初中数学人教版（2024）八年级上册14.2.1 平方差公式第1课时教案

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册14.2.1 平方差公式第1课时教案，共4页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
14.3.2 公式法
第1课时 运用平方差公式分解因式
一、教学目标
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．
2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
二、教学重难点
重点：运用平方差公式进行因式分解.
难点：综合运用提公因式法和平方差公式进行因式分解.
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]问题：（1）上节课我们学习了哪两个知识点？①因式分解；②提公因式法分解因式
（2）什么叫因式分解？把一个多项式化成几个整式的积的形式.
（3）提公因式法分解因式的步骤？第一步：找公因式；第二步：提公因式
怎么找公因式？①看系数；②看字母；③看字母指数；④看整体；⑤确定公因式
学生积极思考，教师带领复习因式分解的概念和提公因式法的相关知识.之后教师利用多媒体展示如下“练一练”，学生积极举手回答：
【新知探究】
知识点1因式分解的定义及其意义
[提出问题]有谁还记得平方差公式的符号表达形式？
[学生回答]教师点名，学生回答：(a+b)(a-b)=a2-b2.
[提出问题]运用平方差公式计算:
（1）(x+4)(x-4)=x2-16 ;
（2）（2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b )2=4a2-9b2;
学生积极举手回答.
把上边的两个式子反过来：
（1）x2-16 =(x+4)(x-4);
（2）4a2-9b2=(2a)2-(3b )2=（2a+3b)(2a-3b).
学生能很快得到答案.教师引导学生观察等式两边的式子，引出这样的过程就是因式分解.
[学生思考]（1）你能将a2-b2分解因式吗？（2）多项式a2-b2有什么特点？
[小组讨论]对于(1)问题，教师提示可利用整式乘法与因式分解是方向相反的变形来将a2-b2分解因式;对于(2)问题，教师提示可观察减号两边的两数的特点.小组之间进行讨论，之后代表回答，对学生的每一种回答都给予肯定.
[归纳总结](1)a2-b2=(a+b)(a-b).两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
注意：这里说的“两个数”指的是a，b，而不是a2，b2，其中a，b可以是单项式，也可以是多项式.
(2)能运用平方差公式分解因式的多项式的特点：
1.必须是二项式；
2.两项异号；
3.两项是数或式的平方的形式.
[课件展示]教师利用多媒体展示以下例题：
例1 下列多项式能用平方差公式来分解因式的有②④⑤，不能的请说明原因？
①x2+y2；②-y2+x2；③-x2-y2；④-x4+y2；⑤x2-25y2；⑥m2-n2+1.
①③两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；⑥是三项式，不满足平方差公式的特点.
[归纳总结]符合“（）2-（）2”的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，可简记为“两数是平方，减号在中央”.
[课件展示]教师利用多媒体展示以下例题：
例2 分解因式.
（1）4x2-9； (2)(x+p)2-(x+q)2 .
【分析】对于第（1）题，可写成(2x)2-32的形式；对于第（2）题，可将两者都看成一个整体.
解：(1)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)；
(2)(x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q).
例3 分解因式.
(1)x4-y4； (2)a3b-ab.
【分析】对于第（1）题，可写成(x2)2-(y2)2的形式；对于第（2）题，提取公因式后才能用平方差公式进行因式分解.
解：(1)x4-y4=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)；
(2)a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).
提醒学生注意：对于第（1）题，当得到“(x2+y2)(x2-y2)”后，因为“x2-y2”还可分解，所以应继续分解；对于第（2）题，当得到“ab(a2-1)”后，因为“a2-1”还可分解，所以应继续分解.
[课件展示]跟踪训练
1.（2021•苏州模拟）若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ A ）
A．-21B．21 C．-10D．10
【解析】b2-a2=（b+a）（b-a）=3×（-7）=-21．故选A．
2.分解因式：
(1)(a+b)2-4a2； (2)9(m+n)2-(m-n)2.
【分析】对于第（1）题，可写成(a+b)2-(2a)2的形式；对于第（2）题，可写成[3(m+n)]2-(m-n)2的形式.
解：(1)原式=(a+b-2a)(a+b+2a)
=(b-a)(3a+b)；
解：(2)原式=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n)．
提醒学生注意：对于第（2）题，当得到“(4m+2n)(2m+4n)”后，因为“4m+2n”和“2m+4n”均有公因式“2”，所以还应该用提公因式法再次进行因式分解.
