南宁市邕宁民族中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份南宁市邕宁民族中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 《北京市生活垃圾管理条例》对生活垃圾分类提出更高要求，并于2020年5月1日起施行，下列垃圾分类标志，是中心对称图形的 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
【详解】A、方程含有分式，故本选项错误；
B、方程含两个未知数，故本选项错误；
C、方程中未知数的最高次数是1，故本选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．
3. 二次函数y＝－x2－1的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解．
【详解】二次函数y＝－x2－1的图象开口向下，且顶点坐标为(0，－1)，
故选项C符合题意．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像判断，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质．
4. 如图，将绕着点O顺时针旋转，得到，若，，则旋转角度是（ ）

A. 10°B. 35°C. 40°D. 75°
【答案】D
【解析】
【分析】由旋转的性质可得旋转角为．
【详解】∵，，
∴，
∵将绕着点O顺时针旋转，得到，
∴旋转角为，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转角、角的和差等知识点，正确找出旋转角是解题关键．
5. 函数，，中，图象开口大小的顺序是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴图象开口大小的顺序是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知对于二次函数，的值越大开口大小越小是解题的关键．
6. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先把一次项移到等式的左边，然后在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方.
【详解】把方程移项，得
，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得：.
故选：.
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程.配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.
7. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】先将关系式化为顶点式，再根据平移规律解答即可．
【详解】解：二次函数的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，
∴平移后解析式为：，
则，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．
8. 设，是一元二次方程的两根，则的值为（ ）．
A. 6B. 8C. 14D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据＝（x1＋x2）2−2，然后利用根与系数的关系，代入数值计算即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴+＝2，＝-5，
∴＝（x1＋x2）2−2＝22−2×（-5）＝14．
故选C
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
9. 将绕点旋转得到，设A点的坐标为，则的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点A作轴于点D，过点作轴于点E，根据旋转的性质可得，，证明，则，即可求出点的坐标．
【详解】解：过点A作轴于点D，过点作轴于点E，
∵绕点旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，全等三角形对应边相等．
10. 疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用在线上买菜，某买菜今年一月份新进册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设每月的平均增长率为x，根据题意列出方程200 (1+x)2=338求解即可．
【详解】解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，由题意，得
200 (1+x)2=338，
1+x=+1.3，
x=0.3或x=-2.3 (舍去) .
所以二、三两个月新注册用户每月平均增长率是0.3即30%，
故答案选：D．
【点睛】本题考查的是列一元二次方程解增长率的数学实际问题，关键清楚增长前为200元，两个月后为338元，从而求出解．
11. 如图，一次函数y1＝kx+b与二次函数y2＝ax2交于A（﹣1，1）和B（2，4）两点，则当y1＞y2时x的取值范围是（ ）
A. x＜﹣1B. x＞2C. ﹣1＜x＜2D. x＜﹣1或x＞2
【答案】C
【解析】
【分析】从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断时，x的范围．
【详解】解：已知函数图象的两个交点坐标分别为A和B 两点，
∴当时，有﹣1＜x＜2；
故答案为：C．
【点睛】本题考查了利用图象求解的能力，找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断时，x的范围是解题的关键．
12. 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图像如图，则下列结论：①；②；③；④点、在抛物线上，若，则，其中正确结论的个数是（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图像与的关系、对称轴公式、点的坐标及增减性逐一判断即可．
【详解】解：①由图可知，将抛物线补全，抛物线与x轴有两个交点
∴
∴，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，故②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，
∴此抛物线与x轴的另一个交点在和之间，
∵在对称轴的右侧，函数y随x增大而减小，
∴当时，，
∴将代入解析式中，得：，故③正确；
④若点，在对称轴右侧时，
函数y随x增大而减小，
即若，则，故④错误；
故选：C．
【点睛】此题考查的是二次函数图像及性质，掌握二次函数图像及性质和各系数之间的关系是解决此题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 一元二次方程的解是___________．
【答案】，
【解析】
【分析】用直接开方法解方程即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，，
故答案为：，
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法—直接开方法，熟练掌握直接开方法解一元二次方程是解本题的关键．
14. 二次函数的顶点坐标为____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法将二次函数化为顶点式，即可解答；
【详解】解：，
∴顶点坐标为（2，-1），
故答案为：（2，-1）
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的求法，熟记完全平方公式是解题关键．
15. 若点、关于原点对称，则______．
【答案】
【解析】
【分析】关于原点对称的点横纵坐标都相反，据此规律直接求解即可．
【详解】∵点、关于原点对称，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查坐标的对称规律，解题关键是点关于原点对称的点坐标为．
16. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______．
【答案】k
【解析】
【分析】讨论：当k＝0时，方程化为-6x+9＝0，方程有实数解；当k≠0时，根据根的判别式的意义得到Δ＝，解得k且k≠0，然后综合两种情况得到k的范围．
【详解】解：当k＝0时，方程化为-6x+9＝0，解得x；
当k≠0时，Δ＝，解得k且k≠0，
综上所述，k的范围为k．
故答案为：k．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
17. 如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，当AB的长等于______m时，羊圈的面积最大．
【答案】20
【解析】
【分析】设为，则，根据矩形的面积公式可得关于x的二次函数关系式，配方后即可解．
【详解】解：设，则，
∴，
∴
又∵矩形的面积：
∵，
∴当时，S有最大值，
所以，当时，矩形的面积最大
故答案为：20．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
18. 如图，抛物线交x轴于A、B两点．点P为x轴下方抛物线上任意一点，点C是抛物线对称轴与x轴的交点，直线分别交抛物线的对称轴于点M、N．的值等于______________．
【答案】
【解析】
【分析】求出的坐标，设出点坐标，表示出的解析式，进而求出的坐标，再进行计算即可．
【详解】解：，当时，，
解得：，
∴，对称轴为直线，
∴，
设，
∵点P为x轴下方抛物线上任意一点，
∴，
设直线解析式为，
，解得：，
∴直线解析式为；
∴当时，，
∴；
同理可得：直线的解析式为：，
∴当时，，
∴；
∴
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出二次函数的对称轴，以及抛物线与轴的交点坐标，是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19. 用适当的方法解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用公式法解方程．
【小问1详解】
解：原方程变形为，
或，
∴，；
【小问2详解】
解：原方程化为一般形式，得，
∵，，，
∴，
∴，
即，．
【点睛】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个方程的特点选用恰当的解法是解题的关键．
20. 如图，已知点、、．
（1）将绕点O逆时针旋转90°得，画出．
（2）画出关于原点O成中心对称的图形．
（3）在平面直角坐标系内找点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或或
【解析】
【分析】（1）分别作出的对应点即可解决问题．
（2）分别作出的对应点即可解决问题．
（3）根据平行四边形的定义，画出图形写出坐标即可．
【小问1详解】
如图所示，即所求作，
【小问2详解】
如上图所示，即为所求作；
【小问3详解】
如图，满足条件的点D的坐标为或或．
故答案为或或．
【点睛】本题考查旋转变换，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】(1)根据建立不等式即可求解；
(2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可．
【详解】解：(1)由题意可知，，
整理得：，
解得：，
∴的取值范围是：．
故答案为：．
(2)由题意得：，
由韦达定理可知：，，
故有：，
整理得：，
解得：，
又由(1)中可知，
∴的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．
22. 如图，已知二次函数过点．

