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人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列教学设计
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列教学设计,共17页。教案主要包含了教学内容及其解析,教学目标及其解析,教学问题诊断分析,教学支持条件分析,目标检测设计,板书设计等内容,欢迎下载使用。
课型 概念课
一、教学内容及其解析
1.内容
(1)等差数列的概念、通项公式及其应用;
(2)等差数列与一次函数的关系;
(3)等差数列项与项之间的关系.
2.内容解析
(1)内容的本质:
等差数列是用递推关系定义的,一个数列具有“等差”的特性,是指其相邻两项之间具有确定的关系,即(是定值)对任意都成立.等差数列的通项公式体现了可以用两个量来刻画等差数列,根据等差数列的定义不完全归纳得到其通项公式,再由累加法求得通项公式.项与项之间靠公差联系,等差数列的定义已经给出了相邻两项之间的关系,这是研究性质的出发点.等差数列大量存在于实际生活中,发现数列的等差关系并解决相应的问题,实质是定义和公式的使用.
(2)蕴含的数学思想和方法:
数列是一类特殊函数,运用函数观察、研究事物的运动及其变化规律是一种重要的思想,因此,函数思想是等差数列教学中的重要思想;对等差数列的研究按照“背景—概念—表示—公式一性质—应用”的路径展开,蕴含着特殊到一般的数学思想;等差数列的通项公式和求和公式中共包含五个变量,知道其中任意三个,便可求出剩余两个,即知三求二,蕴含着方程思想.
从生活中的四个实例抽象出四个数列,再从这四个数列中抽象出等差数列的概念.在这个过程中,学生需要自己观察并抽象出相应的知识,培养了数学抽象素养.在推导通项公式的过程中,学生利用通项公式的定义,观察等差数列定义的符号表示,推导出通项公式,从而更好地理解归纳法和累加法,培养了逻辑推理素养.在求等差中项、通项公式的过程中,学生一直在进行计算,培养了数学运算素养.用数学符号表示数列,得到数列的一般形式,基于对这个一般形式的分析,揭示出数列的序号与项之间的对应关系的本质是函数关系,得到了“数列是一种函数的结论”,培养了数学建模素养.
(3)知识的上下位关系:
本单元的学习建立在已经学习的函数和数列基础知识上,是对数与数之间的关系做进一步的拓广和深入研究.等差数列是本章重点研究的两种数列模型之一,通过本单元内容的学习,学生能更深入地了解前面所学的数列概念,更好地体会数列是一种特殊函数,学习等差数列的思想方法也为将来学习等比数列奠定了基础,具有承前启后的作用.
(4)育人价值:
通过对简单等差数列问题的研究,让学生切身体会到简单问题不“简单”,其中蕴含的数学思想方法依然具有普适性.让学生经历从特殊到一般的发现过程,增加学生学习数学、研究问题的兴趣,培养其良好的数学建模素养和数学思维品质,提升其提出问题、分析问题和解决问题的能力,具有较好的育人价值.等差数列的通项公式和前项和公式的推导,使学生在获得公式的同时,体会推导代数公式的基本方法,领悟从具体事例中发现一般规律的数学思想,强化学习信念,积淀数学情感.等差数列在实际生活中有着广泛的应用,是培养学生数学能力的良好题材,同时也是数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养的落脚点.
3.教学重点:
用实例归纳等差数列定义及通项公式,用累加法进行证明.
二、教学目标及其解析
1.目标
(1)通过等差数列概念的形成,能够描述等差数列的定义,会用定义判断一个数列是否为等差数列;
(2)通过等差数列通项公式的推导,经历提出猜想到推理论证的过程,体会从特殊到一般的思想及方程思想,发展数学抽象、逻辑推理等核心素养.;
(3)通过对比等差数列与一元一次函数,感受数列与函数的共性与差异,体会数学的整体性.
2.目标解析
达成上述目标的标志:
在知道用递推公式寻找后一项与前一项的关系的基础上,用递推关系表述等差数列的定义,会由等差数列的定义判定一个数列是否为等差数列;
(2)加深对等差数列的通项公式的理解,知道只要确定了首项与公差,就可以写出等差数列中的每一项,通项是关于的函数,与一次函数有关;等差数列的通项公式包含四个基本量,知道其中任意三个,可求出剩余一个,知道其中任意两个,可求剩余两个的关系式,品味其中蕴含的方程思想;
(3)理解等差数列的通项公式与一次函数关系;理解一次函数图象变化受公差的影响,进一步体会公式的广泛应用.
