广西南宁市银海三雅学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷

这是一份广西南宁市银海三雅学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题5分）
1.已知复数是纳虚数，则实数（ ）
A.B.C.0D.1
2.某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店都相距akm，而门店A位于门店C的北偏东方向上，门店B位于门店C的北偏西方向上，则门店A、B间的距离为（ ）
A.akmB.kmC.kmD.2akm
3.如图，在平行四边形ABCD中，，，是CD边上一点，且，则（ ）
A.B.C.D.
4.如图，是水平放置的利用斜二侧画法得到的直观图，其中，，则的面积是（ ）
A.12B.C.6D.
5.在中，若，，，则等于（ ）
A.B.或C.D.或
6.已知点，，则与同方向的单位向量为（ ）
A.B.C.D.
7.设，是两个不重合平面，m，l是两条不重合直线，则（ ）
A.若，，则B若，，则
C.若，，，则D.若，，，则
8.在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A.B.C.D.
二、多选题（全答对每小题6分，部分答对得部分分，有答错得0分）
9.人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（ ）
A.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
B.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
C.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大
D.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为20379元
10.已知复数，为z的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A.的虚部为3iB.C.为纯虚数D.在复平面上对应的点在第四象限
11.如图所示在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.直线AM与BN是平行直线B.声线BN与是异面直线
C.直线与AC所成的角为D.平面BMN截正方形所得的截面积
三、填空题（每小题5分）
12.已知平面向量，满足，，，则与的夹角为________
13.有5名学生，其中1名男生4名女生，从这5名学生中随机安排2人参加义务劳动，则男生恰好被安排参加劳动的概率为________
14.钝角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为________
四、解答题
15.（13分）某学校组织“数学文化”知识竞赛，分为初赛和决赛，有400名学生参加知识竞赛的初赛（满分150分），根据初赛成绩依次分为，，，，，这六组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求本次初赛成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）
（2）若计划决赛人数为80，估计参加决赛的最低分数线.
16.（15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足
（1）求角A；
（2），，求的面积.
17.（15分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱PC的中点.
证明：
（1）平面；
（2）平面平面.
18.（17分）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
19.（17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，是边长为2的正三角形：，平面平面ABCD.
（1）求证：；
（2）直线PB与平面APD所成角的正弦值.
（3）求平面APD与平面PCD夹角的余弦值.
南宁市银海三雅学校2024-2025学年度秋季学期
高二年级开学考试数学答案
1.D ，因为为纯虚数且为实数.故故.故选D.
2.C 由题意知km，，由余弦定理得，
所以，即门店A，B间的距离为km.故选C.
3.D 【详解】由题意知，
所以.故选：D.
4.A 根据斜二测两法知为直角三角形，，.故的面积，故选A.
5.D 由题知：，所以，又因为，，所以或.所以或.故选D.
6.A ，所以与同方向的单位向量为.故选A.
7.C 【详解】对A，若，，则或与l异面，故A错误；
对B，若，，则与可能相交、平行或，故B错误；
对C，若，，则，又因为，则，故C正确：
对D，若，，，当m，l都与，的交线平行时，满足题设条件，此时，故D错误.故选：C.
8.D 在中，，，，由余弦定理可得，则，所以，由平面ABC，则，，所以平面PAB，所以，所以为直角三角形，又为直角三角形，所以PC是外接球直径，是PC的中点，即为球心，又，，所以，所以外接球半径为，所以球的体积.故选D.
9.【详解】AC 对于A，由题中折线图知人均可支配收入逐年递增，A正确；
对于B，由題中折线图知，2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出先增后减再增，B错误；
对于C，2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为元，人均消费支出的极差为元，C正确；
对于D，2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为元，D错误.故选：AC
10.BCD 因为，则的虚部为3，，为纯虚数，对应的点在第四象限，故选BCD.
11.BCD A.直线AM与BN是异面直线，故A不正确；B.直线BN与是异面直线，故B正确；C.由条件可知，所以异面直线MN与AC所成的角为，是等边三角形，所以，故C正确；D.如图，延长MN，并分别与和DC交于E，G，连结，交于点，连结，，则四边形即为平面BMN截正方体所得的截面，由对称性可知，四边形是等腰梯形，，，，则梯形的高是，所以梯形的面积，故D正确.故选BCD.
12.解析：因为，则，因为，等式两边同时平方可得，代入，，可得.
设，夹角为，则
由平面向量数量积的定义可得，因为，所以.
13.【详解】记男生为M，4个女生分别记为，，，，
从这5名学生中随机安排2人的所有情况为，，，，，，，，，共10种情况，
其中男生被安排的情况有，，，种情况，
每种情况都是等可能的，
男生恰好被安排参加劳动的概率为.故答案为：
14.【详解】因为，所以由正弦定理得，
又因为，即，所以，又因为为钝角三角形，所以，即为钝角，所以
由，解得，
且，所以根据二次函数单调性求得.
故答案为：.
15.解：由题意有，解得.
本次初赛成绩的平均数为.
（2）因为.所以决赛成绩的最低分为分位数.
前四个矩形的面积之和为，
前五个矩形的面积之和为.
设分位数为，则，解得.
因此，老计划决赛人数为80，估计参加决赛的最低分数线为127.5.
16.解：（1）在三角形ABC中，，由正弦定理得：，化为：.
三角形中，，，解得，，.
（2）由余弦定理得，，，
，化为，
所以三角形ABC的面积
17.（1）取PD的中点，设为，连接EF，AF，，分别是PD，PC的中点，
且，由题意知，，
且，即四边形ABEF为平行四边形，即，
面，面，平面PAD.
（2）底面，底面ABCD，
，，，
，，面，，面PAD，
面，平面平面PAD.
18.【详解】（1）设事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”
事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，则表示“甲赢得比赛”，，表示“乙赢得比赛”，，
，派甲参赛赢得比赛的概率更大.
（2）设表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”，
由（1）知，，
表示“两人中至少有一个赢得比赛”，
所以两人至少一人得比赛的概率为.
19.【详解】（1）
如图，取CD的中点，连接OP，OB，因为是边长为2的正三角形，所以，
在菱形ABCD中，，则为等边三角形，所以，
又，，平面OPB，所以平面OPB，又平面OPB，所以；
（2）（建系方法参考第三问）
（3）
由（1）得，，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，
所以平面ABCD，如图，以点为原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.
因，则，，，
因为轴平面PCD，所以可取平面PCD的法向量为，
因，，
设平面PAD的法向量为，则有，
令，则，，所以，
则，
所以平面APD与平面PCD夹角的余弦值为.