人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列教学设计，共17页。教案主要包含了教学内容及其解析，教学目标及其解析，教学问题诊断分析，教学支持条件分析，目标检测设计，板书设计等内容，欢迎下载使用。
课型 概念课
一、教学内容及其解析
1.内容
（1）等差数列的概念、通项公式及其应用；
（2）等差数列与一次函数的关系；
（3）等差数列项与项之间的关系.
2.内容解析
(1)内容的本质：
等差数列是用递推关系定义的，一个数列具有“等差”的特性，是指其相邻两项之间具有确定的关系，即（是定值）对任意都成立.等差数列的通项公式体现了可以用两个量来刻画等差数列，根据等差数列的定义不完全归纳得到其通项公式，再由累加法求得通项公式.项与项之间靠公差联系，等差数列的定义已经给出了相邻两项之间的关系，这是研究性质的出发点.等差数列大量存在于实际生活中，发现数列的等差关系并解决相应的问题，实质是定义和公式的使用.
(2)蕴含的数学思想和方法：
数列是一类特殊函数，运用函数观察、研究事物的运动及其变化规律是一种重要的思想，因此，函数思想是等差数列教学中的重要思想；对等差数列的研究按照“背景—概念—表示—公式一性质—应用”的路径展开，蕴含着特殊到一般的数学思想；等差数列的通项公式和求和公式中共包含五个变量，知道其中任意三个，便可求出剩余两个，即知三求二，蕴含着方程思想.
从生活中的四个实例抽象出四个数列，再从这四个数列中抽象出等差数列的概念.在这个过程中，学生需要自己观察并抽象出相应的知识，培养了数学抽象素养.在推导通项公式的过程中，学生利用通项公式的定义，观察等差数列定义的符号表示，推导出通项公式，从而更好地理解归纳法和累加法，培养了逻辑推理素养.在求等差中项、通项公式的过程中，学生一直在进行计算，培养了数学运算素养.用数学符号表示数列，得到数列的一般形式，基于对这个一般形式的分析，揭示出数列的序号与项之间的对应关系的本质是函数关系，得到了“数列是一种函数的结论”，培养了数学建模素养.
(3)知识的上下位关系：
本单元的学习建立在已经学习的函数和数列基础知识上，是对数与数之间的关系做进一步的拓广和深入研究.等差数列是本章重点研究的两种数列模型之一，通过本单元内容的学习，学生能更深入地了解前面所学的数列概念，更好地体会数列是一种特殊函数，学习等差数列的思想方法也为将来学习等比数列奠定了基础，具有承前启后的作用.
(4)育人价值：
通过对简单等差数列问题的研究，让学生切身体会到简单问题不“简单”，其中蕴含的数学思想方法依然具有普适性.让学生经历从特殊到一般的发现过程，增加学生学习数学、研究问题的兴趣，培养其良好的数学建模素养和数学思维品质，提升其提出问题、分析问题和解决问题的能力，具有较好的育人价值.等差数列的通项公式和前项和公式的推导，使学生在获得公式的同时，体会推导代数公式的基本方法，领悟从具体事例中发现一般规律的数学思想，强化学习信念，积淀数学情感.等差数列在实际生活中有着广泛的应用，是培养学生数学能力的良好题材，同时也是数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养的落脚点.
3.教学重点：
用实例归纳等差数列定义及通项公式，用累加法进行证明.
二、教学目标及其解析
1.目标
(1)通过等差数列概念的形成，能够描述等差数列的定义，会用定义判断一个数列是否为等差数列；
(2)通过等差数列通项公式的推导，经历提出猜想到推理论证的过程，体会从特殊到一般的思想及方程思想，发展数学抽象、逻辑推理等核心素养.；
(3)通过对比等差数列与一元一次函数，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性.
