初中数学人教版（2024）八年级上册14.1.3 积的乘方教案及反思

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册14.1.3 积的乘方教案及反思，共4页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
14.1.3积的乘方
一、教学目标
1.理解并掌握积的乘方法则,会运用积的乘方法则进行积的乘方的运算.
2.掌握积的乘方法则的推导过程.
二、教学重难点
重点：掌握积的乘方法则,会运用积的乘方的运算法则进行计算.
难点：积的乘方法则的推导过程.
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]课件出示以下内容，带领学生回忆前两节所学“同底数幂的乘法”和“幂的乘方”的相关知识.学生集体回答“练一练”中的3道习题答案.
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即am∙an= am+n（m，n都是正整数）.同底数幂的乘法的性质也适用于三个及三个以上的同底数幂相乘.即am∙an∙ap= am+n+p（m，n，p都是正整数）.同底数幂的乘法的逆应用：am+n= am∙an（m，n都是正整数）.
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.即（am）n= amn（m，n都是正整数）.幂的乘方的性质也适用于三个及三个以上的幂的乘方.即[（am）n]p= amnp（m，n，p都是正整数）.幂的乘方的逆应用：amn= （am）n或 （an）m（m，n都是正整数）.
【新知探究】
知识点积的乘方
[提出问题]计算图①的面积和图②的体积(图①是边长为x4的正方形、图②是棱长为-3y3的正方体).
[学生回答]学生集体回答，根据正方形的面积公式和正方体的体积公式，可得S①= (x4)2，V②=(-3y3)3
[提出问题]（1)比较这两个算式，它们有什么不同之处？
教师给出提示：对于问题（1），可从底数来比较两者的不同，算式①的底数是幂的形式，是我们学过的幂的乘方；算式②的底数是两个因式的乘积的形式，从而引出这节课要讲的内容“积的乘方”，像算式②这样的式子就是“积的乘方”.
（2）该如何计算这两个算式呢？
[学生思考]点名学生回答，回答不完整也同样给予鼓励.对于算式①，是我们学过的幂的乘方，很容易得到结果；对于算式②，教师可提示学生“乘方的意义”“乘法交换律、结合律”“同底数幂的乘法法则”来计算.
之后教师利用多媒体展示算式①②的计算过程.
[提出问题]填空，运算过程用到哪些运算律？运算结果又什么规律？
(ab)2= (ab)∙(ab)=(a∙a)∙(b∙b)=a（ ）b（ ） ;
(2)(ab)3===a（ ）b（ ） .
[学生思考]学生根据刚才计算算式②的过程去填空，教师利用多媒体展示计算过程.
[提出问题]根据以上计算过程，类比同底数幂的乘法公式及幂的乘方公式，你能写出积的乘方公式吗?想一想：(ab)n=？
[小组讨论]学生分组讨论，教师巡视，帮助有困难的学生.教师提示学生仍然结合“乘方的意义”“乘法交换律、结合律”“同底数幂的乘法法则”来计算.
[学生回答]教师点名学生板演，并纠正错误.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下过程：
一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
因此，我们有(ab)n=anbn(n为正整数).
[归纳总结]积的乘方法则：(ab)n=anbn(n为正整数).即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下示例，方便学生理解：
[课件展示]例1 计算：(1)(2a)3 ; (2)(-5b)3 ; (3)(xy2)2 ; (4)(-2x3)4 .
解：(1)(2a)3=23·a3=8a3;
(-5b)3=(-5)3·b3=-125b3;
(xy2)2=x2·(y2)2=x2y4 ;
(4)(-2x3)4=(-2)4·(x3)4=16x12 .
提醒学生：字母前的系数不要忘记乘方.
[提出问题] (abc)n=（n为正整数）.
[学生思考]学生自己在练习本上写出推导过程.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下推导过程：
学生根据自己的推导过程，订正错误！
[归纳总结]积的乘方的性质也适用于三个及三个以上的因式的乘积的乘方，即(abc)n=anbncn（n为正整数）.
[课件展示]例2 计算：(1)(-3×102）3 ; (2) (-x3y2z)6 ; (3) -[(a+b)3 ]5 .
