四川省成都市石室中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份四川省成都市石室中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，文件包含高2026届10月月考数学试题docx、数学答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。

（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足：，则复数的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. -2C. 2D.
【答案】C
2. 在一个实验中，某种豚鼠被感染病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（ ）
A. 0.25B. 0.4C. 0.6D. 0.75
【答案】A
3. 如图，在圆锥中，轴截面的顶角，设是母线的中点，在底面圆周上，且，则异面直线与所成角的大小为（ C ）

A. B.C. D.
4. 已知三棱柱中，侧面底面，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
5. 庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
6. 两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
8. 正四面体的棱长为，是它内切球的直径，为正四面体表面上的动点，的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A. 乙发生的概率为B. 丙发生的概率为
C. 甲与丁相互独立D. 丙与丁互为对立事件
【答案】ACD
10. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上任意两点，且的长为定值，则（ ABD ）
A.点到平面的距离为定值 B.三棱锥的体积为定值
C.直线与平面所成的角为定值 D.二面角的大小为定值
11. 已知函数的定义域为，且为偶函数，则（ ）
A. B. 为偶函数
C. D.
【答案】CD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上.
12. 已知正方体的棱长为1，则点到直线的距离为_________．
【答案】
13. 把正方形沿对角线折成的二面角，分别是的中点，是原正方形的中心，则的余弦值为_________．
【答案】
14. 已知函数．直线与曲线的两个交点如图所示，若，且在区间上单调递减，则_______；_______．
【答案】 ①. ②.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在中，，将绕着旋转到的位置，如图所示．
（1）求直线与直线所成角的大小；
（2）当三棱锥的体积最大时，求平面和平面的夹角的余弦值．
【解析】
（1）取的中点，连接，
由题意可知，所以；
因为平面，所以平面；
因平面，所以，直线与直线所成角为.
（2）由题意可知三棱锥的体积最大时，平面平面；
在平面内作出，且与的延长线交于点，连接；
因为平面平面，平面平面，，
所以平面；根据旋转图形的特点可知，两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，所以；
；
，
设平面的一个法向量为，则，，
令，则；
易知平面的一个法向量为,
设平面和平面的夹角为，则.
所以平面和平面的夹角的余弦值为.
16. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组.

（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；
（2）估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数；
（3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）由直方图知：，可得，
∴500名志愿者中年龄在的人数为人. ………2分
（2）因为，，
所以第百分位数在区间内，若该数为，
∴，解得.………6分
（3）由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为，知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自， ………8分
不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，
则抽取两人的基本事件有，
，共15个，………12分
∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.………13分
17.（本小题满分15分）
在中，角的对边分别是，且．
（1）求角的大小；
（2）若，为边上的一点，，且______，求的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①是的平分线；②为线段的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
【解析】
（1）由正弦定理知，，
∵，
代入上式得，………3分
∵，∴，，
∵，∴．………5分
（2）若选①：由平分得，，
∴，即．………8分
在中，由余弦定理得，
又，∴，………10分
联立得，
解得，（舍去），
∴．………15分
若选②：因为，
所以，
即，得，………10分
在中，由余弦定理得，
即，
联立，可得，
∴．………15分
18.（本小题满分17分）
如图，正方体的棱长为，为的中点，点在上．再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题．
条件①：；条件②：；条件③：平面．
（1）求证：为的中点；
（2）求直线与平面所成角的大小；
（3）求点到平面的距离．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】
（1）证明：选条件①：由，
根据正方体的对称性，此时点为上的任意一点，所以不成立；
选条件②：．
连接，在正方体中，由平面，
因为平面，所以，
又因为，， 所以，
因为平面，所以，
又因为为的中点， 所以为的中点．………6分
选择条件 ③：平面．
连接，因为平面，平面，
且平面平面，所以所以，
因为为的中点，所以为的中点． ………6分
（2）在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则．于是，………13分
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的大小为，………15分
（3）点到平面的距离为.………17分
19. （本小题满分17分）
如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，.
（1）证明：；
（2）设直线与平面的距离为，求平面与平面的夹角的余弦值.
解法一：（1）平面，平面，故平面平面．又，平面．连结，又平面，
∵侧面为菱形，，，平面，又平面，
；………6分
（2）平面平面，故平面平面．作为垂足，则平面．………9分
又直线∥平面，因而为直线与平面的距离，．∵为的角平分线，故………12分．
作为垂足，连结，，故为二面角的平面角．………15分
由得为的中点，，
，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.………17分
解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设知与轴平行，轴在平面内．
（1）设，由题设有则由得，即（①）．于是．………6分
（2）设平面的法向量则即．
故，且．令，则，点到平面的距离为．又依题设，点到平面的距离为．代入①解得（舍去）或．于是．………10分
设平面的法向量，则，即，故且．令，则．………15分
又为平面的法向量，故，∴平面与平面的夹角的余弦值为.………17分