甘肃省兰州市第九中学2024年数学九年级第一学期开学联考模拟试题【含答案】

这是一份甘肃省兰州市第九中学2024年数学九年级第一学期开学联考模拟试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）一次函数y=kx+1，y随x的增大而减小，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、（4分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：
要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4、（4分）如图1，动点K从△ABC的顶点A出发，沿AB﹣BC匀速运动到点C停止．在动点K运动过程中，线段AK的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中点Q为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是5，则图2中a的值为（ ）
A．B．5C．7D．3
5、（4分）在ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4B．3：4：4：3C．3：3：4：4D．3：4：3：4
6、（4分）下列关于一次函数的说法中，错误的是（ ）
A．函数图象与轴的交点是
B．函数图象自左至右呈下降趋势，随的增大而减小
C．当时，
D．图象经过第一、二、三象限
7、（4分）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在平面直角坐标系中，将直线y=-2x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到直线的解析式是__________。
10、（4分）一架5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距离墙脚，若梯子的顶端下滑，则梯足将滑动______．
11、（4分）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是__________．
12、（4分）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点在坐标原点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，，为边的中点，是边上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标为_________.
13、（4分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是___．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系，请结合图象解答下列问题：
（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是 （填l1或l2）；甲的速度是 km/h，乙的速度是 km/h；
（2）求出l1，l2的解析式，并标注自变量的取值范围。
15、（8分）如图
如图1，四边形ABCD和四边形BCMD都是菱形，
（1）求证：∠M=60°
（2）如图2，点E在边AD上，点F在边CM上，连接EF交CD于点H，若AE=MF，求证：EH=HF；
（3）如图3，在第(2)小题的条件下，连接BH，若EF⊥CM，AB=3，求BH的长
16、（8分）如图，已知在△ABC中，D为BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF为平行四边形．
（2）当四边形ADCF为矩形时，AB与AC应满足怎样的数量关系？请说明理由．
17、（10分）计算：
（1）
（2）
（3）（3+）（3﹣）
（4）（﹣3）﹣2+﹣|1﹣2|﹣（﹣3）0
18、（10分）如图，矩形放置在平面直角坐标系上，点分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标是，其中，反比例函数y= 的图象交交于点.

（1）_____（用的代数式表示）
（2）设点为该反比例函数图象上的动点，且它的横坐标恰好等于，连结.
①若的面积比矩形面积多8，求的值。
②现将点绕点逆时针旋转得到点，若点恰好落在轴上，直接写出的值.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在平面直角坐标xOy中，点O是坐标原点，点B的坐标是(m，m-4)，则OB的最小值是__________．
20、（4分）若方程x2﹣x＝0的两根为x1，x2(x1＜x2)，则x2﹣x1＝______．
21、（4分）如图所示，为了安全起见，要为一段高5米，斜边长13米的楼梯上红地毯，则红地毯至少需要________米长。
22、（4分）若，则的值是________
23、（4分）如图，直线y＝﹣x+4分别与x轴，y轴相交于点A，B，点C在直线AB上，D是坐标平面内一点，若以点O，A，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知：如图，在梯形中，，，是上一点，且，，求证：是等边三角形.
25、（10分）如图，已知四边形为平行四边形，于点，于点．
（1）求证：；
（2）若、分别为边、上的点，且，证明：四边形是平行四边形．
26、（12分）如图，已知AD=BC，AC=BD．
（1）求证：△ADB≌△BCA；
（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
总的来说，用不等号(,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式.根据不等式的定义即可判定A错误，其余选型根据不等式的性质判定即可.
【详解】
A: a＞b，则a-5＞b-5，故A错误；
B:a＞b, -a＜-b，则-2a＜-2b， B选项正确.
C：a＞b， a+3＞b+3，则＞,则C选项错误.
D：若0＞a＞b时，a2＜b2，则D选项错误.
故选B
本题主要考查不等式的定义及性质.熟练掌握不等式的性质才能避免出错.
2、C
【解析】
根据函数的增减性及解析式判断函数图象所经过的象限即可．
【详解】
∵一次函数y=kx+1，y随x的增大而减小，∴k＜0，
∵1＞0，∴函数图象经过一、二、四象限．
故选C．
首先能够根据待定系数法正确求出直线的解析式．在直线y=kx+b中，
当k＞0，b＞0时，函数图象过一、二、三象限，y随x增大而增大；
当k＞0，b＜0时，函数图象过一、三、四象限，y随x增大而增大；
当k＜0，b＞0时，函数图象过一、二、四象限，y随x增大而减小；
当k＜0，b＜0时，函数图象过二、三、四象限，y随x增大而减小．
3、B
【解析】
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，选出方差最小，而且平均数较大的同学参加数学比赛．
【详解】
解：∵3.6＜7.4＜8.1，
∴甲和乙的最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定，
∵95＞92，
∴乙同学最近几次数学考试成绩的平均数高，
∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙．
故选B．
此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
4、A
【解析】
根据题意可知AB＝AC，点Q表示点K在BC中点，由△ABC的面积是1，得出BC的值，再利用勾股定理即可解答.
