人教版（2024）八年级上册14.2.2 完全平方公式第1课时教案

这是一份人教版（2024）八年级上册14.2.2 完全平方公式第1课时教案，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

14.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
一、教学目标
1.了解并掌握完全平方公式及其结构特征.
2.理解完全平方公式的探索及推导过程，灵活应用完全平方公式进行计算和解决实际问题.
二、教学重难点
重点：完全平方公式及其结构特征.
难点：灵活应用完全平方公式进行计算.
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]什么是平方差公式？
(a+b)(a-b)=a2-b2.
(2)用语言怎么叙述？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
学生积极思考，教师带领复习平方差公式.之后利用多媒体展示如下“练一练，加强巩固：
【新知探究】
知识点1完全平方公式
[提出问题]上节课大家学习了乘法公式中的平方差公式，今天我们继续学习乘法公式.首先，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
[课件展示]教师利用多媒体展示如下四道小题：
（1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1；
（2）(m+2)2=m2+4m+4；
（3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2-2p+1；
（4）(m-2)2=m2-4m+4.
[学生回答]学生在练习本上演算，之后教师点名学生回答.
[提出问题]观察前两道小题，你有什么发现？
[学生思考]学生思考1分钟，积极举手发言，对于回答不完整的，其他学生进行补充.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画.帮助学生理解两数和的完全平方公式：
[提出问题]你能用字母表示出你发现的规律吗？
[学生回答](a+b)2=a2+2ab+b2.同时，教师提醒学生，此处2ab前是“+”，与等号左边两字母的间的符号相同.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画.帮助学生理解两数差的完全平方公式：
[提出问题]你能用字母表示出你发现的规律吗？
[学生回答](a-b)2=a2-2ab+b2.同时，教师提醒学生，此处2ab前是“-”，与等号左边两字母的间的符号相同.
[提出问题]怎样验证这两个等式的正确性呢？
[课件展示]教师利用多媒体展示如下两种验证方法.
推导方法一：用多项式乘多项式推导
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.
(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.
推导方法二：借助几何图形推导
如图①，边长为(a+b) 的正方形的面积是 (a+b)2.它的面积还可以视为两个小正方形的面积与两个小长方形的面积的和，即 a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.所以(a+b)2=a2+2ab+b2.
如图② ，边长为(a-b) 的正方形的面积是 (a-b)2.它的面积还可以视为大正方形的面积a2减去两个小长方形与一个小正方形的面积和，即a2-b(a-b)-b(a-b)-b2=a2-2ab+b2. 所以(a-b)2=a2-2ab+b2.
[归纳总结](a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号确定看前方”
完全平方公式的特点：
(1)两个公式的等号左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个“符号”不同；
(2)两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同.
[课件展示]教师利用多媒体展示以下示例，帮助学生更好地理解公式：
[课件展示]教师利用多媒体展示以下例题：
例1 运用完全平方公式计算：
(4m+n)2； (2)(y-)2.
解：(1)(4m+n)2=(4m)2+2·(4m)·n+n2=16m2+8mn+n2；
(2) (y-)2=y2-2·y·+()2=y2-y+.
例2 运用完全平方公式计算：
(1)1022；
解：(1) 1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404.
(2)992.
解:(2) 992=(100–1)2=1002–2×100×1+12=10000-200+1=9801.
提醒学生：例1中的第(1)题选用“和”的完全平方公式；第(2)题选用“差”的完全平方公式.例2中通过合理变形，利用完全平方公式，可以简化运算.
