陕西省西安市周至县第六中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷

这是一份陕西省西安市周至县第六中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），则3+2（ ）
A．（5，8，3）B．（5，﹣6，4）C．（8，16，4）D．（16，0，4）
2．（5分）下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．任意两个空间向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
3．（5分）已知，，且2∥（﹣），则（ ）
A．，y＝1B．，y＝﹣4C．x＝2，D．x＝1，y＝﹣1
4．（5分）如图，在三棱锥OABC中，点E，AC的中点，M是EF的中点，设＝，＝，＝，用，，，则＝（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）已知空间点P（﹣3，1，﹣4），则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣1，﹣4）B．（﹣3，﹣1，4）
C．（﹣3，1，4）D．（3，1，4）
6．（5分）已知空间向量＝（2，2，﹣1），＝（4，0，3），则向量在向量（ ）
A．（4，0，3）B．（4，0，3）
C．（2，2，﹣1）D．（2，2，﹣1）
7．（5分）已知{，，}为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
8．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，则与向量相等的是（ ）
A．B．C．D．
9．（5分）设x，y，z∈R，向量，且，则＝（ ）
A．B．C．3D．9
10．（5分）已知直线l和平面α所成的角为，则直线l和平面α内任意直线所成的角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．（5分）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ ）
A．﹣1B．C．D．
12．（5分）如图，已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长和高分别为2和1，若点E是棱PD的中点（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共4题；共20分）
13．（5分）已知＝（3，﹣2，3），则）＝ ．
14．（5分）已知直线l过点A（1，2，0），且直线l的一个方向向量为，则坐标原点O到直线l的距离d为 ．
15．（5分）已知＝（5，3，1），＝（﹣2，t，﹣），若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 ．
16．（5分）如图，空间四边形ABCD的各边长均相等，AB⊥AD，平面ABD⊥平面CBD，给出下列四个结论：
①AC⊥BD；
②异面直线AB与CD所成的角为60°；
③△ADC为等边三角形；
④AB与平面BCD所成的角为60°．
其中正确结论的序号是 .（请将正确结论的序号都填上）
三、解答题（共6题；共70分）
17．（10分）已知＝（3，a，a﹣b）（a，b∈R）是平面β的一个法向量，＝（1，2，3）是平面α的一个法向量．
（1）若α∥β，求a，b的值；
（2）若α⊥β，求a，b的关系式．
19．（12分）在正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，OC的中点．设，，．
（1）用，，表示，；
（2）用向量方法证明：E，F，G，H四点共面．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D为BC的中点．
（1）证明：A1B∥平面ADC1；
（2）证明：平面ADC1⊥平面BB1C1C．
21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD（如图），四边形ABCD为正方形，面PAB⊥面ABCD，M为AD中点．
（1）求证：PC⊥BM；
（2）求直线PC与平面PBM所成角的余弦值．
22．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面A1ADD1是正方形．
（1）证明：A1D⊥平面ABD1；
（2）若AD＝2，AB＝4，求二面角B1﹣AD1﹣C的余弦值．
2023-2024学年陕西省西安市周至六中高二（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12题；共60分）
1．（5分）已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），则3+2（ ）