2.目标解析
达成上述目标的标志：
在知道用递推公式寻找后一项与前一项的关系的基础上，用递推关系表述等差数列的定义，会由等差数列的定义判定一个数列是否为等差数列；
(2)加深对等差数列的通项公式的理解，知道只要确定了首项与公差，就可以写出等差数列中的每一项，通项是关于的函数，与一次函数有关；等差数列的通项公式包含四个基本量，知道其中任意三个，可求出剩余一个，知道其中任意两个，可求剩余两个的关系式，品味其中蕴含的方程思想；
(3)理解等差数列的通项公式与一次函数关系；理解一次函数图象变化受公差的影响，进一步体会公式的广泛应用.
三、教学问题诊断分析
1.学生已有基础
学生已经学习了数列的概念以及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式，经历了归纳推理的过程，初步具备了归纳总结的能力.同时，学生参与课堂的积极性很高，有较强的团队意识，能通过小组合作得出等差数列的通项公式.教师可以根据这一特点，适当设置小组合作，让学生通过自己的努力，得出等差数列的通项公式.
2.学生可能遇到的难点
首先，学生的严谨性还不够，对于通项公式中n的取值范围会有所忽略，需要教师在授课时加以引导.其次，学生对于推导通项公式所用到的归纳法和累加法理解得不透彻，需要教师详细讲解.第三，学生理解首项及公差对等差数列变化规律的影响不太透彻，学生需要在教师引导下建立对差数列与一次函数之间的联系，从而攻克难点.
3.突破难点的策略
教师需要从已学知识入手，提高学生学习的有效性.数列本身就是一种特殊的函数.在性质上，它可以表述为以项数为自变量的函数，也可描述为以正整数集为定义域的函数，函数是解决等差数列问题的基本路径之一.因此，教师需要通过设置合理的问题链，引导学生函数与等差数列进行整合.
4.教学难点
等差规律的符号化表达，等差数列通项公式的推导.
四、教学支持条件分析
在教学中，可以使用GeGebra软件，突破教学难点，在整理得出等差数列通项公式中自变量、因变量及函数关系后，可以通过演示，引导学生理解等差数列图象与一次函数图象的关系，并通过演示，引导学生关注展示首项及公差对图象的影响.
四、教学过程设计
1.教学过程
2.教学设计
环节一：创设情境，引入等差数列概念
引导语：类比函数的研究过程，在了解完数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列.下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
【问题1】观察下面几个数列，你能发现它们的取值规律吗？
(1)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内向外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81．①
(2)S，M，L，XL，XXL，XXXL 型号的服装上衣对应的尺码分别是：
38，40，42，44，46，48． ②
(3)测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
25，24，23，22，21． ③
(4)某人向银行贷款万元，贷款时间为年.如果个人月贷款利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为：
，，，，…. ④
追问1：这几组数各自有什么特点？又有什么共同特征？
预设1:第一组数列每两个相邻的数之差为9，第二组数列每两个相邻的数之差为2，第三组数列每两个相邻的数之差为，第四组数列每两个相邻的数之差为.
预设2:这几组数列中，相邻两项的差是定值.
追问2：若将固定常数用表示，可否用符号语言表示后一项与前一项间的关系？
预设:第一组数列有9项，将第一组数列中的每一项分别用来表示，
则有；
第二组数列有6项，将第二组数列中的每一项分别用来表示，
则有；
第三组数列有5项，将第三组数列中的每一项分别用来表示，
则有；
第四组数列有项，将第四组数列中的每一项分别用来表示，
则有.
追问3:能否概括出这种特征?
预设:后一项减前一项都是一个固定的常数.
追问4:那第一项呢?
预设:从第二项起，后一项减前一项都是一个固定的常数.
【问题2】具有上述变化规律的数列叫做等差数列，能否给出等差数列的概念?
预设：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，就称这个数列为等差数列，这个常数就称为等差数列的公差，用来表示.
追问1：定义中的被减数和减数分别是什么？公差的取值范围是什么？
预设：依照定义，被减数为相邻两项中的后一项，而减数是相邻两项中的后一项，要注意被减数从第二项起.公差的取值范围可正可负.
追问2：公差可以是0吗？
预设：可以，若公差是0，满足等差数列的概念.
追问3：能否用符号语言表示等差数列的定义？
预设：.
追问4：这种表述是否严谨？是否还有其它方式？
预设1：应加上条件，.
预设2：或写成.