（1）求此二次函数的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式；
（2）先求出，再算出，再根据三角形面积公式进行求解．
【小问1详解】
解：∵二次函数过点，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：令，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，与坐标轴的交点问题，解题的关键是利用待定系数法进行求解．
23. 某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
【答案】（1）该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；（2）至少再增加2个销售点．
【解析】
【分析】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可进行求解；
（2）设至少再增加y个销售点，根据题意列出不等式即可求解.
【详解】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，
根据题意得，，
解得：，（不合题意舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；
（2）3.6×（1+20%）=4.32万（kg），
4.32÷0.32=13.5（个），即六月份应至少14个，
3.6÷0.32=11.25（个），即五月份销售点应为12个
则需增加14-12=2（个），
故至少再增加2个销售点．
【点睛】此题主要考查一元二次方程与不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系.
24. 近几年，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系式，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．
【答案】（1）
（2）2160元
【解析】
【分析】（1）根据销售1件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，直接列式即可作答；
（2）根据题意有：，解得：，将化为顶点式为：，即可知当时，函数值随着x的增大而减小，问题随之得解．
【小问1详解】
解：根据题意，得
，
即，
又，
解得，
∴
【小问2详解】
解：根据题意有：，
解得：，
，
∵，
∴当时，W随着x的增大而减小，
又，
当时，函数值最大，最大为：．
答：此时W的最大值为2160元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知的等量关系列出相应的函数关系式是是解答本题的关键．
25. 如图（1），已知，，且，将绕C点旋转（A、C、D三点同一直线上除外）．

（1）求证：；
（2）在绕C点旋转的过程中，若、所在的直线交于点F，当点F为边的中点时，如图2所示．求证：（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）；
（3）在（2）的条件下，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）等量代换可得，根据全等三角形的判定可得；
（2）延长到G，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质可得，，由（1）可知：，推得，根据等边对等角可得，即可求得；
（3）根据等边对等角可得，推得，根据由（1）可知：，推得，求得，即可得到．
【小问1详解】
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴．
【小问2详解】
延长到G，使得，连接，如图：

∵F为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
∵，
∴，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边对等角，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，线段绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A．

（1）直接写出点A坐标，并求出经过A、O、B三点的抛物线的解析式．
（2）在抛物线对称轴上是否存在点C，使的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，的面积最大？求出此时点P的坐标和的最大面积．
【答案】（1）
（2）存在，
（3）当时，的面积最大，且最大值为
【解析】
【分析】（1）首先求出的长，由旋转的性质知，即可得到点的坐标，然后用待定系数法即可求得该抛物线的解析式；
（2）由于、关于抛物线对称轴对称，若连接，则与抛物线对称轴的交点即为所求的点，可先求出直线的解析式，联立抛物线对称轴方程即可求得点的坐标；
（3）可过作轴的平行线，交直线于；可设出点的横坐标（根据点的位置可确定其横坐标的取值范围），根据抛物线和直线的解析式，可表示出、的纵坐标，即可得到的长，以为底，、纵坐标差的绝对值为高即可得到的面积，从而得出关于的面积与点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质及自变量的取值范围，即可求得的最大面积及对应的点坐标．
【小问1详解】
解：点的坐标，
设抛物线的解析式为，
，
，，
；
【小问2详解】
由于、关于抛物线的对称轴对称，连接，
则与抛物线对称轴的交点即为所求的点；
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵抛物线的对称轴为直线，
当时，；
点的坐标为，；
【小问3详解】
过作直线轴，交于，
设，则，
，
的面积：
，
∴当，即时，的面积最大，且最大值为．
【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、最短路径问题、函数图象交点以及图形面积的求法等重要知识点，能够将图形面积问题转换为二次函数的最值问题是解决（3）题的关键．