三、教学问题诊断分析
1.学生已有基础
学生已经学习了数列的概念以及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式,经历了归纳推理的过程,初步具备了归纳总结的能力.同时,学生参与课堂的积极性很高,有较强的团队意识,能通过小组合作得出等差数列的通项公式.教师可以根据这一特点,适当设置小组合作,让学生通过自己的努力,得出等差数列的通项公式.
2.学生可能遇到的难点
首先,学生的严谨性还不够,对于通项公式中n的取值范围会有所忽略,需要教师在授课时加以引导.其次,学生对于推导通项公式所用到的归纳法和累加法理解得不透彻,需要教师详细讲解.第三,学生理解首项及公差对等差数列变化规律的影响不太透彻,学生需要在教师引导下建立对差数列与一次函数之间的联系,从而攻克难点.
3.突破难点的策略
教师需要从已学知识入手,提高学生学习的有效性.数列本身就是一种特殊的函数.在性质上,它可以表述为以项数为自变量的函数,也可描述为以正整数集为定义域的函数,函数是解决等差数列问题的基本路径之一.因此,教师需要通过设置合理的问题链,引导学生函数与等差数列进行整合.
4.教学难点
等差规律的符号化表达,等差数列通项公式的推导.
四、教学支持条件分析
在教学中,可以使用GeGebra软件,突破教学难点,在整理得出等差数列通项公式中自变量、因变量及函数关系后,可以通过演示,引导学生理解等差数列图象与一次函数图象的关系,并通过演示,引导学生关注展示首项及公差对图象的影响.
四、教学过程设计
1.教学过程
2.教学设计
环节一:创设情境,引入等差数列概念
引导语:类比函数的研究过程,在了解完数列的一般概念后,我们要研究一些具有特殊变化规律的数列.下面,我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
【问题1】观察下面几个数列,你能发现它们的取值规律吗?
(1)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成,最中间是圆形的天心石,围绕天心石的是9圈扇环形的石板,从内向外各圈的石板数依次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81.①
(2)S,M,L,XL,XXL,XXXL 型号的服装上衣对应的尺码分别是:
38,40,42,44,46,48. ②
(3)测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度,得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位:℃)依次为
25,24,23,22,21. ③
(4)某人向银行贷款万元,贷款时间为年.如果个人月贷款利率为,那么按照等额本金方式还款,他从某月开始,每月应还本金万元,每月支付给银行的利息(单位:万元)依次为:
,,,,…. ④
追问1:这几组数各自有什么特点?又有什么共同特征?
预设1:第一组数列每两个相邻的数之差为9,第二组数列每两个相邻的数之差为2,第三组数列每两个相邻的数之差为,第四组数列每两个相邻的数之差为.
预设2:这几组数列中,相邻两项的差是定值.
追问2:若将固定常数用表示,可否用符号语言表示后一项与前一项间的关系?
预设:第一组数列有9项,将第一组数列中的每一项分别用来表示,
则有;
第二组数列有6项,将第二组数列中的每一项分别用来表示,
则有;
第三组数列有5项,将第三组数列中的每一项分别用来表示,
则有;
第四组数列有项,将第四组数列中的每一项分别用来表示,
则有.
追问3:能否概括出这种特征?
预设:后一项减前一项都是一个固定的常数.
追问4:那第一项呢?
预设:从第二项起,后一项减前一项都是一个固定的常数.
【问题2】具有上述变化规律的数列叫做等差数列,能否给出等差数列的概念?
预设:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数,就称这个数列为等差数列,这个常数就称为等差数列的公差,用来表示.
追问1:定义中的被减数和减数分别是什么?公差的取值范围是什么?
预设:依照定义,被减数为相邻两项中的后一项,而减数是相邻两项中的后一项,要注意被减数从第二项起.公差的取值范围可正可负.
追问2:公差可以是0吗?
预设:可以,若公差是0,满足等差数列的概念.
