南宁三中国际学校2023-2024学年九年级上学期开学学情调查数学试题（解析版）

这是一份南宁三中国际学校2023-2024学年九年级上学期开学学情调查数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，不能使用计算器等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．
2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解∶A、分母含未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，根据此概念即可完成求解．
【详解】解：∵，，，
∴是最简二次根式，
故 选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式，二次根式的化简，熟悉最简二次根式的概念是解题的关键．
3. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的定义逐项进行判定解答即可．
【详解】解：A、每取一个x， y都有唯一的一个值与之对应，所以 y是x的函数，故此选项符合题意；
B、存在一个x值， y有两个值与之对应，所以y不是x的函数，故此选项不符合题意；
C、存在一个x值， y有两个值与之对应，所以y不是x的函数，故此选项不符合题意；
D、存在一个x值， y有两个值与之对应，所以y不是x的函数，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是函数的概念，掌握在一个变化过程中，有两个变量x、y，若x取一个值，y都有唯一的一个值与之对应，则y是x的函数是解题的关键．
4. 在中，，则的度数为( )
A 158°B. 148°C. 58°D. 32°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质：邻角互补即可求出的度数．
【详解】四边形是平行四边形，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等．
5. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6B. 2，3，4C. 11，12，13D. 8，15，17
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．分别求出各选项中两个较小的数的平方和和最大数的平方即可判断．
【详解】解：A、∵42+52≠62，
∴以4、5、6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵22+32≠42，
∴以2、3、4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵112+122≠132，
∴以11、12、13为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵82+152=172，
∴8、15、17为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：根据两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
6. 如图，在中，，，点是的中点，则的长为（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的性质．利用勾股定理可得，结合直角三角形的性质，即可得出答案．
【详解】解：，，，
，
是的中点，
则．
故选：C．
7. 某学校为培养学生的节约意识，在暑期开展了“节约用水，从我做起”的主题活动，开学后从七年级300名学生中选出20名学生统计各自家庭一个月的节水情况，结果如下表：
则这组数据众数是（ ）
A. 0.2B. 4C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数的定义，结合表格信息即可得出答案．
【详解】解：由表格可知：出现次数最多，共出现了8次，
故众数为，
故 选：C．
【点睛】本题主要考查众数，解题的关键是熟练掌握众数的定义．
8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程有实数根求参数以及解一元一次不等式，根据即可求出m的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：．
故选∶B．
9. 一次函数的图象如图所示，则（ ）

A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以得到，，然后即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：由图象可得，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
10. 淄博烧烤火爆出圈，各地游客纷纷“进淄赶烤”．某烧烤店5月1日收入约为5万元，之后两天的收入按相同的增长率增长，5月3日收入约为9.8万元，若设每天的增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用增长率问题列一元二次方程解题即可．
【详解】根据题意列方程为：，
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程解增长率问题，正确读懂题意列方程是解题的关键．
11. 如图1，挂在弹簧测力计上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧测力计使铁块匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），则以下物理量：铁块受到的浮力、弹簧测力计读数，容器底部受到的液体压强、水面高度，其中两个量与时间t之间的关系大致可以用图2、图3中的图象来描述，那么对图2、图3的解读正确的是（ ）
A. 图2表示弹簧测力计的读数和时间的函数图象
B. 图2表示容器底部受到的液体压强和时间的函数图象
C. 图2表示水面高度和时间的函数图象
D. 图3表示铁块受到的浮力和时间的函数图象
【答案】A
【解析】
【分析】铁块露出水面以前，，浮力不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，当铁块完全露出水面后，浮力为0；弹簧测力计读数为：开始一段的铁块在空气中的重量保持不变，当铁块进入水中的过程中，重量逐渐减小，直到全部进入水中，重量保持不变．
【详解】解：铁块露出水面以前，，浮力不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，当铁块完全露出水面后，浮力为0；
弹簧测力计读数为：铁块露出水面以前，，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，故图2表示弹簧测力计的读数和时间的函数图象．
故选：．
【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答．
12. 如图，点E，F在正方形内部且，，已知，，，则正方形的边长（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点C作，交延长线于点H，结合，，判定四边形是矩形，得到，，利用勾股定理和正方形的性质计算即可．
【详解】过点C作，交延长线于点H，
∵，，
∴四边形是矩形，

∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 要使二次根式有意义，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
根据被开方数是非负数列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，
∴．
故答案为：．
14. 关于x的一元二次方程的两根之和为______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用根与系数的关系进行求值．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握．
15. 甲、乙两地6月上旬的日平均气温如图所示，则这两地中6月上旬日平均气温的方差较小的是_____．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【解析】
【分析】根据气温统计图可知：乙的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小．
【详解】观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；
则乙地的日平均气温的方差小，
故S2甲＞S2乙．
故答案是：乙．
【点睛】考查方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
16. 已知函数的图象经过点，点，则______（填“＞”或“＜”或“＝”）．
【答案】＞
【解析】
【分析】根据函数的增减性，比较两个点的坐标中横坐标的大小即可确定两个y值的大小．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征和函数的增减性，熟练掌握“当时，y随x的增大而增大”是解决问题的关键．
17. 如图，一扇卷闸门用一块宽18cm，长80cm的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起_____cm高．
【答案】82
【解析】
【详解】试题解析：设长方形的长为a，宽为b，对角线的长度为c，
∵a=80cm，b=18cm，
故最多可将这扇卷闸门撑起82cm.
故答案为
18. 如图，已知四边形为菱形，，，为对角线，为边上一动点，且交于点，连接，，为的中点，连接．则点在运动过程中，的最小值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质．延长到，使，连接，，延长交于，先证为等边三角形，得，进而可得，则，据此可得到无论点在上如何运动，始终有，由此得，然后再根据三角形的中位线定理得当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，据此求出的长，即可得出答案．
【详解】解：延长使，连接，，延长交于，如图所示：
已知四边形为菱形，，，
为等边三角形，
，
为对角线，为边上一动点，且交于点，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
无论点在上如何运动，始终有，即，
∵，即，
，
点为的中点，
由作图可知，
为的中位线，
，
当为最小时，为最小，
当时，即当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，
在中，，，
，
，
的最小值为6，
的最小值为3．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘方的定义、绝对值的意义分别运算，再合并即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
．
20. 解方程：．
【答案】或
【解析】
【分析】由十字相乘法即可求出答案．
【详解】解：，
，
或，
或．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，灵活运用解一元二次方程的方法是解题的关键．
21. 如图，菱形的对角线，相交于点．
（1）证明：
（2）求作，使，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定、菱形的性质和平行四边形的性质．
（1）根据菱形的性质得到，，然后根据“”可得到结论；
（2）分别以、点为圆心，、为半径画弧，两弧相交于点，则四边形为平行四边形．
【小问1详解】
证明：四边形为菱形，
，，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：如图，四边形为所作．
．
22. 综合与实践
【问题情境】
南宁是广西种植火龙果面积最大产量最多的区域．火龙果性甘平，营养成分丰富，包括蛋白质、酶、膳食纤维、维生素B2、维生素B3、维生素C等，果核内更含有高浓度天然色素花青素（尤以红肉为最）．某学校数学兴趣小组为了解①号、②号两个品种火龙果产量情况．
【实践发现】在某火龙果果园种植基地各随机抽取25株①号、②号两个品种火龙果调查（每株火龙果每年所结的火龙果个数用a表示，共分为三个等级：不合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
①号品种25株果树所结火龙果个数分别为：36，47，68，82，27，27，35，46，55，48，48，57，66，57，66，58，61，75，36，57，71，47，46，71，38
②号品种25株果树所结火龙果个数处于“良好”等级包含的所有数据为：
64，54，51，62，54，63，51，63，64，54
【实践探究】
抽取的①号、②号品种火龙果树所结火龙果个数的统计表
抽取的②号品种每株果树所结火龙果个数扇形统计图