解：(1)(-3×102）3= (-3)3×(102)3 = -27×106 =-2.7×107;
(-x3y2z)6=(-1)6·(x3)6·(y2)6·z6=x18y12z6;
(3)-[(a+b)3]5=-()5·[(a+b)3]5=-(a+b)15 .
提醒学生：第（2）题中将“-”看成”-1”，作为一个因式去乘方；第（3)题中，将a+b看成整体.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下注意事项：
运用积的乘方法则进行计算时，应注意：
(1)公式中的a、b可以是数字、字母、单项式或多项式；
(2)每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式，尤其是字母前的系数，应连同它的符号一起乘方；
(3)当底数前为“-”时，应将其视为“-1”，作为一个因式去乘方；
(4)在积的乘方中，底数是乘积的形式，要避免出现(a+b)n=an+bn.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下变形过程，从而引出积的乘方法则的逆用：
[课件展示]例3 计算：.
分析：由于，而这两个因式的指数分别为2021，2022，故逆用积的乘方的性质可简化运算.
解：
【课堂小结】
【课堂训练】
1. (2021宿迁）下列运算正确的是（ B ）
A.2a-a=2 B.(a2)3=a6 C.a2•a3=a6 D.(ab)2=ab2
2.（2021黄石）计算（-5x3y）2正确的是（ B ）
A．25x5y2B．25x6y2 C．-5x3y2 D．-10x6y2
判断，并将错误的改正:
（2b2)3=2b6 ( × ) 改正：8b6
(3xy)3=9x3y3 ( × ) 改正：27x3y3
(3) (-a2)2=-a4 ( × )改正：a4
-(-ab2)2=a2b4 ( × )改正：-a2b4
(5) (-2x3y)3= -8x6y3 ( × )改正：-8x9y3
4.已学的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②幂的乘方，③积的乘方．在“（a2•a3）2=（a2）2（a3）2=a4•a6=a10”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的 ③②① （按运算顺序填序号）．
5.已知am=2，bm=5，则（ab）m= 10 ．
【解析】∵am=2，bm=5，（ab）m=am•bm，∴（ab）m=2×5=10．故答案为10．
计算：(1)2100×0.599=2．(2)34040×（-）2021=-．
【解析】(1)2100×0.599=2×299×(0.5)99=2×(2×0.5)99=2×1=2．故答案为2．
(2）34040×（-）2021=92020×(−)2020×(−)=(−9×)2020×(−)=(−1)2020×(−)=−．故答案为-．
7.计算下列各题：
a3•a4•a+（a2）4-（-2a4）2；
（-3x3）2-（-x2）3+（-2x）2-（-x）3;
(3)（-2anb3n）2+（a2b6）n.
解：(1)原式=a3+4+1+a8-（-2）2×（a4）2=a8+a8-4a8=-2a8；
(2)原式=（-3）2×（x3）2-（-1）3×（x2）3+（-2）2×x2-（-x3）=9x6-（-x6）+4x2+x3=10x6+x3+4x2；
(3)原式=4a2nb6n+a2nb6n=5a2nb6n.
8.用两种方法计算（am•an）2．
解：
方法一：（am•an）2=（am+n）2=a2m+2n．
方法二：（am•an）2=a2m•a2n=a2m+2n．
若(4am+nbm)3=64a15b9成立，求m、n的值.
解：(4am+nbm)3=43×(am+n)3×(bm)3=64a3(m+n)b3m=64a15b9.
则3(m+n)=15，3m=9，解得m=3，n=2.
【教学反思】
本节课的主要内容是积的乘方，由于需要用到同底数幂的乘法和幂的乘方，所以上新课之前先复习了这两个知识点.推导出积的乘方公式后，紧接着做了相应的例题，一方面加深对新知识的理解，另一方面对在计算过程中常见的错误进行及时的纠正，让学生规避误区.在课堂练习中，学生仍出现了错误：如：没有将字母前的系数乘方，丢掉“-”，同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方三者的法则混淆等等，这些需要学生加强练习，养成检验、反思的习惯，对比学习也不失为一个好的办法.