追问3:能否用符号语言表示等差数列的定义?
预设:.
追问4:这种表述是否严谨?是否还有其它方式?
预设1:应加上条件,.
预设2:或写成.
设计意图:教师引导学生,理解等差数列的概念及通项公式的推导过程,培养学生归纳总结能力,发展学生数学抽象的素养.
引导语:其实等差数列是数学史上最早出现并引起人们广泛应用的数列.例如,1858年,苏格兰收藏家收藏的约公元前1650年的阿莫斯纸草上就记载着等差数列.我们来看一下,10人分10斗玉米,从第二个人开始,各人所得依次比前一个人少斗,那么每人所分得的玉米数就构成了等差数列.如果按从大到小的顺序来看,这个数列的公差是.再如,在我国出土的春秋至战国时期楚国的铜环权,其重量大致按等差数列配置.又如成书于公元前2世纪的《周髀算经》中将日行轨道按照季节划分为七个同心圆,被称为“七衡图”,每个同心圆的直径组成等差数列.这些都记载着对等差数列的大量研究.
追问5:同学们能举出生活中的等差数列的例子吗?
预设:电影院第一排座位数为38个,从第二排起,后一排比前一排多2个座位.
设计意图:结合数学史帮助学生认识等差数列,理解等差数列的定义,这不仅可以帮助学生加深对数列知识的理解,而且可以开阔学生的视野.另外,让学生列举出生活中的等差数列的例子,有利于培养学生的观察能力,让学生感受到等差数列的应用价值.其中,包含了公差为正、负、0与不是等差数列的各种情况,让学生判断,增强学生对于等差数列概念的理解.
【问题3】观察如下几组数,在两数中插入什么数后,三个数就会成为一个等差数列?
①2,______,4;②-1,______,5;③0,______,0;④,______,.
预设:可以设插入的数为,既然这组数列是等差数列,一定会有,所以,即,其他数列以此类推.
师:由此,我们引入一个新的概念,等差中项是指如果在中插入一个数,使得成等差数列,那么就称为的等差中项,即.需要注意的是这里的是任意两个数.
环节二:归纳猜想,探究等差数列通项公式
【问题4】能否找到等差数列的通项公式?
追问1:对于引例中的几组数列是否存在通项公式呢?如果存在,请写出通项公式?
9,18,27,36,45,54,63,72,81.①
38,40,42,44,46,48. ②
25,24,23,22,21. ③
,,,,…. ④
预设:对于第一个数列,可以发现,,因此.
对于第二个数列,可以发现,,因此.
对于第三个数列,可以发现,,,因此.
对于第四个数列,可以发现,,,因此.
追问2:这些例子中的通项公式与什么有关?①的通项公式和其余几个数列有所不同,能否解释?
预设1:与首项和公差有关,会发现几个等差数列的通项公式都是首项加上倍的公差.
预设2:第一个数列,,,因此,这是由于首项与公差一样造成的,与其它数列的通项公式结构不矛盾.
追问3:能否写出首项为,公差为的等差数列的通项公式?
预设:.
【问题5】能否根据等差数列的递推公式,推导等差数列的通项公式?
预设:由递推公式,有,,,….
于是,
,
,
……
归纳可得,由于刚才的推导过程是从开始的,所以这里的范围是.
当时,上式为,这就是说,上式对也成立.
因此,我们得到首项为,公差为的等差数列的通项公式为:
.
引导语:在刚才的推导过程中,我们根据等差数列的递推公式,先写出一些具体的递推关系式,观察它们的规律,归纳得到一般结论.这种由特殊到一般的推理方式,是数学中发现新规律和新结论的重要方法.
追问1:还能用其他方法推导等差数列的通项公式吗?根据所提供的式子你有什么发现?
,
,
…
,
.
预设:会发现所有式子左边相加为,由于共有个式子,
因此右边相加为,即.变形可得.
需注意,由于第一个式子为,因此的范围是且.
当时,.
设计意图:结合情境中的数列让学生自主探究得出等差数列的通项公式,并给出两种方法推导出等差数列的通项公式,培养学生归纳总结的推理能力,发展学生的逻辑推理、数学运算素养.
因此,我们得到首项为,公差为的等差数列的通项公式为:
.
