初中数学人教版（2024）八年级上册14.2.2 完全平方公式第2课时学案

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册14.2.2 完全平方公式第2课时学案，共6页。学案主要包含了知识链接等内容，欢迎下载使用。
14．3．2 公式法
第2课时 运用完全平方公式因式分解
学习目标：1．理解并掌握用完全平方公式分解因式．
2．灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．
重点：掌握用完全平方公式分解因式．
难点：灵活应用各种方法分解因式．
自主学习
教学备注：学生在课前完成自主学习部分
一、知识链接
1．前面我们学习了因式分解的意义，并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将a2＋2a＋1分解因式吗？
2．（1）填一填：在括号内填上适当的式子，使等式成立：
①(a＋b)2＝_____________；②(a－b)2＝_____________；
③a2＋________＋1＝(a＋1)2；④a2－________＋1＝(a－1)2．
（2）想一想：①你解答上述问题时的根据是什么？

②第（1）①②两式从左到右是什么变形？第（1）③④两式从左到右是什么变形？
课堂探究
要点探究
探究点：用完全平方公式分解因式
想一想：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
这个大正方形的面积可以怎么求？
将上面的等式倒过来看，能得到： ．
要点归纳：把a²+______+b²和a²-______+b²这样的式子叫做完全平方式．
观察这两个式子：a2+2ab+b2a2－2ab+b2
（1）每个多项式有几项？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
（3）中间项和第一项、第三项有什么关系？
要点归纳：
完全平方式：a2±2ab+b2
完全平方式的特点：
1．必须是三项式（或可以看成三项的）；
2．有两个同号的数或式的平方；
3．中间有两底数之积的±2倍．
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解．
练一练：
1．对照a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：
（1）x²+4x+4= ( )²+2·( )·( )+( )²=( )²
（2）m²-6m+9=( )²-2·( )·( )+( )²=( )²
（3）a²+4ab+4b²=( )²+2·( )·( )+( )²=( )²
2．下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4；（2）1+4a²；
（3）4b2+4b-1；（4）a2+ab+b2；
（5）x2+x+0．25．
典例精析
例1：如果x2-6x+N是一个完全平方式，那么常数N是( )
A．11B．9C．-11D．-9
变式训练：如果x2-mx+16是一个完全平方式，那么常数m的值为________．
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值．计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
例2：分解因式：
（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2．
例3：把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2；（2）(a+b)2-12(a+b)+36．
要点归纳：利用公式把某些具有特殊形式（如平方差、完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．
针对训练
因式分解：
（1）－3a2x2＋24a2x－48a2；（2）(a2＋4)2－16a2．
例4：简便计算：
（1）1002－2×100×99+99²；（2）342＋34×32＋162．
例5：已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
方法总结：此类问题一般情况是将原式进行变形，将其转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质求出未知数的值，然后代入，即可得到所求代数式的值．
例6：已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
课堂小结
当堂检测
1．下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1B．a2－6a＋9C．x2＋5yD．x2－5y
2．把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x3B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2)D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3．若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．
4．若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________．
5．把下列多项式因式分解：
（1）x2－12x+36；（2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1；（3）y2+2y+1－x2．
6．计算：（1）38.92－2×38.9×48.9＋48.92；（2）20202-2020×4038+20192．
7．分解因式：（1）4x2＋4x＋1；(2)
小聪和小明的解答过程如下：
他们做对了吗？若不对，请你帮忙纠正过来．
8．（1）已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
（2）已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
参考答案
自主学习
一、知识链接
1．解：a2+2a+1=(a+1)2
2．（1）①a2+2ab+b2②a2－2ab+b2③2a④2a
（2）解：①乘法公式和因式分解
②整式的乘法 因式分解
课堂探究
要点探究
探究点：用完全平方公式分解因式
想一想：
解：如图所示．
(a+b)2=a2+2ab+b2a2+2ab+b2=(a+b)2
要点归纳 2ab 2ab
（1）三项
（2）这两项都是数或式的平方，并且符号相同
（3）中间项是第一项和第三项底数的积的±2倍
练一练：
1．（1）x x 2 2 x+2
（2）m m 3 3 m-3
（3）a a 2b 2b a+2b
2．（1）是 （2）不是 （3）不是 （4）不是 （5）是
典例精析
例1 B 解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3)，故可知N=(-3)2=9．
变式训练 ±8 解析：∵16=(±4)2，∴-m=2×(±4)，即m=±8．
例2 解：（1）16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32= (4x+3)2；
（2）-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2．
例3 解：（1）原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；
（2）原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2．
针对训练
解：（1）原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；
（2）原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2．
例4 解：（1）原式=(100－99)² =1；
（2）原式＝(34＋16)2＝2500．
例5 解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0．
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0，
∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2＝112＝121．
例6 解：△ABC是等边三角形．理由如下：
由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．
当堂检测
1．B 2．B 3．1 4．±4
5．解：（1）原式=x2－2·x·6+62=(x－6)2；
（2）原式=[2(2a+b)]²－2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b－1)2；
（3）原式=(y+1)²－x²=(y+1+x)(y+1－x)．
6．解：(1)原式＝(38.9－48.9)2＝100；
（2）原式=20202-2×2020×2019+20192=(2020-2019)2=1．
7．解：都不对．
（1）原式＝(2x)2＋2·2x·1＋1＝(2x+1)2；
（2）原式=
8．解：（1）原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2．当a－b＝3时，原式＝32＝9．
（2）原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2．当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50．
因式分解
方法
提公因式法
公式法
平方差公式
完全平方公式
公式
pa+pb+pc=________
a2-b2=__________
a2±2ab+b2=________
步骤
1．提：提____________________：
2．套：套_____________________；
3．检查：检查______________________________________________．
易错题型
1．提公因式时易出现漏项、丢系数或符号错误；2．因式分解不彻底．