A．（5，8，3）B．（5，﹣6，4）C．（8，16，4）D．（16，0，4）
【分析】由空间向量运算法则直接运算即可．
【解答】解：由题可得，＝（9，3，8，0）＝（2，8，
故选：A．
【点评】本题考查了空间向量运算及其坐标表示，属于基础题．
2．（5分）下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．任意两个空间向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
【分析】根据已知条件，结合零向量的定义，以及相等向量的定义，即可依次求解．
【解答】解：对于A，零向量方向是任意的，
则零向量与任意向量平行，故A正确，
对于B，平面由两个不平行的向量确定，
故任意两个空间向量一定共面，故B正确，
对于C，零向量方向是无限的，故C错误，
对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量．
故选：C．
【点评】本题主要考查零向量的定义，以及相等向量的定义，属于基础题．
3．（5分）已知，，且2∥（﹣），则（ ）
A．，y＝1B．，y＝﹣4C．x＝2，D．x＝1，y＝﹣1
【分析】根据已知条件，结合空间向量平行的性质，即可求解．
【解答】解：，，且2﹣），
则，，
∵2∥（﹣），
∴，即，解得．
故选：B．
【点评】本题主要考查空间向量平行的性质，属于基础题．
4．（5分）如图，在三棱锥OABC中，点E，AC的中点，M是EF的中点，设＝，＝，＝，用，，，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．
【解答】解：∵F是AC的中点，＝，＝，
∴，
∵E是OB的中点，＝，
∴＝＝＝+＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
5．（5分）已知空间点P（﹣3，1，﹣4），则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣1，﹣4）B．（﹣3，﹣1，4）
C．（﹣3，1，4）D．（3，1，4）
【分析】根据空间坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数即可求解结论．
【解答】解：已知点P（﹣3，1，﹣5），纵坐标不变，
可得：点P关于y轴对称的点的坐标为 （3，1，4）．
故选：D．
【点评】本题考查了空间中的点的坐标，点关于x轴，y轴及原点对称时横纵坐标的符号，属于基础题．
6．（5分）已知空间向量＝（2，2，﹣1），＝（4，0，3），则向量在向量（ ）
A．（4，0，3）B．（4，0，3）
C．（2，2，﹣1）D．（2，2，﹣1）
【分析】根据已知条件，结合空间向量投影公式，即可求解．
【解答】解：空间向量＝（2，2，＝（6，0，
则，，
故向量在向量＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间向量投影公式，属于基础题．
7．（5分）已知{，，}为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【分析】根据已知条件，结合空间向量的共面定理，即可求解．
【解答】解：∵，＝，，
∴A，C，D中的向量共面，
对于B，假设，，，
则存在λ，μ使得，
∴，无解，
∴，，不共面．
故选：B．
【点评】本题考查了向量基底定义的理解与应用，以及空间向量共面定理的运用，属于基础题．
8．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，则与向量相等的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，由空间向量的三角形法则分析可得答案．
【解答】解：根据题意，＝+＝++＝+﹣＝+﹣，
故选：A．
【点评】本题考查空间向量的加减运算，涉及空间向量加法减法的三角形法则，属于基础题．
9．（5分）设x，y，z∈R，向量，且，则＝（ ）
A．B．C．3D．9
【分析】根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，求出x，y，z，再结合向量模公式，即可求解．
【解答】解：向量，且，
则2x﹣4+4＝0，解得x＝1，，z＝1，
故，，，
则＝（4，6），
所以＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量平行、垂直的性质，以及向量模公式，属于基础题．
10．（5分）已知直线l和平面α所成的角为，则直线l和平面α内任意直线所成的角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据线面角的定义和l在α内的射影与平面α内的直线垂直，即可求解．
【解答】解：已知直线l和平面α所成的角为，
根据线面角的定义，线面角是平面外的直线与平面内所有直线所成角中最小的角，
