广东省深圳市罗湖外语初中学校2024—2025学年上学期九年级10月月考数学试卷

这是一份广东省深圳市罗湖外语初中学校2024—2025学年上学期九年级10月月考数学试卷，共14页。试卷主要包含了考生务必保持答题卡的整洁，下列条件不能判定的是，已知等内容，欢迎下载使用。

命题审题：初三数学备课组
说明：1．本学科试题从第1页至第4页，共4页。满分100分，考试时间90分钟。
2．答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
3．考生务必保持答题卡的整洁。考试结束时，只交回答题卷，本卷自行保管。
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4cm，3cm，4cm，5cmB．10cm，16cm，5cm，8cm
C．2cm，4cm，6cm，8cmD．9cm，8cm，15cm，10cm
3．初三（1）班周同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教室门，只有A能开门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是（ ）
A．B．C．1D．
4．下列条件不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知、为常数，点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断
6．山西醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶25元降至每瓶16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，四边形是平行四边形，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．B．C．平分D．
8．如图，在中，是的边上的中点，的延长线交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．已知：（、、均不为零），则_______．
10．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是_______．
11．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由此可估计这种树苗移植1200棵，成活的大约有_______棵．
12．如图，在边长为1的正方形网格中，、、、为格点，连接、相交于点，则的长为_______．
13．如图，中，，，点，分别在边，上，且，连接，点是的中点，点是的中点，线段的长为______．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（6分）解方程：
（1）；（2）．
15．（7分）先化简，再求值：，并从-2，2，4中选一个合适的数作为的值代入求值．
16．（8分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，“健美操”、“跳绳”、“剪纸”、“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了_____名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有学生1600人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是_____人；
（3）现选出了3名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和2名女生．要从这3名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
17．（8分）根据背景材料，探索问题．
18．（8分）已知，如图，在中，，是的中线，是的中点，连接并延长到，使，连接、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
19．（12分）定义：我们把有一组邻边相等，并且有一组对角为直角的四边形叫做等补四边形．
（1）如图1，在的网格图中，点A，B，C在格点（小正方形的顶点）上，请画出两个符合条件的等补四边形，点也在格点上．
（2）如图2，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连结．
①求证：四边形是等补四边形．②若，求四边形的面积．
（3）如图3，在四边形中，，，，点在边上，，点在边上，四边形为等补四边形，现已知，求长度。
20．（12分）综合与探究：如图，，点在的平分线上，于点．
（1）【操作判断】如图①，过点作于点，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度；
（2）【问题探究】如图②，点在线段上，连接，过点作交射线于点，求证：；
（3）【拓展延伸】点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，直接写出的值。
九上月考答案
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
ABDCBADC
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．-18.
10．2025.
11．960
12．．
13．．
【分析】如图，作，连接，延长交于，连接，作于．首先证明，，解直角三角形求出，利用三角形中位线定理即可解决问题．
【解答】解：如图，作，连接，延长交于，连接，作于．
，，
，，
（ASA），，，
，，
，，
，
，，
．
故答案为：．
【一题多解，连接对角线，再利用中位线定理也可以】
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）．
，，，
，，；
（2），，
或，
，.
【点评】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的简便的方法是解题的关键.
15.【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再从-2，2，4中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可.
【解答】解：
或-2时，原分式无意义，
，
当时，原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
16．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；条形统计图．
【专题】概率及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）40，条形统计图见解析；
（2）640；
（3）．
【分析】（1）根据扇形统计图与条形统计图的数据关联即可求得；
（2）用样本中该校喜欢跳绳的学生人数的占比即可估计1600人中喜欢跳绳的学生人数；
（3）先用画树状图的方法得到全部等可能性结果数和满足题意的等可能性结果数，然后用概率计算公式计算即得答案．
【解答】解：（1）因为，所以本次共调查了40名学生；
故答案为：40．
剪纸的人数为：人；
条形统计图补充如下：
（2）因为，所以估计该校喜欢跳绳的学生人数约是640，故答案为：640.
（3）画树状图分析如下：
共有6种等可能性结果，刚好抽到1名男生与1名女生的等可能性结果有4种，所以刚好抽到1名男生
与1名女生的概率是．
17．（8分）任务1：（50-x）；．
任务2：．
任务3：②由题意得，第二周单价为每袋降低元，
或．
又第二周最低每袋要盈利5元，
．
．．
第二周的单价每袋应是40．
答：第二周的单价每袋应是40元．
18．【分析】（1）证明（），等，，则，再证明四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）连接，证明四边形是平行四边形，得，再求出，进而由勾股定理得，然后由菱形面积公式列式计算即可．
【解答】（1）证明：是的中点，
，
，，
（），
，，，
，是的中线，
，，
四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，，，
四边形是平行四边形，
，，是中线，
，，，
，
菱形的面积．
【法二：说明菱形面积等于直角三角形面积也可】
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟悉掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
定义：我们把有一组邻边相等，并且有一组对角为直角的四边形叫做等补四边形．
19.【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等补四边形的定义画出图形即可；
（2）①证明，即可；
②如图2中，过点作于点交的延长线于点．证明，推出，，推出四边形是正方形，可得；
（3）如图3中，连接．首先证明四边形是平行四边形，推出，因为四边形是四边形为等补四边形，所以有两种可能：①或．②．分别求解即可．
【解答】（1）解：如图1中，四边形即为所求．
（2）①证明：如图2中，
四边形是菱形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形是等补四边形；
②解：如图2中，过点作于点，交的延长线于点．
，
四边形是矩形，
，
，
，，
（），
，，
四边形是正方形，
；
【补出弦图也可以完成证明，酌情给分】
（3）解：如图3中，连接，.
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是四边形为等补四边形，
有两种可能：①或．②．
当或时，
，，
，，，
垂直平分线段，，
，，，
，
，，，；
当时，如图4中，连接，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，
，
是等腰直角三角形，，，，
设，，则，，，
，，，
，，
，
整理得，，，，
，综上所述，或．
时，或者
（3）
设．
①当时，
②当时，
等腰直角
（负值舍去）
综上，或
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等补四边形的定义，菱形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
20．【分析】（1）依题意画出图形，证四边形是矩形即可求解；
（2）过作于点，证矩形是正方形，得出，再证，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可证明；
（3）分在线段上和的延长线上讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【解答】（1）解：如图，即为所求．
，，，
四边形是矩形，，
故答案为：90．
（2）证明：如图，过作于点．
由（1）知四边形是矩形，
点在的平分线上，，，
，矩形是正方形，
，，
，，
又，，
，，
，
．
（3）①当在线段上时，如图，延长、交于点．
由（2）知，
设，则，．
，
，，
，
，，
，
，，；
②当在的延长线上时，如图，过作于，并延长交于．
由（2）知，四边形是正方形，
，，，
，
又，，
，，
，
，，，
，，
，即，
，，
，，
，；
综上，的值为或．
【点评】本题考查了四边形综合，同时考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键．
聪明果销售价格的探究
素材1
校附近超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的聪明果，第一周以每袋50元的价格销售了150袋.
素材2
第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理决定让利顾客，打算降价销售，据调查发现：每袋聪明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，但最低每袋要盈利5元。
解决问题
任务1
（1）若设第二周单价为每袋降低x元，则第二周的单价每袋______元，销量是______袋；
任务2
（2）经两周后还剩余聪明果______袋.（用x的代数式表示）：
（3）若该超市想通过销售这批聪明果在两周内获利5500元，那么第二周的单价每袋应是多少元？