精品解析：广西南宁市高新区民大中学2023-2024学年九年级上学期开学考数学试题

这是一份精品解析：广西南宁市高新区民大中学2023-2024学年九年级上学期开学考数学试题，文件包含精品解析广西南宁市高新区民大中学2023-2024学年九年级上学期开学考数学试题原卷版docx、精品解析广西南宁市高新区民大中学2023-2024学年九年级上学期开学考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
一、选择题：（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符题意；
B、，则此项不是最简二次根式，不符题意；
C、是最简二次根式，则此项符合题意；
D、，则此项不是最简二次根式，不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2. 以下列各组数为边长能构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6B. 3，4，5C. 2，3，4D. 6，8，11
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3. 下列学生喜欢的手机应用软件图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
4. 一次函数的图像不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的性质即可得出答案．
【详解】解：∵中，，，
∴图像过第一、二、四象限，
∴图像不过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，属于基础题．
5. 如图，矩形的对角线相交于点O，点E是的中点，若，则BC的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得，从而得到是的中位线，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
6. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查函数定义，根据“在一定变化过程中，有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一一个y值与之对应，那么y是x的函数，”进行判断即可．
【详解】解：A、图象中，对于每一个x，都有唯一一个y值与之对应，是函数图象；
B、图象中，对于每一个x，都有唯一一个y值与之对应，是函数图象；
C、图象中，对于每一个x，不止有一个y值与之对应，不是函数图象；
D、图象中，对于每一个x，都有唯一一个y值与之对应，是函数图象；
故选：C．
7. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据每次降价的百分率相同，得到第一次降价后为元，第二次降价后为，再结合题意解题即可．
【详解】解：根据题意，设平均每次降价的百分率为x，可列方程
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用增长率问题，是重要考点，难度较易，掌握相关是解题关键．
8. 如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由菱形的性质可得，，，，由线段垂直平分线的性质可得，可求，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
四边形是菱形，，
，，，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
9. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. 且B. C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义、一元二次方程的根与判别式的关系，根据一元二次方程的定义可得，再根据方程有两个根可得，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，且，
∴，且，
故选：D．
10. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ jiā）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（ ）
A. 10尺B. 11尺C. 12尺D. 13尺
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可.
【详解】设水池里的水深为x尺，由题意得：
解得：x=12
故选：C.
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的关键.
11. 如图，在中，，点P从点A出发，沿三角形的边以的速度逆时针运动一周，图2是点P运动时，线段的长度随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图2中P点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查动点问题的函数图象、直角三角形的性质，图2中的图象有三段，正好对应图1中的线段、、，可得，，当时，点P是的中点，根据直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：由图象可得，，，
当时，即点P运动了13秒，
此时，点P在上，则，
即点P是的中点，
∵，
∴，
∴点P坐标为，
故选：B．
12. 已知二次函数的图象如图所示，在下列5个结论：①；②；③；④；⑤的实数），其中正确的结论有（ ）

A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图像与性质逐项判断即可．
【详解】解：开口向下，；对称轴在轴的右侧，、异号，则；抛物线与轴的交点在轴的上方，，则，所以①不正确；
当时图象在轴下方，则，即，所以②不正确；
对称轴为直线，则时图象在轴上方，则，所以③正确；
，则，而，则，，所以④正确；
开口向下，当，有最大值；当时，，则，即，所以⑤错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和系数的关系．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 若二次根式有意义，则x的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．
【详解】解：根据二次根式的意义得，
2x－2≥0，解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确理解二次根式的意义是解题的关键．
14. 点关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的特征，利用关于原点对称的点的坐标的特征，即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
15. 抛物线的顶点坐标 _____．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据抛物线的顶点式即可得．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴它的顶点坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，熟练掌握抛物线的顶点式是解题关键．
16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度．
【答案】22.5°
【解析】
【详解】四边形ABCD是矩形，
AC=BD，OA=OC，OB=OD，
OA=OB═OC，
∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∠EAC=2∠CAD，
∠EAO=∠AOE，
AE⊥BD，
∠AEO=90°，
∠AOE=45°，
∠OAB=∠OBA=675°，
即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．
17. 如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是______．
【答案】或
【解析】
【分析】由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为（-1，0），又＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）
而对称轴x＝1
∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）
当＞0时，图象在x轴上方
此时x＜﹣1或x＞3
故答案为x＜﹣1或x＞3．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
18. 在平面直角坐标系中，点、、、…在x轴的正半轴上，点、、…在直线上，若点的坐标为，且、、…均为等边三角形，则点的纵坐标为____________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作轴，交直线于点M，过点作于点C，取的中点N，连接，先求出，再根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定可得，利用直角三角形的性质和勾股定理可得的长，即可得点的坐标，同理可得点、、的坐标，最后归纳出一般规律即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴，交直线于点M，过点作于点C，取的中点N，连接，
∵，
∴，
当时，，
即，
∴，
∴，
∵点N是的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即点的纵坐标为
同理可得，点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
由此规律得，点的纵坐标（n为正整数），
