精品解析：广西壮族自治区南宁市青秀区第二中学2023-2024学年九年级上学期开学考数学试题

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1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下面四个手机应用图标中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】中心对称图形的定义：如果把一个图形绕着一个定点旋转后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此定义即可判断．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
【点睛】此题考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2. 用求根公式计算方程的根，公式中b的值为( )
A. 3B. -3C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义来解答：二次项系数是a、一次项系数是b、常数项是c．
【详解】解：由方程根据一元二次方程的定义，知一次项系数b=-3，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的定义，关键是往往把一次项系数-3误认为3，所以，在解答时要注意这一点．
3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
4. 下列说法错误的是（ ）
A. 必然事件发生的概率是1
B. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C. 概率很小的事件不可能发生
D. 投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得
【答案】C
【解析】
【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1
【详解】A、必然事件发生的概率是1，正确；
B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确；
C、概率很小的事件也有可能发生，故错误；
D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确，
故选C．
【点睛】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：0≤p≤1，其中必然发生的事件的概率P(A)＝1；不可能发生事件的概率P(A)＝0；随机事件，发生的概率大于0并且小于1.事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0.
5. 在平面直角坐标系中，函数的图象不经过的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限
【详解】∵由已知，得：，
∴图象经过第一、二、四象限，
∴必不经过第三象限．
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．
6. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. y=3x-1B. y=ax2+bx+cC. s=2t2-2t+1D. y=x2+
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
B、y=ax2+bx+c，当时，不是二次函数，不符合题意；
C、s=2t2-2t+1是二次函数，符合题意；
D、y=x2+ 中不是整式，故y=x2+ 不是二次函数，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．
7. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9.2环，方差分别为，则成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】，
成绩最稳定的为丁．
故选D．
【点睛】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分别比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8. 如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A. 1米B. 米
C. 2米D. 4米
【答案】A
【解析】
【分析】如图（见解析），过点C作于点F，先利用勾股定理求出AF的长，再根据线段的和差即可得．
【详解】如图，过点C作于点F，则米，
由题意得：米，
在中，由勾股定理得：（米），
则（米），
即木马上升的高度为1米，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段的和差，熟练掌握勾股定理是解题关键．
9. 某机械厂一月份生产零件50万个，第一季度生产零件200万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】一般增长后的量增长前的量×（1+增长率），如果该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示二、三月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【详解】解：依题意得二、三月份的产量为、，
．
故选：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．
10. 如图，在菱形中，点E是边上一点，，连接．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的性质得，，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：四边形是菱形，
，，
，，
，，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
11. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，之后只出水不进水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图．则下列说法正确的是（ ）

A. 进水管每分钟的进水量为B. 当时，
C. 出水管每分钟的出水量为 D. 水量为的时间为或
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象所给的信息分别求出出水口的放水速度，进水口的进水速度，进而求出对应时间段的函数关系式，由此逐一分析即可．
【详解】解：由函数图象可知进水管每分钟的进水量为，故A说法错误，不符合题意；
∵当时，一共进水，
∴当时，实际进水的速度为，
∴当时，，故B说法错误，不符合题意；
出水管每分钟的出水量为，故C说法错误，不符合题意；
∴在只放水阶段的函数关系式为，
在前内，当时，则；
在中，当时，则，
∴水量为的时间为或，故D说法正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，求函数关系式，正确读懂函数图象是解题的关键．
12. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到求得根据三角形的面积公式即可得到结论.
【详解】连接,

∵四边形是矩形,
∴,,
∵ ,
，
，

，
，
故选: C.
【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：由题意得，
．
故答案为：．
14. 如图，在一次实践活动课上，小明为了测量池塘B，C两点间的距离，他先在池塘的一侧选定一点A，然后测量出，的中点D，E，且米，于是可以计算出池塘B，C两点间的距离是______米．

【答案】20
【解析】
【分析】根据三角形中位线的性质求解．
【详解】解： D，E是，的中点，
是的中位线，
，
，
故答案为：20．
【点睛】本题考查三角形中位线的实际应用，解题的关键是掌握三角形中位线的性质．三角形中位线平行于第三边且等于第三边长度的一半．
15. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式用顶点式表示是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”直接写出平移后的抛物线解析式即可．
【详解】平移后抛物线的解析式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，掌握函数图象平移规律是解题的关键．
16. 如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是_____．
【答案】x＞3
【解析】
【详解】∵直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），
∴由图象可得，当x＞3时，x+b＞kx+6，
即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3．
故答案为：x＞3
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
17. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右可估计点落入白色部分的概率为，再乘以正方形的面积即可得出答案．
【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
∴估计点落入白色部分的概率为，
∴估计白色部分的总面积约为，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
18. 在平面直角坐标系中，已知二次函数为常数，，若对于任意的满足，且此时所对应的函数值的最小值为，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴与开口方向分类讨论顶点为图象最低点或直线与抛物线交点为最低点，进而求解．
【详解】解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
当，即时，
，方程无解．
当，即时，
将代入得，
令，
解得（舍去）或，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，能利用分类讨论思想解答．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先计算乘法运算，化简绝对值，再合并即可．
【详解】解：原式＝
＝．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，二次根式的加减运算，化简绝对值，熟记运算法则是解本题的关键．
20. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】利用公式法即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系，的三个顶点坐标分别为，，．

