江苏省无锡市锡山区江苏省天一中学（实验学校）2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题(无答案)

这是一份江苏省无锡市锡山区江苏省天一中学（实验学校）2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题(无答案)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.下列方程中，是一元二次方程的有（ ）
①；②；③；④；⑤.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A.2B.C.4D.
3.如图，若点是线段的黄金分割点（），，则的长是（ ）
A.3B.C.D.
.4.方程配方后可化成的形式，则的值为（ ）
A.5B.4C.3D.1
5.如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A.B.C.D.
6.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A.B.C.且D.且
7.下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A.两个平行四边形B.两个正方形C.两个矩形D.两个菱形
8.如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为（ ）
A.3B.4C.5D.
9.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位。书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记：仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（ ）
A.B.
C.D.
10.如图，在边长为2的正方形中，是边上一动点（不含、两点），将沿直线翻折，点落在点处；在上有一点，使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接，.则以下结论中正确的是.（ ）
①；
②的周长始终不变：
③当为中点时，为线段的中垂线；
④线段的最小值为：
⑤当时，.
A.2个B.3个C.4个D.5个
二、填空题（共8小题，每小题3分，第18题第1空1分，第2空2分，共24分）
11.已知，则_______.
12.关于的方程是一元二次方程，则的值为_______.
13.如果两个相似三角形的面积之比为，这两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为_______cm.
14.若，为方程的两个实数根，则的值为_______.
15.电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，则_______.
16.已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为_______.
17.如图，，，，，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是_______.
18.如图①②，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是横轴上的一点，点在轴上，且，.
（1）如图①，当时，_______；（提示：过点作轴垂线，垂足为，交过点作轴的垂线于点）
（2）连接，设的中点为，在点从这个时刻走到这个时刻的过程中，点所走过的路线长是_______.
三、解答题（共10小题，共96分）
19.按要求解下列方程（共16分）：
（1）（配方法）（2）
（3）（公式法）（4）.
20.（6分）化简再求值：，其中是方程的根.
21.（8分）已知关于的方程
（1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰的一边，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求的周长.
22.（6分）如图，在的方格纸中有一个格点，请按要求画线段.
图1图2
（1）在图1中，过点画一条格点线段（端点在格点上），使点，分别落在边，上，且与的一边垂直.
（2）在图2中，仅用没有刻度的直尺找出上一点，上一点，连结，使和的相似比为.（保留作图痕迹）
23.（8分）如图，在平行四边形中，是边的延长线上一点，连接交于点，交对角线于点.
（1）若，，求的值：
（2）求证：.
24.（10分）无锡市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”。某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
25.（10分）材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根.
请根据上述材料解决下面问题：
（1）①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______.
②已知实数，满足：，（），则_______.
（2）已知实数、、满足：，，且，求的取值范围.
26.（10分）每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标志性景点，为了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一4米高的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，、之间有一个花田无法测量，然后在处放置一个平面镜，沿后退.退到处恰好在平面中看到树顶的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求出塔高.
27.（10分）阅读感悟：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为，则，所以.
把代入已知方程，保.
化简，得，
故所求方程为.
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”.
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）.
解决问题：
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1.则所求方程为：_______；
（2）方程的两个根与另一个一元二次方程的两个根互为倒数，求另一个一元二次方程；
（3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根.
28.（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点、点，与相交于点，线段、的长是一元二次方程的两根（），，.
（1）求点、点的坐标：
（2）求直线的解析式：
（3）在轴上是否存在点，使点、点、点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；如不存在，请说明理由.