则点的纵坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字变化类、等边三角形的性质、一次函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，归纳总结得点的纵坐标（n为正整数）是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂进行计算即可求解．
详解】解：原式＝
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂是解题的关键．
20. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解法进行求解即可．
【详解】解：移项得，，
配方得，，即，
开平方得，，
解得，，
∴，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（3，4），B（1，2），C（5，3）
（1）将△ABC平移，使得点A的对应点A1的坐标为（﹣2，4），在所给图的坐标系中画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1，并直接写出A2，B2的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意可得：将△ABC向左平移5个单位，得到△A1B1C1，从而得到平移后点B（1，2），C（5，3）的对应点分别为 ，再顺次连接，即可求解；
（2）将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后，点的对应点分别为，即可求解．
【详解】解：（1）∵平移后点A（3，4）的对应点A1的坐标为（﹣2，4），
∴将△ABC向左平移5个单位，得到△A1B1C1，
∴平移后点B（1，2），C（5，3）的对应点分别为 ，
画出图形，如下图所示，△A1B1C1即所求；
（2）∵将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，
∴点的对应点分别为，
画出图形，如图所示，△A2B2C1即为所求．
【点睛】本题主要考查了图形的变换——平移和旋转，根据题意，准确得到图形变换后对应点的坐标是解题的关键．
22. 某水果公司以10元/的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：）如下：4.7，4.8，4.6，4.5，4.8，4.9，4.8，4.7，4.8，4.7，4.8，4.9，4.7，4.8，4.5，4.7，4.7，4.9，4.7，5.0．
整理数据：
分析数据：
（1）____________，____________，____________；
（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？
（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？
【答案】（1）6，4.7，4.75
（2）见解析 （3）10.7元
【解析】
【分析】本题考查平均数、众数和中位数的定义，（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）从平均数、中位数、众数中，任选一个计算即可；
（3）求出成本，根据（2）的结果计算即可．
【小问1详解】
解：解：，
在样本中，4.7出现的次数最多，
∴众数，
将这组数据按照从小到大的顺序排列，处于最中间的两个数分别是4.7，4.8，
∴中位数，
故答案为：6，4.7，4.75；
【小问2详解】
解：选择众数4.7，
这2000箱荔枝共损坏了（答案不唯一）；
【小问3详解】
解：（元），
答：该公司销售这批荔枝每千克定为10.7元才不亏本．
23. 如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由四边形和四边形是正方形，可得，，，从而得到，然后利用即可证明结论；
（2）由（1）则可得，，再根据正方形的性质求出的长，然后在中，利用勾股定理可得的长，进而求得的长．
【小问1详解】
解：
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
在和中，，，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，与交于点O，
由（1）得：
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
24. 为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：（单位：吨）
（1）求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？
（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每吨运费降低m元，（且m为整数），按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元，求m的最小值．
【答案】（1）200吨，300吨；（2），甲厂200吨全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；（3）10．
【解析】
【分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可；
（2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；
（3）根据题意以及（2）的结论可得y=-4x+11000-500m，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．
【详解】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨；
则
解得：
答：这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；
（2）如图，甲、乙两厂调往两地的数量如下：
当x=240时运费最小
所以总运费的方案是：甲厂200吨全部运往B地；乙厂运往A地240吨，运往B地60吨．
(3)由（2）知：
当x=240时， ，
所以m的最小值为10．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解．
25. 如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相等的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设在距桥塔水平距离为x（单位：m）的地点，主索距桥面的竖直高度为y（单位：m），则y与x之间近似满足函数关系
小石通过测量获得y与x的几组数据如下：
根据上述数据，解决以下问题
（1）主索最低点P与桥面的距离为___________m
（2）求出主索抛物线的解析式；
（3）若与点P水平距离为处，有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据可求得对称轴为，即，此时表格中对应的的值为，即可得米
（2）根据（1）所求结果，即可得，再将点代入抛物线解析式求得的值，即可求得抛物线的解析式
（3）与点P水平距离为处的点的横坐标为，将横坐标代入抛物线解析式即可求得吊索的长度
【小问1详解】
∵根据表格中的数据，抛物线的对称轴为，
∴，此时表格中对应的的值为，
∴
【小问2详解】
∵由（1）可知：，，
∴，
∴将点代入抛物线解析式得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：
【小问3详解】
与点P水平距离为处的点的横坐标为，
将横坐标代入抛物线的解析式得：
，
∴这两条吊索的总长度为：
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答
26. 综合与实践：
问题背景：在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究，下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题，如图，，其中，，，．
操作与发现：
（1）如图，创新小组将两张三角形纸片按如图所示的方式放置后，经过观察发现四边形是矩形，请你证明这个结论．
操作与探究：
（2）创新小组在图的基础上，将纸片沿方向平移至如图的位置，其中点与的中点重合，连接，，经过探究后发现四边形是菱形，请你证明这个结论．
（3）创新小组在图的基础上又进行了探究，将纸片绕点逆时针旋转至与平行的位置，如图所示，连接，，创新小组经过观与推理后发现四边形是矩形，请你证明这个结论．
提出问题：
（4）请你参照以上操作，在图的基础上，通过平移或旋转构造出的图形，在图中画出这个图形，标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、菱形的知识、矩形的知识，解（1）的关键是判断四边形是平行四边形；解（2）的关键是判断出；解（3）的关键是判断出是等边三角形；（4）画出图形是解答关键．
（1）利用平行四边形的判断方法先判断出四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）先求出，再判断出四边形是平行四边形，进而判断出，即可得出结论；
（3）先求出，进而判断出是等边三角形，即可判断出四边形是平行四边形，即可得出结论；
（4）把平移的长度可得到四边形为平行四边形．
【详解】（1）证明：，
，，
在四边形中，，，
四边形是平行四边形，
，
∴平行四边形是矩形；
（2）证明：在中，，
，
与平移可知，，，
四边形平行四边形，
，，
，
点与的中点重合，，
，
，
在平行四边形中，，
平行四边形是菱形；
（3）证明：在中，，
，点是中点，，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
在四边形中，，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（4）解：构图方法：
如图所示，将向下平移的长度，得到四边形为平行四边形．理由如下，
由平移可得：，，
四边形为平行四边形．
质量（）
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
数量（箱）
2
1
7
a
3
1
平均数
众数
中位数
4.75
b
c
x（m）
0
4
8
24
32
40
48
64
y（m）
18
14.25
11
3
2
3
6
18