引导语:我们可以从减项或被减项的角标发现规律,把这个等式进行累加求和.我们看到,在等式的左边,每一个式子的减项和下一个式子的被减项都消去了,每一个等式的右边都是常数.这是一种严谨的推导方法,叫做累加法.累加法在处理由形如等差数列的递推公式,推导通项公式时,有非常广泛的应用.
追问2:你能写出下面这些数列的通项公式吗?
(1)5,9,13,17,21,…
(2)9,7,5,3,1,…
(3)6,6,6,6,6,…
预设:(1);
(2);
(3).
追问3:等差数列的通项公式结构特征,可以反映出哪些信息?
预设:(1)公式中一定是;
(2)等差数列中,除首项外,每一项由首项和公差来确定;
(3)一共有四个量,因此可以知三推一.
设计意图:结合情境中的数列让学生自主探究得出等差数列的通项公式,并给出两种方法推导出等差数列的通项公式,培养学生归纳总结的推理能力,发展学生的逻辑推理、数学运算素养.
环节三:深入探究,理解等差数列与函数的关系
【问题6】观察等差数列的通项公式,它与哪一类函数有关?
追问1:自变量、因变量以及函数关系分别是什么?
预设:自变量为,因变量为,函数关系为.
追问2:函数类型是什么?
预设:根据函数关系,与公差有关.当时,是常值函数;
当时,与一次函数有关,
当时,.
追问3:等差数列和一次函数有什么关系?
预设:一次函数的斜率为等差数列的公差,一次函数的斜率为等差数列的首项与公差的差;
在一次函数的图象上,当为正整数时,所有点构成等差数列的图象.
追问4:等差数列的首项以及公差有什么几何意义?
预设:因为在一次函数的图象上,当为正整数时,所有点构成等差数列的图象.所以,等差数列的公差对应一次函数的斜率.因此,公差对等差数列的增单调性产生影响.
由于,因此等差数列的首项以及公差,在一次函数图象上共同影响纵截距.
追问5:反之,由一次函数(为常数)得到的数列一定是等差数列吗?
预设:任给(为常数),则,
,,…,
,…,
因此,.
所以,数列是以为首项,为公差的等差数列.
师:实际上,数列为公差不为0的等差数列的充要条件是,数列的通项公式与一次函数有关.
设计意图:通过对比等差数列与一元一次函数,体会数列是一种特殊的函数,感受数列与函数的共性与差异,体会数学的整体性.
环节四:理解应用,利用等差数列解决问题
【问题7】 利用通项公式,可以解决等差数列的哪些问题呢?
例1 已知等差数列的通项公式为,求等差数列的首项和公差.
分析1:有了通项公式,只要将代入,就能求得;由通项公式写出的表达式,由可求得公差.
解1:把代入通项公式,得.
当时,.
于是.
所以,数列的首项为3,公差为-2.
追问1:还有其他方法求公差吗?
分析2:由于已知数列为等差数列,所以每一项与它前一项的差都等于公差,已求出首项,只需再求出,即为公差.
解2:把代入通项公式,得.
于是.
追问2:能直接从通项公式看出公差的值吗?
分析3:由于等差数列通项公式是关于的一次函数,即.一次项系数记为公差,可以直接从通项公式看出公差的值.
解3:因为,所以公差.
总结:数列是一种特殊的函数.研究数列时,运用函数观点,将数列的通项公式或前项和公式,看成关于的函数,用函数方法研究数列的相关性质,是研究数列时的常用方法.
例2 求等差数列8,5,2,… 的通项公式和第20项,并判断-289是否是数列中的项,若是,是第几项?
分析:只要知道首项和公差,就可以求得数列的通项公式,从而可以求得第20项.公差可以由任意一项和它前一项的差求得.求得通项公式以后,它是一个关于的方程,判断-289是否是数列中的项,只需要看-289是否能使得该方程有正整数解即可.
解:由已知条件,得.
把,代入,得
.
所以.
令,得.
所以-289是该数列中的第100项.
总结:等差数列的首项和公差是等差数列的“基本量”,知道了这两个基本量,就可以求得等差数列通项公式和数列中的任意一项.实际上,等差数列的通项公式中共有四个量和,知道其中3个,就可以列出方程,求出另外一个.根据已知条件,列出关于等差数列的通项公式中未知量的方程或方程组,求得未知量,是解决等差数列相关问题的常用方法.