（1）把向左平移5个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的，并写出坐标．
（2）画出绕原点O按顺时针方向旋转后的图形，并写出的坐标．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析，
【解析】
【分析】根据平移变换的性质找出对应点即可求解;
根据旋转变换的性质找出对应点即可得出图形以及点的坐标.
【小问1详解】
如图所示,即为所求,；
【小问2详解】
如图所示,, 即为所求,．
【点睛】本题考查了平移变换的性质，旋转变换的性质，熟练掌握平移变换的性质与旋转变换的性质是解题的关键.
22. 如图，菱形ABCD的对角线相交于O点，DEAC，CEBD．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若AD =5，BD =8，计算DE的值．
【答案】（1）证明见解析； （2）3
【解析】
【分析】（1）首先证明四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的性质可得AC⊥BD，进而得到四边形OCED是矩形；
（2）首先根据菱形的性质可得，OC=OA，AD=CD，然后再根据勾股定理可计算出结果．
【小问1详解】
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形OCED是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形ABCD菱形，BD=8，
∴，OC=OA，AD=CD，
∵AD=5，
∴OC=，
∵四边形OCED是矩形，
∴DE=OC=3．
【点睛】题目主要考查菱形的性质及矩形的判定和性质，勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
23. 文化是一种精神力量，为了传承中国传统文化，某校以“寻根国学，传承文明”为主题开展国学知识挑战赛，比赛过程分两个环节进行．
环节一：评委对参赛选手答卷中的写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙这四项按照每项100分进行阅卷评分，后再按照权重比例100分制计入总分；
环节二：参赛选手在成语听写、诗词对句、经典诵读三项中随机抽取两项进行答题，评委按照每项100分进行评分，后各占计入总分．
1号参赛选手的答卷评分如图表①所示，10位参赛选手答卷中“国学常识”的评分如图表②所示．
图表1

（1）图表②中10个“国学常识”成绩，众数是______，中位数是______；
（2）如果写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙的成绩按计算，请根据图表①计算1号参赛选手在第一环节中的得分．
（3）小明同学在环节二中，随机抽取了两项进行答题，请用树状图或列表法，求小明同学抽到“成语听写”和“经典诵读”的概率．
【答案】（1）90，
（2）86.5分 （3）
【解析】
【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解；
（2）根据加权平均数的算法求解；
（3）画树状图或列表表示出所有等可能的情况，再利用概率公式求解．
【小问1详解】
解：10个“国学常识”成绩中90出现的次数最多，因此众数是90，
将10个“国学常识”成绩按从小到大顺序排列，第5位是88，第6位是89，因此中位数是，
故答案为：90，；
【小问2详解】
解：，
，
因此1号参赛选手在第一环节中得分为86.5分；
【小问3详解】
解：画树状图如下：

由图可知，共有6种等可能的情况，其中抽到“成语听写”和“经典诵读”的情况有2种，，
因此抽到“成语听写”和“经典诵读”的概率为．
【点睛】本题考查众数、中位数、加权平均数、列表或画树状图法求概率等知识点，解题的关键是掌握众数、中位数的定义，以及列表或画树状图的方法．
24. 某市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
（1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
（2）某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，A，B两种树苗共种100棵树，A种树苗不少于50棵不多于53棵，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？
【答案】（1）种树苗每棵元,种树苗每棵元
（2）购买A种树苗棵，B种树苗棵，种植工钱最少，最少为元
【解析】
【分析】（1）设种树苗每棵元，种树苗每棵元，根据“购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元”列二元一次方程组求解可得；
（2）设购买A种树苗棵，种植工钱为W元，则，根据函数的增减性解题即可．
【小问1详解】
设种树苗每棵元，种树苗每棵元，
根据题意， 得 ，
解得： ，
故种树苗每棵元,种树苗每棵元；
【小问2详解】
设购买A种树苗棵，种植工钱为W元，
则，
又∵，
∴随的增大而增大，
∵，
∴当时，元，
即购买A种树苗棵，B种树苗棵，种植工钱最少，最少为元．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用、一次函数的实际问题，解题的关键是仔细审题，找到题目蕴含的相等关系得出方程组.
25. 数学课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下：
步骤①如图1，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤②：连接，，可以判定的形状是：______．（直接写出结论）
（2）探究应用
小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下：
如图2，先类似小明的步骤①，得到折痕后把纸片展平；在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的一点处，连接．
小华得出的结论是：，请你帮助小华说明理由．
（3）拓展迁移
小明受小华的启发，继续利用正方形纸片进行探究，过程如下：
如图3，第一步与步骤（1）一样；然后连接，将沿折叠，使点落在正方形内的一点处，连接并延长交于点，连接，若正方形的边长是4，请求出的长．

【答案】（1）等腰三角形
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由折叠可知，是的垂直平分线，可得是等腰三角形；
（2）由折叠得到：，，由可得，即可得证；
（3）先由“”可证，可得，设，在中利用勾股定理构造方程可求的长．
【小问1详解】
解：由折叠可知，是的垂直平分线，
，
是等腰三角形；
故答案为：等腰三角形．
【小问2详解】
由折叠可知：，，，
中，，
，
，
，
．
【小问3详解】
四边形是正方形，
，，
由折叠可知：，，，，
，
又，
，
，
设，则，，
，
解得：，
即的长为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，矩形性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
26. 综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系

（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，_______．
②S关于t的函数解析式为_______．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．
【答案】（1）①3；②
（2），
（3）①4；②
【解析】
【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则；
（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案；
（3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案．
【小问1详解】
解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，
∴当时，点P在上，且，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：3；
②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，
解得，
∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴；
【小问3详解】
解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时，
∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设是函数上两点，则，是函数上的两点，
∴，
∴，
∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
∴可以看作，
∴，
故答案为：4；
②由（3）①可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
.
【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
写字注音
成语故事
国学常识
成语接龙
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