0对一切n∈N∗恒成立，求实数λ的最大值．
【变式8-3】（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S10=155，a3=8，设数列bn的前n项和为Pn=2n+1−2．
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)设cn=anbn，数列cn的前n项和为Tn，且不等式12Tn>m−2022对任意n∈N∗恒成立，求正整数m的最大值．
【变式8-4】（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知数列an的前n项和记为An，且An=na1+an2，数列bn是公比为q的等比数列，它的前n项和记为Bn．若a1=b1≠0，且存在不小于3的正整数m，k，使得ak=bm．
(1)若a1=1，a3=5，求a2的值；
(2)求证：数列an是等差数列；
(3)若q=2，是否存在正整数m，k，使得Ak=65Bm？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
【考点题型九】等比数列分奇偶
【例9】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列an满足an=n+2,n为偶数2n,n为奇数，若am−1⋅am=am+1(m⩾2)， 则m=（ ）
A．2B．3C．4D．8
【变式9-1】（22-23高二上·江苏南通·期中）已知数列an满足an+2=an+2,n为奇数2an,n为偶数且a1=1，a2=2．
(1)求通项an；
(2)求数列a2n−1⋅a2n的前n项之和Tn．
【变式9-2】（22-23高二上·江苏扬州·期中）在数列an中，a1=2,an+1=4an−3n+1 n∈N∗，bn=an−n.
(1)求证：数列bn是等比数列；
(2)设cn=bn,n为偶数lg2bn,n为奇数，求数列cn的前2n项和S2n.
【变式9-3】（21-22高二上·山东青岛·期中）已知数列an为等差数列，a1=1，a2n=an+n，数列bn为各项均为正数的等比数列，b5−b1=15，b4−b2=6．
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)若cn=an,n为奇数bn,n为偶数，求数列cn的前2n项和S2n．
【变式9-4】（23-24高二下·江苏南通·期中）已知递增的等比数列an满足a3=4，且a2，a3，a4−2成等差数列．
(1)求an的通项公式：
(2)设bn=2ann为奇数12an−1n为偶数，求数列bn的前2n项和．
【考点题型十】等比数列综合考点
【例10】（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知a1=1，a2=1，an=an−1+2an−2+1（n≥3，n∈N∗），Sn为其前n项和，则S60=（ ）
A．230−31B．430−31C．230−30D．430−30
【变式10-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）等比数列an中，a1+a2+a3+a4+a5=3，a12+a22+a32+a42+a52=15，则a1−a2+a3−a4+a5=（ ）
A．−5B．−1C．5D．1
【变式10-1】（多选）（22-23高二上·江苏苏州·期中）数列an满足a1=1，an+1an=12n(n∈N∗)，Sn为数列an的前n项和，则（ ）
A．a2n−1=12n−1B．an+1≤anC．Sn<3D．Sn<32Sn−1
【变式10-2】（23-24高二上·江苏南通·期中）若an是等比数列，且前n项和为Sn=3n+t，则t= .
【变式10-3】（22-23高二上·江苏南通·期中）已知数列an为等差数列，其公差d≠0，若数列an中的部分项组成的数列ak1，ak2，…，akn，…恰为等比数列，其中k1=1，k2=5，k3=17，则k1+k2+⋯+kn= .
【变式10-4】（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知等比数列an的前n项和Sn=λ⋅3n−1−1λ∈R，则a7= .
已知量
首项、公比与项数
首项、公比与末项
求和公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－qn,1－q)q≠1，,na1q＝1))
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1))