追问3:已知等差数列中的几项可以得到等差数列的通项公式?原因是什么?是否有几何意义?
预设1:已知两项即可,原因是根据,只需知道首项和公差,两个未知量对应两个方程,对应等差数列中的两项.
设计意图:通过对公式的强调以及对例题的讲解,加深学生对公式中各个字母以及对整个公式的理解.同时,通过讲解,学生能体会方程思想,培养数学建模等核心素养.
预设2:联系等差数列图象可知,其几何意义为两点确定一条直线.
环节五:梳理总结,凝练等差数列知识脉络
【问题8】 回顾本节课的探究过程,你学到了什么?
预设:从知识角度,我们学习了等差数列、等差中项的定义,推导了通项公式,并进行了简单的应用.在此过程中,我们由等差数列的定义,写出等差数列的递推公式;由递推公式,分别用归纳和累加的方法,推导出等差数列的通项公式.我们分别从函数和方程的角度,对通项公式进行了理解和认识,并解决了一些简单问题.
从研究方法上看,由定义,写出等价的递推公式,再用适当方法推导出通项公式,这是我们研究特殊数列的常用方法,在我们今后学习等比数列的概念时还会用到. 在得到等差数列的通项公式后,我们分别从通过函数和方程的角度,运用通项公式,解决了一些简单问题. 函数和方程的思想,在我们学习数列的过程中发挥着重要的作用.
五、目标检测设计
1.求下列各组数的等差中项:
(1) 47和895; (2) 和.
2.已知在等差数列中,, ,求.
答案:1. (1) 771;(2) .
2. .
六、板书设计
等差数列的概念(1)
七.作业与拓展学习设计
A组
1.30与18的等差中项是 .
【答案】24
2.若某等差数列的第2项为2,第5项为7,则该等差数列的公差为 .
【答案】
3.已知数列中,,,则 .
【答案】
4.在等差数列中,
(1)已知,,求;
(2)已知,,求;
(3)已知,,,求.
【答案】(1)由知:;
(2)因为,,所以,所以,解得;
(3)由知:,解得.
5.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;
(2)是否为等差数列,,,…的项?如果是,是该数列的第几项?如果不是,说明理由.
【答案】(1)可以得到公差,故第20项为.
(2)可以得到公差,故通项公式为,
令,解得,故是等差数列,,,…的第100项.
6.已知等差数列的通项公式为.
(1)求首项和公差;
(2)画出数列的图象;
(3)判断数列的增减性.
【答案】(1)等差数列的通项公式为,所以首项,
公差.
(2)数列的图象,如右图.
(3)由,,
得,
因此,所以数列是单调递减数列.
B组
1.设数列,是项数相同的等差数列,若,,,则数列的第37项为( )
A.1 B.0 C.100 D.3700
【答案】C
2.已知等差数列的各项均为正整数,且,则的最小值是 .
【答案】4
3.数列中,,,若数列是等差数列,则 .
【答案】
4.在和两数之间插入个数,使它们与组成等差数列,求该数列的公差.
【答案】在和两数之间插入个数,使它们与组成等差数列,
则这个数列共有项,设该数列的公差为,则.
5.(1)若数列,是等差数列,公差分别为,,则数列,是不是等差数列?如果是,公差是多少?
(2)若数列是等差数列,,试分析与的关系.
【答案】(1)由,即是公差为的等差数列;
由,
即是公差为的等差数列;
(2)设的公差为,则:
,
,
又,即.
6.已知等差数列的首项为,公差为,若以第2项为首项,每隔两项取出一项组成一个新的数列,那么这个数列是等差数列吗?若是,求其公差,其中为数列的第几项?
【答案】等差数列的首项为,公差为,
若以第2项为首项,每隔两项取出一项组成一个新的数列,
故,即数列是等差数列,公差为,
,则,
令,即,
即,解得,
即为数列的第项.
一、等差数列的概念及通项公式
1.等差数列
2.等差中项
3.等差数列通项公式的推导
二、等差数列和一次函数间的关系
1.图象
2.首项及公差的几何意义
三、应用
例
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