设计意图：教师引导学生,理解等差数列的概念及通项公式的推导过程,培养学生归纳总结能力,发展学生数学抽象的素养.
引导语：其实等差数列是数学史上最早出现并引起人们广泛应用的数列.例如，1858年，苏格兰收藏家收藏的约公元前1650年的阿莫斯纸草上就记载着等差数列.我们来看一下，10人分10斗玉米，从第二个人开始，各人所得依次比前一个人少斗，那么每人所分得的玉米数就构成了等差数列.如果按从大到小的顺序来看，这个数列的公差是.再如，在我国出土的春秋至战国时期楚国的铜环权，其重量大致按等差数列配置.又如成书于公元前2世纪的《周髀算经》中将日行轨道按照季节划分为七个同心圆，被称为“七衡图”，每个同心圆的直径组成等差数列.这些都记载着对等差数列的大量研究.
追问5：同学们能举出生活中的等差数列的例子吗？
预设：电影院第一排座位数为38个，从第二排起，后一排比前一排多2个座位.
设计意图：结合数学史帮助学生认识等差数列，理解等差数列的定义，这不仅可以帮助学生加深对数列知识的理解，而且可以开阔学生的视野.另外，让学生列举出生活中的等差数列的例子，有利于培养学生的观察能力，让学生感受到等差数列的应用价值.其中,包含了公差为正、负、0与不是等差数列的各种情况,让学生判断,增强学生对于等差数列概念的理解.
【问题3】观察如下几组数，在两数中插入什么数后，三个数就会成为一个等差数列？
①2,______,4；②-1,______，5；③0,______,0；④,______,.
预设：可以设插入的数为，既然这组数列是等差数列，一定会有，所以，即，其他数列以此类推.
师：由此，我们引入一个新的概念，等差中项是指如果在中插入一个数，使得成等差数列,那么就称为的等差中项，即.需要注意的是这里的是任意两个数.
环节二：归纳猜想，探究等差数列通项公式
【问题4】能否找到等差数列的通项公式？
追问1：对于引例中的几组数列是否存在通项公式呢?如果存在,请写出通项公式?
9，18，27，36，45，54，63，72，81．①
38，40，42，44，46，48． ②
25，24，23，22，21． ③
，，，，…. ④
预设：对于第一个数列，可以发现,，因此.
对于第二个数列，可以发现,，因此.
对于第三个数列，可以发现,，，因此.
对于第四个数列，可以发现,，，因此.
追问2：这些例子中的通项公式与什么有关？①的通项公式和其余几个数列有所不同，能否解释？
预设1：与首项和公差有关，会发现几个等差数列的通项公式都是首项加上倍的公差.
预设2：第一个数列，,，因此,这是由于首项与公差一样造成的，与其它数列的通项公式结构不矛盾.
追问3：能否写出首项为，公差为的等差数列的通项公式?
预设：.
【问题5】能否根据等差数列的递推公式，推导等差数列的通项公式？
预设：由递推公式，有，，，….
于是，
，
，
……
归纳可得，由于刚才的推导过程是从开始的，所以这里的范围是.
当时，上式为，这就是说，上式对也成立.
因此，我们得到首项为，公差为的等差数列的通项公式为：
.
引导语：在刚才的推导过程中，我们根据等差数列的递推公式，先写出一些具体的递推关系式，观察它们的规律，归纳得到一般结论.这种由特殊到一般的推理方式，是数学中发现新规律和新结论的重要方法.
追问1：还能用其他方法推导等差数列的通项公式吗？根据所提供的式子你有什么发现？
，
，
…
，
.
预设：会发现所有式子左边相加为，由于共有个式子，
因此右边相加为,即.变形可得.
需注意，由于第一个式子为，因此的范围是且.
当时，.
设计意图：结合情境中的数列让学生自主探究得出等差数列的通项公式,并给出两种方法推导出等差数列的通项公式,培养学生归纳总结的推理能力,发展学生的逻辑推理、数学运算素养.
因此，我们得到首项为，公差为的等差数列的通项公式为：
.
