重难点32 圆锥曲线中的参数范围及最值问题（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc32183" 【题型1 弦长最值及范围问题】 PAGEREF _Tc32183 \h 2
\l "_Tc16603" 【题型2 离心率的取值范围问题】 PAGEREF _Tc16603 \h 5
\l "_Tc16498" 【题型3 三角形（四边形）面积的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc16498 \h 8
\l "_Tc2261" 【题型4 长度（距离）的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc2261 \h 15
\l "_Tc13223" 【题型5 斜率的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc13223 \h 20
\l "_Tc23286" 【题型6 向量数量积的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc23286 \h 25
\l "_Tc4779" 【题型7 参数的取值范围问题】 PAGEREF _Tc4779 \h 30
1、圆锥曲线中的参数范围及最值问题
圆锥曲线中的参数范围及最值问题是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，此类问题考查频率较高，此类问题一般有长度、距离、面积、数量积、离心率等几何量的范围或最值问题，各类题型都有考查，在解答题中考查时难度较高；复习时要加强此类问题的训练，灵活求解.
【知识点1 圆锥曲线中的最值问题】
1．处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最
值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
2．圆锥曲线中的最值问题的解题思路
(1)建立函数模型，求解函数的值域或最值(切莫忘记定义域的考查)；
(2)构建不等关系.
【注意】若求解长度、距离、面积、数量积、离心率等具有具体几何意思的量的范围或最值问题时，一般可采用函数模型；若求解参量(诸如k、m等)、离心率等范围或最值问题时，一般可采用构造不等关系的方法解决.当然以上的区分并不是绝对的，当一个思路不能解决或不好解决时，应及时切换成另一思路.
【知识点2 圆锥曲线中的参数范围问题】
1．圆锥曲线中的参数范围问题的求解策略：
结合题目条件，构建所求几何量的含参函数，并且进一步找到自变量的范围，进而求出其值域，即所求参数的范围.
【题型1 弦长最值及范围问题】
【例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线C:y=4x2的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．1B．12C．14D．18
【解题思路】联立方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式求解.
【解答过程】由C:y=4x2得x2=14y，F0,116，
由题意可知直线AB的斜率存在，故设其方程为y=kx+116，
联立y=kx+116与x2=14y可得x2−14kx−164=0，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则x1+x2=14k，故y1+y2=kx1+x2+18=14k2+18，
因此|AB|=y1+y2+18=14k2+14≥14，当且仅当k=0时取等号，
故选：C.
【变式1-1】（2024·云南昆明·模拟预测）已知直线l是圆C：x2+y2=1的切线，且l与椭圆E：x23+y2=1交于A，B两点，则|AB|的最大值为（ ）
A．2B．3C．2D．1
【解题思路】由直线与圆相切分析得圆心到直线距离为1，再分类讨论直线斜率是否存在的情况，存在时假设直线方程，进一步联立椭圆方程结合韦达定理得出弦长表达式，最后化简用基本不等式得出结果.
【解答过程】∵直线l是圆C：x2+y2=1的切线，
∴圆心O到直线l的距离为1，
设A(x1,y1)，Bx2,y2，
①当AB⊥x轴时， |AB|=263.
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m.
由已知 |m|1+k2=1 得 m2=k2+1 ．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2−3=0，
.x1+x2=−6km3k2+1,x1x2=3(m2−1)3k2+1
∴|AB|2=(1+k2)(x2−x1)2
=(1+k2)36k2m2(3k2+1)2−12(m2−1)3k2+1
=12(k2+1)(3k2+1−m2)(3k2+1)2=24k2(k2+1)(3k2+1)2=83+8k2−139k4+6k2+1
令t=k2−13(t∈R)
原式=83+8t3t+22=83+89t+4t+12
≤83+829t×4t+12=3
当且仅当9t=4t 即t=±23 时等号成立.
综上所述ABmax=3.
故选：B.
【变式1-2】（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P3,3为椭圆C上一点，且△PF1F2的面积为26．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若倾斜角为π4的直线l与C相交于两个不同的点A,B，求AB的最大值．
【解题思路】（1）借助椭圆上的点的坐标，△PF1F2的面积与a2=b2+c2计算即可得；
（2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与弦长公式计算即可得.