[课件展示]跟踪训练
判断下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（1）(x+y)2=x2+y2× (x+y)2=x2+2xy+y2
(2)(x-y)2=x2-y2 × (x-y)2=x2-2xy+y2
(3) (-x+y)2=x2+2xy+y2 ×(-x+y)2=x2-2xy+y2
(4) (2x+y)2=4x2+2xy+y2 ×(2x+y)2=4x2+4xy+y2
[课件展示]根据例题和跟踪训练中遇到的常见点，总结如下注意事项：
知识点2 完全平方公式的常见变形
[课件展示]教师利用多媒体展示以下“完全平方公式的变形”
[课件展示]教师利用多媒体展示以下例题：
例3 已知x-y=6，xy=-8.求:
(1)x2+y2的值；
(2)(x+y)2的值.
解：(1)∵x-y=6，xy=-8，(x-y)2=x2+y2-2xy，∴x2+y2=(x-y)2+2xy=62+2×(-8)=36-16=20；
∵x2+y2=20，xy=-8，∴(x+y)2=x2+y2+2xy=20-16=4.
方法二：(x+y)2=(x-y)2+4xy=62+4×(-8)=36-32=4.
【课堂小结】
【课堂训练】
1.（2021•宝鸡渭滨区模拟）下列各式中，与（x-1）2相等的是（ A ）
A．x2-2x+1 B．x2-2x-1 C．x2-1 D．x2
2.下列计算结果为2ab-a2-b2的是( D )
A．(a-b)2 B．(-a-b)2
C．-(a＋b)2 D．-(a-b)2
3.（2021•杭州上城区一模）若多项式9x2+mx+1是一个完全平方式，则m的值是（ B ）
A．±3B．±6C．3D．±9
【解析】∵多项式9x2+mx+1是一个完全平方式，∴9x2+mx+1=（3x+1）2或9x2+mx+1=（3x-1）2，
即9x2+mx+1=9x2+6x+1或9x2+mx+1=9x2-6x+1，∴m=6或m=-6．故选B．
4.（2021•台湾）利用乘法公式判断，下列等式何者成立？（ C ）
A．2482+248×52+522=3002
B．2482-248×48-482=2002
C．2482+2×248×52+522=3002
D．2482-2×248×48-482=2002
5.（2021•衡水模拟）若（2x+4y）2=4x2-2（m-1）xy+16y2，则m的值为 -7 ．
【解析】（2x+4y）2=4x2+16xy+16y2，∴-2（m-1）=16，解得m=-7.故答案为-7．
6.利用完全平方公式计算：
(1)(-3m-4n)2； (2)(-3a+b)2.
解:(1)原式=(3m+4n)2=9m2＋24mn＋16n2；
（2)原式=(b-3a)2=b2-6ab+9a2.
7.（2021•长沙）先化简，再求值：（x-3）2+（x+3）（x-3）+2x（2-x），其中x=．
解：原式=x2-6x+9+x2-9+4x-2x2=-2x.
当x=时，原式=-2×（）=1．
8.利用乘法公式计算：982-101×99.
解：原式=(100-2)2-(100+1)(100-1)=1002-400+4-1002+1=-395.
9.(1)已知x+y=8，xy=12，求x2-xy+y2的值．
解：∵x+y=8，xy=12，x2-xy+y2=（x+y）2-3xy
∴x2-xy+y2=82-3×12=64-36=28．
(2)已知a+b=3，且a-b=-1，求ab的值．
解：∵a+b=3，a-b=-1，
∴a2+2ab+b2=9①，a2-2ab+b2=1②，
②，得4ab=9-1=8，∴ab=2．
【教学反思】
本节课是整式这一章的重点，学生需熟练掌握.知识要点已基本达到了预期目标，做到了突出重点，兼顾难点.课上，对于公式，讲了公式的推导，使学生在理解公式，法则道理的基础上进行记忆，进而讲到公式的变形，使学生能够灵活运用公式.学生体会了数形结合及转化的数学思想，并知道猜想的结论必须要加以验证，验证之后加以总结（引导学生总结公式等号两边的特点，用文字概括公式的内容，从而培养学生抽象的数学思维能力和语言表达能力），然后再通过逐层深入的联系，巩固了完全平方公式；学生思考积极、气氛活跃，教学效果较好.