当l在α内的射影与平面α内的直线垂直时，l与之所成的角为．
故选：D．
【点评】本题考查了线面角和异面直线所成的角，属于基础题．
11．（5分）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ ）
A．﹣1B．C．D．
【分析】根据空间向量的坐标运算结合向量垂直的坐标表示运算求解．
【解答】解：由题意可得：，
若与互相垂直，则．
故选：D．
【点评】本题考查了向量坐标的数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件，是基础题．
12．（5分）如图，已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长和高分别为2和1，若点E是棱PD的中点（ ）
A．B．C．D．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
【解答】解：连接AC，BD，
由题意，以O为原点的方向为x轴，z轴的正方向，如图，
由正四棱锥P﹣ABCD的底面边长和高分别为2和1，可得AC＝BD＝6，
∴P（0，4，1），﹣，7），，0），0，0），0，），
∴＝（0，﹣，＝（﹣，﹣，），
设异面直线PA与CE所成角为θ，
则异面直线PA与CE所成角的余弦值为：
csθ＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二、填空题（共4题；共20分）
13．（5分）已知＝（3，﹣2，3），则）＝ ﹣12 ．
【分析】直接代入计算即可．
【解答】解：∵＝（3，3），
∴+＝（2，﹣1），
∴）＝﹣5+4×（﹣2）+1×（﹣5）＝﹣12，
故答案为：﹣12．
【点评】本题主要考查空间向量数量积的求解，考查计算能力，属于基础题．
14．（5分）已知直线l过点A（1，2，0），且直线l的一个方向向量为，则坐标原点O到直线l的距离d为 ．
【分析】根据空间中点到直线距离公式计算即可．
【解答】解：由题知，直线l过点A（1，2，且直线l的方向向量为，8，0），
所以，
所以点O（0，4，0）到l的距离为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查空间中点到直线距离公式，属于基础题．
15．（5分）已知＝（5，3，1），＝（﹣2，t，﹣），若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 （﹣∞，﹣）∪（﹣，） ．
【分析】利用空间向量夹角公式直接求解．
【解答】解：∵＝（5，3，＝（﹣4，t，﹣），与，
∴＝6×（﹣2）+3t+5×（﹣，
解得t＜．
又＝（8，3＝（﹣2，t，﹣，
由＝（5，5＝（﹣2，t，﹣，可得＝，
解得t＝﹣，
∴实数t的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，）．
故答案为：（﹣∞，﹣）∪（﹣，）．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（5分）如图，空间四边形ABCD的各边长均相等，AB⊥AD，平面ABD⊥平面CBD，给出下列四个结论：
①AC⊥BD；
②异面直线AB与CD所成的角为60°；
③△ADC为等边三角形；
④AB与平面BCD所成的角为60°．
其中正确结论的序号是 ①②③ .（请将正确结论的序号都填上）
【分析】将空间四边形ABCD放入到底面棱长分别为1，2，高为1的长方体中．再分别分析线线垂直得线面垂直，线线垂直，通过线段长度得等边三角形，根据线面垂直得线面角．
【解答】解：由题意，不妨将空间四边形ABCD放入到底面棱长分别为1，2．
如图所示，过点C作CO⊥BD于O．
对于①，因为四边形ABCD的各边长均相等且AB⊥AD，
因为AB＝AD，从而可知BD⊥AO，OC⊂平面AOC，
所以BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，故①正确；
对于②，将AB平移到OE，连接EF，
所以在△OEF中，，
从而可知异面直线AB与CD所成的角为60°，故②正确；
对于③，易得；
对于④，由②可知AO⊥平面BCD，故④不正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查异面直线所成的角，考查学生的运算能力及空间想象能力，属于中档题．
三、解答题（共6题；共70分）
17．（10分）已知＝（3，a，a﹣b）（a，b∈R）是平面β的一个法向量，＝（1，2，3）是平面α的一个法向量．
（1）若α∥β，求a，b的值；
（2）若α⊥β，求a，b的关系式．
【分析】（1）由面面平行可得∥，利用向量平行的性质能求出a，b的值；
（2）由面面垂直可得⊥，利用向量垂直数量积为0可得a，b的关系式．
【解答】解：（1）∵＝（3，a，b∈R）是平面β的一个法向量，
＝（1，3，3）是平面α的一个法向量，
若α∥β，则∥，
∴＝＝，解得a＝7．
