浙江省强基联盟2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题

这是一份浙江省强基联盟2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题，共8页。试卷主要包含了不等式的解集是，命题“，”的否定是，已知，，，则下列不等式正确的是，若，，则的最小值为，若集合，，则，已知关于的方程，则等内容，欢迎下载使用。
浙江强基联盟研究院 命制
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.
C.D.
2.“是等腰三角形”是“是等边三角形”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.不等式的解集是（ ）
A.B.
C.D.
4.命题“，”的否定是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
5.不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
6.已知全集，集合，，，则阴影部分对应的集合是（ ）
A.B.
C.D.
7.已知，，，则下列不等式正确的是（ ）
A.B.C.D.
8.若，，则的最小值为（ ）
A.8B.9C.10D.11
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若集合，，则（ ）
A.B.
C.D.
10.已知关于的方程，则（ ）
A.当时，方程只有一个实数根B.是方程有实数根的必要不充分条件
C.该方程不可能有两个不等正根D.该方程不可能有两个不等负根
11.若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设，集合，，若，则______.
13.已知，，则的取值范围是______.
14.若方程有且仅有一个实数解，则实数取值集合为______
四、解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（10分）
已知集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
16.（12分）解下列不等式（组）：
（1）（2）（3）
17.（13分）
为积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对同学假期游戏时长进行调查.
（1）小丁同学某天玩游戏的时长取值范围为非空集合，合理游戏时长为，若小丁游戏时长在合理游戏时长范围之内，求的取值范围；
（2）某班共50人，其中10人玩游戏，12人玩游戏，7人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与和都玩的人数相同，求班上这三种游戏都不玩的同学人数.
18.（13分）
现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为.
（1）若要使窗户面积不小于2平方米，求的取值范围；
（2）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好.
（i）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？
（ii）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由.
19.（14分）
已知二次函数（，且）.
（1）若，求该二次函数的最大值；
（2）已知该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若的面积为，求的值；
（3）若，，，恒成立，求的取值范围.
20.（15分）
设数集满足：①；②，且，有，则称数集具有性质.
（1）判断集合，是否具有性质，并说明理由；
（2）证明：集合具有性质；
（3）求满足性质的所有三元素集.
浙江强基联盟2024年10月高一联考
数学卷参考答案与评分标准
1.A 由，可得.故选A.
2.B 等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形一定是等腰三角形.故选B.
3.C 原不等式等价于，即.故选C.
4.C 命题“，”的否定是“，”.故选C.
5.D ，即.故选D.
6.D 由图可知阴影部分对应的集合是集合，故选D.
7.D 由，可得，即，故A错误；由，，可得，所以，故B错误；取，，，，则，故C错误；，故选D.
8.B ，当且仅当，时取到最小值9.故选B.
9.BCD 集合为点集，故选项A错误，选项B正确；，，选项C、D正确.故选BCD.
10.AC 对于A选项，时，方程的解为，故A正确；对于B选项，方程有实数根，则，即，所以或，故B错误；对于C选项，，，不可能有两个不等正根，C正确；对于D选项，当时，方程有2个不等负根，故D错误.故选AC.
11.AD 原不等式等价于，根据的正负讨论，当时，解集为，则；当或时，解集不可能为.故选AD.
12.0 由可得，，则.
13. 由，可得.
14. 方程有且仅有一解等价于有一个不等于3的实数解.当时，解为，满足题意；当时，方程解的情况分为以及但3是方程的解两种情况，计算可得，.
15.解：（1）由得，，
所以；
（2）由得，
所以.
16.解：（1）由题意得：，解得，
故不等式的解集为；
（2）由题意得：
解得，
故不等式组的解集为；
（3）由题意得：，无解.
故不等式的解集为.
17.解：（1）由题意得，且，
解得，故的取值范围为；
（2）设只玩的人数为，
由图得，解得则人.
故班上这三种游戏都不玩的同学有28人.
18.解：（1）设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，，
所以.又矩形面积，
解得
故的取值范围为.
（2）（i）设地板面积为，解不等式组解得，
故当时，窗户面积最小，此时由（1）可得或.
故当为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米.
（ii）设和分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：，，
则.
因为，，所以.
又因为，所以.
因此，即.
所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了.
19.解：（1）当时，.
所以当时，函数有最大值为2；
（2）设，，则，是方程的两个相异根，则，
即.由韦达定理知，.
，解得.
故的值为1或.
（3），且恒成立，
即恒成立，
则即
所以.
故的取值范围为.
20.解：（1）若，，则，故集合不具有性质；
集合中元素均为整数，满足①，且，，，满足②，
故集合具有性质.
（2）证明：①，；
②且，，则集合具有性质.
（3），.
证明：对于三元素集，不妨设，
若，则，与三元素集矛盾，所以.
若，则，与三元素集矛盾，所以.
所以，只能取0，，1中的两个不同数.
不妨设，，：
对于，集合中元素均为整数，满足①，
，，，满足②，
故集合满足性质.
对于，若，
则当时，；当时，，即.
对于，若，
则当时，；当时，，即.
综上，满足性质的所有三元素集，.