江西省南昌市第十中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

这是一份江西省南昌市第十中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分。考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．若直线的倾斜角为，则实数值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（ ）
A．B．或C．0或D．0或
5．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，直线，，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
7．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时直线的方程分别为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．2C．D．3
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下面四个结论正确的是（ ）
A．若，，三点不共线，面外任一点，有，则，，，四点共面
B．有两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则
C．已知向量，，若，则为钝角
D．已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象表示过原点的所有直线
B．函数的最小值为5
C．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为
D．若将直线上一点向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，仍在该直线上，则该直线的斜率为
11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（不含端点，），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．不存在点，使得异面直线与所成的角为30°
C．三棱锥体积的取值范围为
D．当点运动到中点时，与平面所成的余弦值为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．直线和直线平行，则它们之间的距离为__________.
13．定义若向量，向量为单位向量，则的取值范围是__________.
14．已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题13分）已知的三个顶点为，，.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
16．（本小题15分）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，为与的交点，若，，.
（1）用，，表示；
（2）求对角线的长；
（3）求.
17．（本小题15分）已知直线.
（1）证明：直线过定点；
（2）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程.
18．（本小题17分）如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．（本小题17分）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为：；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为.
（1）若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）
（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数的值；
（3）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.
高二上学期第一次月考数学参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【答案】A
解：因为点关于平面对称点的坐标为，所以点关于平面对称点的坐标为.
故选A.
2．【答案】C
解：由题知，，解得.
故选：C.
3．【答案】B
解：设直线上任意与点不重合的一点为，由题意有与共线，
所以，整理得的方程为，
又点在直线上，且点满足方程，
综上所述，的方程为.
故选：B.
4．【答案】C
解：，
，
与互相垂直，
，解得或.
故选：C.
5．【答案】B
【详解】以为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
所以异面直线与所成角的余弦值等于
，故选：B.
6．【答案】C
解：因为，所以，即，
因为，，所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为8.
故选：C.
7．【答案】A
【解析】将直线变形得，
由，解得，因此直线过定点，
当时，
点到直线的距离最大，
最大值为，又直线的斜率，
所以直线的方程为，即.故选：A.
8．【答案】C
解：如图，取的中点为，连接、、.
，点是的中点，.
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，.
又底面是矩形，、是、中点，.
以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴
建立空间直角坐标系如图所示，由，，，
得，.
，，，则，，
设，则，，
，
，
向量的单位方向向量，
则，
因此点到直线的距离，
当时，取最小值，
线段上的动点到直线的距离的最小值为.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．【答案】AD
解：对A，由可得，，
即，
所以，，，四点共面，A正确；
对B，由题，，所以，不共线，故与不平行，B错误；
对C，当，共线时，有，解得，
若为钝角，则，解得且，C错误；
对D，由，所以与所成角为，D正确；
综上，正确的是AD.
10．【答案】BD
解：对于A：函数不能表示与轴重合的直线，故A不正确；
对于B：
，
表示点与，距离之和，
如图所示，当三点，，不共线时，，
当三点，，共线时，，
所以的最小值为，故B正确；
对于C：当直线与两坐标轴的截距为0时，即直线过原点时，设直线方程为，
把点代入，得，所以直线方程为.
当直线不过原点时，设直线方程为，即，
把点代入，得，所以直线方程为.
综上直线方程为或，故C不正确；
对于D：设直线的方程为，
沿着轴向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得，
即，
所以，即，故D正确.
故本题选BD.
11．【答案】BC
解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
因为是线段上的一个动点（不含端点，），
则可设，，
则，，当时，
则，得，又，
所以不存在点，使得，故A错误；
对于B，结合A选项，
易得，异面直线与所成的角为30°，由图可知与的夹角为锐角，
则，即，
解得，又，
所以不存在点，使得异面直线与所成的角为30°，故B正确；
因为为中点，所以到平面的距离为，
对于C，，易知到平面的距离，
点，，位于平面内，易知直线的方程为，即，
结合A选项可知平面内，点坐标为，，
则点到直线的距离为，因为，
所以，所以，所以，
即，故C正确；
对于D，结合A选项，易知，设平面的一个法向量，，
当点运动到中点时，，则，
令，则，，可得，则，
设直线与平面所成的角，则，故D错误.
故选BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．【答案】
【解答】由题意得，，将变形为，由两条平行直线间的距离公式得距离.
13．【答案】.
【解析】由题意知，，设，则.
又，则，故.
故答案为：
14．【答案】
解：作出点关于直线的对称点，作出点关于直线的对称点，
则，，三点共线，，，三点共线，即，，，四点共线，
得，
易得，，直线的方程是，设，
则得，即，
.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．【答案】（1）（2）.
【解析】（1）因为的三个顶点为，，，
所以直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的斜率为，
所以直线的方程为，
化为一般式方程为 6分
（2）因为，，所以的中点为，
又因为，，所以直线的斜率为，
所以直线的点斜式方程为，
化为一般式为 13分
16．【答案】解：（1）连接，，，如图：
，，
在，根据向量减法法则可得：，
底面是平行四边形，，
且，，
又为线段中点，，
在中； 5分
（2）顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°
，，
由（1）可知，
平行四边形中，故：，
，
，故对角线的长为. 10分
（3），，
又
. 15分
17．【答案】解：（1）直线的方程可化为，
由，解得
故无论取何值，直线总过定点； 3分
（2）直线的方程可化为，则直线在轴上的截距为，
且直线总过定点，故要使直线不经过第四象限，
则，解得 8分
（3）依题意，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
，.
又且，，
故，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为4，此时直线的方程为 15分
18．【答案】解：（1）证明：，，，，
，，
平面，又平面，.
又，，平面，平面 4分
（2）以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，，，
，，令，则，，.
设平面的法向量为，，，
，令，则，，，
，
平面与平面夹角的余弦值为， 10分
（3）假设存在点，设，，，
，，.
由（2）知平面的一个法向量为，
由，得，即，
或，或. 17分
19．【解析】（1）记平面，的法向量为，，设直线的方向向量，
因为直线为平面和平面的交线，
所以，，即，取，则，
所以直线的单位方向向量为 4分
（2）设，
由平面经过点，，，
所以，解得，即，
所以记平面、、的法向量为，，，
与（1）同理，与确定的交线方向向量为，
所以，即，解得 10分
（3）由集合知，由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示，
，，
设几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为，
平面，设平面法向量，
平面，设平面法向量，
所以，
所以几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为. 17分