初中数学人教版（2024）八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式导学案

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式导学案，共3页。学案主要包含了情景导入，感受新知，自学互研，生成新知，典例剖析，运用新知，课堂小结，回顾新知，检测反馈，课后作业等内容，欢迎下载使用。
1．理解整式乘法与分解因式的互逆变形关系，并会用平方差公式进行因式分解．
2．通过自己的实践活动去领悟、分析、总结技能、技巧，树立学习的自信心．
重点：运用平方差公式进行因式分解．
难点：熟练运用平方差公式进行因式分解．
一、情景导入，感受新知
【问题牵引】
请同学计算下列各式：
(1)(a＋5)(a－5)；(2)(4m＋3n)(4m－3n)．
【学生活动】
动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演．
(1)(a＋5)(a－5)＝a2－52＝a2－25；
(2)(4m＋3n)(4m－3n)＝(4m)2－(3n)2＝16m2－9n2.
二、自学互研，生成新知
【自主探究】
(一)阅读教材P116例3之前的部分，完成下面的内容：
填空：(5＋3)(5－3)＝52－32；
(a＋2)(a－2)＝a2－22；
(5＋b)(5－b)＝52－b2；
(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
观察上面的式子，可以得到：将乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来，就得到因式分解的平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
即：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积．
归纳：1.平方差公式分解因式的特征：
(1)左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；
(2)右边是两个数的和与两个数的差的积，而且被减数是左边平方项的系数为正的那个数．
2．运用平方差公式分解因式的条件是多项式可以写成两项的平方差的形式．
(二)阅读教材P116例3及例4(1)，进一步弄清它与乘法的平方差公式有什么关系？
【合作探究】
分解因式：(1)(7x2＋2y2)2－(2x2＋7y2)2；
解：原式＝45(x2＋y2)(x＋y)(x－y)；
(2)xn＋3－xn－1.
解：原式＝xn－1(x4－1)
＝xn－1(x2＋1)(x＋1)(x－1)．
eq \a\vs4\al(师生活动)
①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．
②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．
③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．
三、典例剖析，运用新知
【合作探究】
例1：下列各式中能用平方差公式分解因式的有________个．(填序号)
①－a2－b2；②a2－4b2；③x2－y2－4；④－9a2b2＋1；⑤(x－y)2＋(y－x)2；⑥x4－1.
【分析】①⑤是两个符号相同的平方项，不能用平方差公式分解；③是三项式，不符合平方差公式的特点；②④⑥都能写成两个数(式)的平方差，在实数范围内能够运用平方差公式．
答：3.
例2：分解因式．
(1)－eq \f(1,8)x2＋2； (2)a3b－ab3；
(3)x5－16x; (4)(a－1)＋b2(1－a)．
【分析】(1)提出公因式－eq \f(1,8)后得到的多项式为(x2－16)，能够继续分解．(2)有公因式ab，提出公因式后因式a2－b2还需要继续分解．(3)先提公因式，因式x4－16还需继续分解．(4)公因式为a－1或1－a，先变形后分解因式．
解：(1)原式＝－eq \f(1,8)(x2－16)＝－eq \f(1,8)(x＋4)(x－4)．
(2)原式＝ab(a2－b2)＝ab(a＋b)(a－b)．
(3)原式＝x(x4－16)＝x(x2＋4)(x2－4)＝x(x2＋4)(x＋2)(x－2)．
(4)原式＝(a－1)－b2(a－1)＝(a－1)(1－b2)＝(a－1)(b＋1)(1－b)．
eq \a\vs4\al(师生活动)
①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．
②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．
③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．
四、课堂小结，回顾新知
运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．
五、检测反馈、落实新知
1．下列因式分解正确的是( B )
A．a2＋b2＝(a＋b)(a＋b)
B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．－a2＋b2＝(－a＋b)(－a－b)
D．－a2－b2＝－(a＋b)(a－b)
2．分解因式：
(1)4x2y2－36y2；
解：原式＝4y2(x2－9)
＝4y2(x＋3)(x－3)；
(2)4a3b－9ab3.
解：原式＝ab(4a2－9b2)
＝ab(2a＋3b)(2a－3b)．
3．分解因式：
－(x＋2y)2＋9(x－y)2.
解：原式＝9(x－y)2－(x＋2y)2
＝[3(x－y)＋(x＋2y)][3(x－y)－(x＋2y)]
＝(4x－y)(2x－5y)．
4．用简便方法计算．
8．192×7－1.812×7.
解：原式＝7×(8.192－1.812)
＝7×(8.19＋1.81)(8.19－1.81)
＝7×10×6.38
＝446.6.
六、课后作业：巩固新知
(见学生用书)