（1）【问题解决】填空：x＝______，y＝______，m＝______．
（2）请用统计数据分析哪个品种的火龙果产量比较稳定，并说明理由；
（3）根据以上数据，你认为应建议果农选择哪个品种种植？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）54，28，40
（2）①号 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数、优秀率的概念可求出、的值，求出②号25株果树所结火龙果个数处于“良好”等级占，“优秀”等级所占百分比为，可求出的值；
（2）先求出两个基地属于“优秀”等级的果树，再相加即可得答案；
（3）比较①号、②号两个品种每株果树所结火龙果个数的平均数、众数或中位数或方差或优秀率可得答案．
【小问1详解】
解：②号25株果树所结火龙果个数处于“优秀”等级所占百分比为，
“优秀”等级个数为：（个）．
将②号25株果树所结火龙果个数处于“良好”等级包含的所有数据按从大到小的顺序排列为：
64，64，63，63，62，54，54，54，51，51，
中位数；
①号25株果树所结火龙果个数中，优秀的有7个，
，
．
②号25株果树所结火龙果个数处于“良好”等级占，“优秀”等级所占百分比为，
“不合格”等级占，即．
故答案为：54，28，40；
【小问2详解】
∵①号品种对应方差为，②号品种对应方差为，
，
∴①号品种火龙果产量比较稳定；
【小问3详解】
果农选择①号品种种植，理由如下：
在平均数都是53的情况下，①号品种火龙果个数的众数大于②号品种火龙果个数的众数（理由不唯一）．
【点睛】本题考查了频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差，解决本题的关键是综合运用以上知识．
23. 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长；
（2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由．
【答案】（1）边AB的长为15米；（2）羊圈的总面积不能为500平方米，理由见详解
【解析】
【分析】（1）设AB=x米，则有，然后根据矩形面积公式可列出方程求解；
（2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：（1）设AB=x米，由题意可得：，
∴，
解得：，
∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时，，
∴，
答：边AB的长为15米；
（2）由（1）可得：，
化简得：，
∴，
∴羊圈的总面积不能为500平方米．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
24. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为120cm），得到下表：
（1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间x（h）．纵轴表示箭尺读数y（cm），描出以表格中数据为坐标的各点，并连线；
（2）观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的______函数（填“正比例”或“一次”），并求出所对应的函数解析式；
（3）应用上述得到的规律计算：①供水时间达到11h时，箭尺的读数为多少cm？②如果本次实验记录的开始时间是上午7：00，那么当箭尺读数为90cm时是几点钟？
【答案】（1）见解析 （2）一次，y＝6x＋6；
（3）①箭尺的读数为72cm；②当箭尺读数为90cm时是21：00．
【解析】
【分析】（1）由表格描点，连线即可；
（2）根据函数图象可得是一次函数，用待定系数法可求出函数关系式；
（3）①将x＝11代入函数解析式求出y即可；
②求出y＝90时x的值，然后计算即可．
【小问1详解】
解：描出以表格中数据为坐标的各点，并连线，如图：
【小问2详解】
解：观察图象可知，它是我们学过的一次函数，
设所对应的函数解析式是y＝kx＋b（k≠0），
将（0，6），（2，18）代入得：，
解得：，
∴所对应的函数解析式是y＝6x＋6；
故答案为：一次；
【小问3详解】
解：①当x＝11时，y＝6×11＋6＝72，
所以供水时间达到11h时，箭尺的读数为72cm；
②当y＝90时，即6x＋6＝90，
解得：x＝14，
即经过14h，箭尺读数为90cm，
∵本次实验记录的开始时间是上午7：00，
∴当箭尺读数为90cm时是21：00．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式．
25. 阅读材料∶
新定义：任意两数α、b，按规定 得到一个新数c，称所得新数c为数a、b的“快乐返校学习数”．
（1）若，，求a，b的“快乐返校学习数”c；
（2）若，且，求a，b的“快乐返校学习数”c；
（3）若，，且a，b的“快乐返校学习数”c为正整数，求整数n的值是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值，明确题意，利用题中的新定义是解题的关键．
（1）把，代入式子求出答案；
（2）把代入化简求解即可；
（3）根据题意和题目中的定义，求出答案即可．
【小问1详解】
解：，，
；
【小问2详解】
解：，
两边同时除以，
得，
，
，
，
，
故a，b的“快乐返校学习数”是；
【小问3详解】
解：把，代入，
c为正整数，为整数，
或，
故整数的值为或．
26. 已知直线：分别与轴、轴交于两点，点在轴上．

（1）当时，
①求点的坐标；
②点在直线上，且，若，求点的坐标；
（2）设是直线上的定点，直线交轴于点，若轴上存在点，使四边形为平行四边形，求的值．
【答案】（1）①点的坐标分别为，；②点的坐标为
（2）16
【解析】
【分析】（1）当时，，①分别令和，进行计算即可得到点的坐标；②设点的坐标为，分三种情况：当点在第一象限时；当点在第四象限时；当点在第二象限时，分别进行计算求解，即可得到答案；
（3）连接交轴于点，过点作轴于点，由题意可得点坐标为， 直线与轴交于点，与轴交于点，根据平行四边形的性质可得，通过证明可得，，从而得到，设点的坐标为，则，从而得到点的坐标，有待定系数法可求出直线的解析式，从而得到点的坐标，最后进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：当时，直线的解析式为，
①当时，；当时，，则，
∴点的坐标分别为，，
②设点的坐标为，
当点在第一象限时，
，
，点的坐标分别为，，
，， ，
，，
∵，
∴，
解得：，
点的坐标为；
当点第四象限时，
，
，点的坐标分别为，，
，， ，
，，
∵，
∴，
解得：，
点的坐标为；
当点在第二象限时，
，
，，
，
∴不存在，
综上所述点的坐标为或；
【小问2详解】
解：如图，连接交轴于点，过点作轴于点，
，
∵是直线上的定点，
∴点坐标为， 直线与轴交于点，与轴交于点，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
，
，
∴，，
∴，，
∵，
∴点在轴的负半轴，
∴，
设点的坐标为，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
根据，可求出直线的解析式为：，
∴直线与轴交于点，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形面积的计算，熟练掌握一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，采用数形结合的思想解题，是解本题的关键．
节水量
家庭数个
2
4
4
8
2
品种
平均数
众数
中位数
方差
“优秀”等级所占百分比
①号
53
57
55
②号
53
54
x
供水时间x（h）
0
2
4
6
8
箭尺读数y（cm）
6
18
30
42
54