[课件展示]根据例题和跟踪训练中遇到的常见点，总结如下运用平方差公式进行因式分解的步骤和注意事项：
【课堂小结】
【课堂训练】
1.（2021•杭州）因式分解：1-4y2=（ A ）
A．（1-2y）（1+2y）B．（2-y）（2+y）
C．（1-2y）（2+y）D．（2-y）（1+2y）
2.下列各式中与b2-a2相等的是（ C ）
A．（b-a）2 B．（-a+b）（a-b）
C．（-a+b）（a+b） D．（a+b）（a-b）
3.小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x-y，a-b，5，x2-y2，a，x+y，a2-ab分别对应下列七个字：会、城、我、美、爱、运、丽，现将5a2（x2-y2）-5ab（x2-y2）因式分解，分解结果经密码翻译呈现准确的信息是（ B ）
A．我爱美丽城B．我爱城运会C．城运会我爱D．我美城运会
【解析】5a2（x2-y2）-5ab（x2-y2）=5a（x2-y2）（a-b）=5a（x+y）（x-y）（a-b），信息中的汉字有：我、爱、运、会、城．所以经密码翻译呈现准确的信息是我爱城运会.故选B．
4.因式分解：
(1)（2021•徐州）x2-36= （x+6）（x-6） ;
(2)（2021•乐山）4a2-9= （2a+3）（2a-3） ;
(3)9xy3-36x3y= 9xy(y+2x)(y-2x) ;
(4)（2021•株洲模拟）（x-3）2-9= x（x-6） ;
(5)-16x4+81y4= （9y2+4x2）（3y+2x）（3y-2x） ;
(6)（2021•大庆模拟）（p+1）（p-4）+3p= （p+2）（p-2） ．
5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是 4.
6.计算：101×1022-101×982.
解：101×1022-101×982
=101×（1022-982）
=101×（102+98）×（102-98）
=101×200×4
=80800．
7.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）
A．a2-2ab+b2=（a-b）2 B．a2-b2=（a+b）（a-b）
C．a2+ab=a（a+b）
【解析】（1）图1剩余部分面积=a2-b2，图2的面积=（a+b）（a-b）.故有a2-b2=（a+b）（a-b）.故选B．
（2）应用：利用所选（1）中等式两边的等量关系，完成下面题目：若x+4y=6，x-4y=5，求x2-16y2+64的值．
解：∵x+4y=6，x-4y=5．
∴x2-16y2=（x+4y）（x-4y）=30．
∴x2-16y2+64=30+64=94．
8.求证：对于任意整数n，多项式（n+7）2-（n-3）2的值都能被20整除．
【分析】要证明“对于任意整数n，多项式（n+7）2-（n-3）2的值都能被20整除”，则需证明多项式（n+7）2-（n-3）2能写成20的倍数．
证明：（n+7）2-（n-3）2=[（n+7）+（n-3）][（n+7）-（n-3）]=（n+7+n-3）（n+7-n+3）=10（2n+4）=20（n+2）.
∵n为整数，∴20（n+2）能被20整除，即多项式（n+7）2-（n-3）2的值都能被20整除．
【教学反思】
这节课学习的主要内容是运用平方差公式进行因式分解.学习时,为了避免枯燥无味，我没有直接告诉学生把平方差公式反过来运用就形成了因式分解的平方差公式，而是运用了逆向思维的方法来学习这节课的内容：首先让学生回忆平方差公式，接着就让学生利用平方差公式做两道整式乘法的运算，然后将刚才用平方差公式计算得出的两个多项式作为因式分解的题目请学生尝试，题目一出来，学生就争先恐后地回答出来了，之后就顺利地和学生们一起分析了因式分解中的平方差公式，讨论了“怎样的多项式能用平方差公式因式分解?”可以说，对新问题的引入，我是采取了由浅入深的方法，使学生对新知识不产生任何的畏惧感.接下来，通过例题的讲解、练习的巩固让学生逐步掌握了运用平方差公式进行因式分解.当然，学生做题时还存在一定的易错点，如没有仔细审题的习惯，没有先想提公因式的习惯，在结果也没有注意是否进行到每一个多项式因式都不能再分解为止等等.在今后的教学中应该结合学生的学习情况，努力挖掘学生在学习方面的优势和发现学生在学习方面的不足之处，因材施教，调整内容、改进教学方法，努力提高学生的计算能力.