引导语：我们可以从减项或被减项的角标发现规律，把这个等式进行累加求和.我们看到，在等式的左边，每一个式子的减项和下一个式子的被减项都消去了，每一个等式的右边都是常数.这是一种严谨的推导方法，叫做累加法.累加法在处理由形如等差数列的递推公式，推导通项公式时，有非常广泛的应用.
追问2：你能写出下面这些数列的通项公式吗？
(1)5，9，13，17，21，…
(2)9，7，5，3，1，…
(3)6，6，6，6，6，…
预设：(1);
(2);
(3).
追问3：等差数列的通项公式结构特征，可以反映出哪些信息？
预设：(1)公式中一定是；
(2)等差数列中，除首项外，每一项由首项和公差来确定；
(3)一共有四个量，因此可以知三推一.
设计意图：结合情境中的数列让学生自主探究得出等差数列的通项公式,并给出两种方法推导出等差数列的通项公式,培养学生归纳总结的推理能力,发展学生的逻辑推理、数学运算素养.
环节三：深入探究，理解等差数列与函数的关系
【问题6】观察等差数列的通项公式，它与哪一类函数有关？
追问1：自变量、因变量以及函数关系分别是什么？
预设:自变量为，因变量为，函数关系为.
追问2：函数类型是什么？
预设：根据函数关系，与公差有关.当时，是常值函数；
当时，与一次函数有关，
当时，.
追问3：等差数列和一次函数有什么关系?
预设：一次函数的斜率为等差数列的公差，一次函数的斜率为等差数列的首项与公差的差；
在一次函数的图象上，当为正整数时，所有点构成等差数列的图象.
追问4：等差数列的首项以及公差有什么几何意义？
预设：因为在一次函数的图象上，当为正整数时，所有点构成等差数列的图象.所以，等差数列的公差对应一次函数的斜率.因此,公差对等差数列的增单调性产生影响.
由于，因此等差数列的首项以及公差，在一次函数图象上共同影响纵截距.
追问5：反之，由一次函数（为常数）得到的数列一定是等差数列吗？
预设：任给（为常数)，则，
，，…，
，…，
因此，.
所以，数列是以为首项，为公差的等差数列.
师：实际上，数列为公差不为0的等差数列的充要条件是，数列的通项公式与一次函数有关.
设计意图：通过对比等差数列与一元一次函数，体会数列是一种特殊的函数，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性.
环节四：理解应用，利用等差数列解决问题
【问题7】 利用通项公式，可以解决等差数列的哪些问题呢？
例1 已知等差数列的通项公式为，求等差数列的首项和公差.
分析1：有了通项公式，只要将代入，就能求得；由通项公式写出的表达式，由可求得公差.
解1：把代入通项公式，得.
当时，.
于是.
所以，数列的首项为3，公差为－2.
追问1：还有其他方法求公差吗？
分析2：由于已知数列为等差数列，所以每一项与它前一项的差都等于公差，已求出首项，只需再求出，即为公差.
解2：把代入通项公式，得.
于是.
追问2：能直接从通项公式看出公差的值吗？
分析3：由于等差数列通项公式是关于的一次函数，即.一次项系数记为公差，可以直接从通项公式看出公差的值.
解3：因为，所以公差.
总结：数列是一种特殊的函数.研究数列时，运用函数观点，将数列的通项公式或前项和公式，看成关于的函数，用函数方法研究数列的相关性质，是研究数列时的常用方法.
例2 求等差数列8，5，2，… 的通项公式和第20项，并判断－289是否是数列中的项，若是，是第几项？
分析：只要知道首项和公差，就可以求得数列的通项公式，从而可以求得第20项.公差可以由任意一项和它前一项的差求得.求得通项公式以后，它是一个关于的方程，判断－289是否是数列中的项，只需要看－289是否能使得该方程有正整数解即可．
解：由已知条件，得.
把，代入，得
.
所以.
令，得.
所以－289是该数列中的第100项.
总结：等差数列的首项和公差是等差数列的“基本量”，知道了这两个基本量，就可以求得等差数列通项公式和数列中的任意一项.实际上，等差数列的通项公式中共有四个量和，知道其中3个，就可以列出方程，求出另外一个.根据已知条件，列出关于等差数列的通项公式中未知量的方程或方程组，求得未知量，是解决等差数列相关问题的常用方法.