【解答过程】（1）由题意可得3a2+3b2=112×2c×3=26a2=b2+c2，解得a2=12b2=4c2=8，
故椭圆C的标准方程为x212+y24=1；
（2）k=tanπ4=1，故可设lAB:y=x+t，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立x212+y24=1y=x+t，消去y可得4x2+6tx+3t2−12=0，
Δ=36t2−163t2−12=1216−t2>0，即−40的离心率为2.且经过点2,3.
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且OA⋅OB=0（点O为坐标原点），求AB的取值范围.
【解题思路】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程；
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得3k2+3=2m2，根据弦长公式，结合不等式即可求解，
【解答过程】（1）由题意可得4a2−9b2=1a2+b2a2=2，解得a2=1,b2=3，
故双曲线方程为C:x2−y23=1.
（2）当直线l斜率不存在时，可设AxA,yA,BxA,−yA，
则OA=xA,yA,OB=xA,−yA，
将其代入双曲线方程xA2−yA23=1，
又OA⋅OB=xA2−yA2=0，解得yA=±62，
此时AB=2yA=6，
当直线l斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立y=kx+mx2−y23=1⇒3−k2x2−2kmx−m2−3=0，
故3−k2≠0x1+x2=2km3−k2x1x2=−m2−33−k2Δ=4k2m2+12m2+13−k2=12m2−k2+3>0，
则OA⋅OB=x1x2+y1y2=x1x2+kx1+mkx2+m
=1+k2x1x2+kmx1+x2+m2=1+k2−m2−33−k2+km2km3−k2+m2=0，
化简得3k2+3=2m2，此时Δ=6k2+9>0，
所以AB=1+k2x1−x2=1+k2⋅x1+x22−4x1x2
=1+k22km3−k22−4−m2−33−k2 =1+k212m2−k2+33−k22
=6k4+10k2+9k4−6k2+9=61+16k2k4−6k2+9，
当k=0时，此时AB=6，
当k≠0时，此时AB=6⋅1+16k2+9k2−6，
∵3−k2≠0,∴k2+9k2>2k2⋅9k2=6，故16k2+9k2−6>0，
因此AB=6⋅1+16k2+9k2−6>6，
综上可得AB∈6,+∞.
【题型2 离心率的取值范围问题】
【例2】（2024·河南濮阳·模拟预测）点M是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P,Q两点，若△PQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．2−3,1B．5−12,1
C．6−22,1D．6−22,5−12
【解题思路】根据MF⊥x轴可设Mc,y，代入椭圆方程可求得圆M的半径，根据△PMQ为锐角三角形，可构造关于a,c的齐次不等式，进而配凑出离心率e，解不等式即可求得结果.
【解答过程】∵圆M与x轴相切于焦点F，∴MF⊥x轴，可设Mc,y，
∵M在椭圆上，∴c2a2+y2b2=1，解得：y=±b2a，∴圆M的半径为b2a；
作MN⊥y轴，垂足为N，
∵MP=MQ，∴∠PMN=∠NMQ，
∵△PMQ为锐角三角形，∴∠NMQc>22×b2a，
∴ac0)的左、右焦点分别为F1−c,0,F2c,0，抛物线C2：x2=2py(p>0)，椭圆C1与抛物线C2相交于不同的两点A,B，且四边形ABF1F2的外接圆直径为5c2，若b>c，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ）
A．55,22B．22,255C．55,255D．255,1
【解题思路】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，再利用正弦定理求得sin∠F1BF2，再利用椭圆中焦点三角形的性质得到∠F1MF2=θ的取值范围，从而得到关于a,b,c的齐次不等式，解之即可得解.
【解答过程】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点A,B关于y轴对称，
四边形ABF1F2是等腰梯形，易知四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，
设四边形ABF1F2的外接圆半径为R.
在△BF1F2中，由正弦定理，知2csin∠F1BF2=2R=5c2,∴sin∠F1BF2=45，
记椭圆C1的上顶点为M,∠F1MF2=θ，坐标原点为O，
易知∠F1BF2c，则tanθ2=tan∠F1MO=cb