（2）∵＝（3，a，b∈R）是平面β的一个法向量，，2，5）是平面α的一个法向量，
若α⊥β，则⊥，
∴3+2a+4（a﹣b）＝0，
可得5a﹣8b+3＝0．
【点评】本题考查平面的法向量，面面平行、垂直的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
19．（12分）在正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，OC的中点．设，，．
（1）用，，表示，；
（2）用向量方法证明：E，F，G，H四点共面．
【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解，
（2）利用共面向量基本定理即可求证．
【解答】解：（1）因为E，F分别是OA，所以，
因为F，G分别是AB，所以FG∥AC且，
所以．
（2）证明：因为，
＝，，
又，
所以，所以E，F，G．
【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D为BC的中点．
（1）证明：A1B∥平面ADC1；
（2）证明：平面ADC1⊥平面BB1C1C．
【分析】（1）以A1为原点，A1C1为x轴，A1B1为y轴，A1A为z轴，建立空间直角坐标系，求出向量＝（0，2，2）和平面ADC1的法向量，由＝0，且A1B⊄平面ADC1，能证明A1B∥平面ADC1．
（2）分别求出平面BB1C1C的法向量和平面ADC1的法向量，由两个平面的法向量的数量积为0，能证明平面ADC1⊥平面BB1C1C．
【解答】（1）证明：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C6中，AB⊥AC，
∴以A1为原点，A1C8为x轴，A1B1为y轴，A6A为z轴，
建立空间直角坐标系，设AB＝AC＝AA1＝2，
A3（0，0，8），2，2），6，2），
C（2，5，2），1，2），C1（2，6，0），
＝（2，2，2），，2，0），，5，﹣2），
设平面ADC1的法向量＝（x，y，
则，取x＝1，得，﹣7，
∵＝0﹣3+2＝08B⊄平面ADC1，
∴A1B∥平面ADC2．
（2）证明：∵＝（1，0），，﹣1，
设平面BB1C2C的法向量＝（a，b，
则，取a＝1，得，5，0），
又平面ADC1的法向量＝（7，1），
＝1﹣7+0＝0，
∴平面ADC3⊥平面BB1C1C．
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD（如图），四边形ABCD为正方形，面PAB⊥面ABCD，M为AD中点．
（1）求证：PC⊥BM；
（2）求直线PC与平面PBM所成角的余弦值．
【分析】（1）运用面面垂直性质定理证得PO⊥面ABCD，以O为原点建立空间直角坐标系，运用空间向量坐标法证明线线垂直．
（2）运用空间向量坐标法求线面角的正弦值，再运用同角三角函数的平方关系可得其余弦值．
【解答】（1）证明：取AB中点O，连接OP，交CD于E，
∵PA＝PB＝AB，∴△PAB为等边三角形，
又∵O为AB中点，∴PO⊥AB，
又面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD＝AB，
∴PO⊥面ABCD，∴PO⊥OE．
以O为原点，OB，OP所在直线分别为x，y，
因为PA＝AB＝2．
则，
所以，
所以PC⊥BM．
（2），
设平面PBM的一个法向量为，
则有，即，
令x＝3，则，
所以，
设直线PC与平面PBM所成角为θ，
则，
因为，所以，
所以直线PC平面PBM所成角的余弦值为．
【点评】本题考查了利用向量法证明线线垂直以及计算空间角的问题，属于中档题．
22．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面A1ADD1是正方形．
（1）证明：A1D⊥平面ABD1；
（2）若AD＝2，AB＝4，求二面角B1﹣AD1﹣C的余弦值．
【分析】（1）由AB⊥平面ADD1A1，可得AB⊥A1D，由四边形A1ADD1是正方形，可得AD1⊥A1D，进而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得余弦值．
【解答】解：（1）证明：如图1，在长方体ABCD﹣A1B8C1D1中，
∵AB⊥平面ADD6A1，
又A1D在平面ADD7A1内，
∴AB⊥A1D，
∵四边形A3ADD1是正方形，
∴AD1⊥A2D，
又AB∩AD1＝A，
∴A1D⊥平面ABD8；
（2）如图2，以点D为坐标原点，
则A（2，5，0），4，5），D1（0，3，2），B1（2，4，2），故，
设平面ACD1的一个法向量为，则，可取，
同理可求平面AD1B1的一个法向量为，
∴，
观察可得二面角B1﹣AD1﹣C为锐角，其余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/17 14:05:53；用户：语数外；邮箱：15290311958；学号：48861359