追问3：已知等差数列中的几项可以得到等差数列的通项公式？原因是什么？是否有几何意义?
预设1：已知两项即可，原因是根据，只需知道首项和公差，两个未知量对应两个方程，对应等差数列中的两项.
设计意图：通过对公式的强调以及对例题的讲解，加深学生对公式中各个字母以及对整个公式的理解.同时，通过讲解，学生能体会方程思想，培养数学建模等核心素养.
预设2：联系等差数列图象可知，其几何意义为两点确定一条直线.
环节五：梳理总结，凝练等差数列知识脉络
【问题8】 回顾本节课的探究过程，你学到了什么？
预设：从知识角度，我们学习了等差数列、等差中项的定义，推导了通项公式，并进行了简单的应用.在此过程中，我们由等差数列的定义，写出等差数列的递推公式；由递推公式，分别用归纳和累加的方法，推导出等差数列的通项公式.我们分别从函数和方程的角度，对通项公式进行了理解和认识，并解决了一些简单问题.
从研究方法上看，由定义，写出等价的递推公式，再用适当方法推导出通项公式，这是我们研究特殊数列的常用方法，在我们今后学习等比数列的概念时还会用到. 在得到等差数列的通项公式后，我们分别从通过函数和方程的角度，运用通项公式，解决了一些简单问题. 函数和方程的思想，在我们学习数列的过程中发挥着重要的作用.
五、目标检测设计
1．求下列各组数的等差中项：
(1) 47和895； (2) 和.
2．已知在等差数列中，， ，求．
答案：1. (1) 771；(2) .
2. .
六、板书设计
等差数列的概念（1）
七.作业与拓展学习设计
A组
1．30与18的等差中项是 ．
【答案】24
2．若某等差数列的第2项为2，第5项为7，则该等差数列的公差为 ．
【答案】
3.已知数列中，，，则 .
【答案】
4．在等差数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求；
(3)已知，，，求.
【答案】(1)由知：；
(2)因为，，所以，所以，解得；
(3)由知：，解得.
5．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；
(2)是否为等差数列，，，…的项？如果是，是该数列的第几项？如果不是，说明理由．
【答案】(1)可以得到公差，故第20项为.
(2)可以得到公差，故通项公式为，
令，解得，故是等差数列，，，…的第100项.
6．已知等差数列的通项公式为．
(1)求首项和公差；
(2)画出数列的图象；
(3)判断数列的增减性．
【答案】(1)等差数列的通项公式为，所以首项，
公差.
(2)数列的图象，如右图.
(3)由，，
得，
因此，所以数列是单调递减数列.
B组
1．设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第37项为（ ）
A．1 B．0 C．100 D．3700
【答案】C
2．已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 .
【答案】4
3．数列中，，，若数列是等差数列，则 ．
【答案】
4．在和两数之间插入个数，使它们与组成等差数列，求该数列的公差．
【答案】在和两数之间插入个数，使它们与组成等差数列，
则这个数列共有项，设该数列的公差为，则.
5．(1)若数列，是等差数列，公差分别为，，则数列，是不是等差数列？如果是，公差是多少？
(2)若数列是等差数列，，试分析与的关系．
【答案】(1)由，即是公差为的等差数列；
由，
即是公差为的等差数列；
(2)设的公差为，则：
，
，
又，即.
6.已知等差数列的首项为，公差为，若以第2项为首项，每隔两项取出一项组成一个新的数列，那么这个数列是等差数列吗？若是，求其公差，其中为数列的第几项？
【答案】等差数列的首项为，公差为，
若以第2项为首项，每隔两项取出一项组成一个新的数列，
故，即数列是等差数列，公差为，
，则，
令，即，
即，解得，
即为数列的第项.
一、等差数列的概念及通项公式
1.等差数列
2.等差中项
3.等差数列通项公式的推导
二、等差数列和一次函数间的关系
1.图象
2.首项及公差的几何意义
三、应用
例