【详解】
由图象的曲线部分看出直线部分表示K点在AB上，且AB＝a，
曲线开始AK＝a，结束时AK＝a，所以AB＝AC．
当AK⊥BC时，在曲线部分AK最小为1．
所以 BC×1＝1，解得BC＝2．
所以AB＝．
故选：A．
此题考查动点问题的函数图象,解题关键在于结合函数图象进行解答.
5、D
【解析】
分析：根据平行四边形的性质：平行四边形的两组对角分别相等即可判断．
详解：根据平行四边形的两组对角分别相等．可知D正确．
故选D．
点睛：本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形对角线互相平分.
6、D
【解析】
根据一次函数的图像与性质即可求解.
【详解】
A. 函数图象与轴的交点是，正确；
B. 函数图象自左至右呈下降趋势，随的增大而减小，正确
C. 当时，解得，正确
D. 图象经过第一、二、四象限，故错误.
故选D.
此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的性质.
7、C
【解析】
原式各项利用二次根式的化简公式计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
（A）＝2，是4的算术平方根，为正2，故A错；
（B）由平方差公式，可得：＝3，正确。
（C）＝2，故错；
（D）、没有意义，故错；
选C。
此题考查算术平方根，解题关键在于掌握运算法则
8、C
【解析】
求出两个不等式的解集，再根据有解列出不等式组求解即可：
【详解】
解，
∵不等式组有解，∴2m＞2﹣m.
∴ .故选C.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、y=-2x-2
【解析】
利用平移中点的变化规律：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，求解即可．
【详解】
将直线y=−2x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移一个单位，得到的直线的解析式是：y=−2(x+2)+1+1=−2x−2，即y=−2x−2.
本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．
10、
【解析】
根据条件作出示意图，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：由题意可画图如下：
在直角三角形ABO中，根据勾股定理可得，，
如果梯子的顶度端下滑1米，则．
在直角三角形中，根据勾股定理得到：，
则梯子滑动的距离就是．
故答案为：1m．
本题考查的知识点是勾股定理的应用，根据题目画出示意图是解此题的关键．
11、
【解析】
由图可知：a＜0，a﹣b＜0，则原式=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b=．故答案为．
12、 (1,0)
【解析】
作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，用待定系数法，求出直线CD′的解析式，然后求得与x轴的交点坐标即可.
【详解】
作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，
∵OB=4，OA=3，D是OB的中点，
∴OD=2，则D的坐标是（0，2），C的坐标是（3，4），
∴D′的坐标是（0，-2），
设直线CD′的解析式是：y=kx+b（k≠0），
则
解得：，
则直线的解析式是：y=2x-2，
在解析式中，令y=0，得到2x-2=0，
解得x=1，
则E的坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）.
本题考查了路线最短问题，以及待定系数法求一次函数的解析式，正确作出E的位置是解题的关键．
13、1
【解析】
通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．
【详解】
如图，根据题意，AD=AC=6，，，
，
，即，
，
，
这个风车的外围周长是，
故答案为1．
本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）l2，30，20；（2）l1：s=-30t+60（0≤t≤2），l2：s=20t-10（0.5≤t≤3.5）
【解析】
（1）观察图象即可知道乙的函数图象为l2，根据速度=路程÷时间，利用图中信息即可解决问题；
（2）根据待定系数法分别求出l1，l2的解析式即可；
【详解】
解：
(1)由题意可知，乙的函数图象是l2，
甲的速度为：=30km/h，
乙的速度为：=20km/h.
故答案为：l2，30，20；
（2）设l1对应的函数解析式为，l2对应的函数解析式为，
将(0，60)，(2，0)代入中，可得，
，解得，
∴l1对应的函数解析式为：s1=-30t+60（0≤t≤2）；
将(0.5，0)，(3.5，60)代入中，可得，
，解得，
∴l2对应的函数解析式为s2=20t-10（0.5≤t≤3.5）；
本题主要考查了一次函数的应用，掌握一次函数的性质，用待定系数法求解析式是解题的关键.
15、（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）
【解析】
（1）利用菱形的四条边相等，可证CD=DM=CM=AD，就可得到△CDM是等边三角形，再利用等边三角形的三个角都是60°，就可求出∠M的度数；
（2）过点E作EG∥CM交CD的延长线于点G，可得到∠G=∠HCF，先证明△EDG是等边三角形，结合已知条件证明EG=CF，利用AAS证明△EGH≌△FCH，再根据全等三角形的对应边相等，可证得结论；
（3）设BD，EF交于点N，根据前面的证明可知BD=CD=AB=3，∠M=∠CDM=60°，DE=CF，再利用垂直的定义及三角形内角和定理可求出∠HED，∠EHD的度数，从而利用等腰三角形的判定和性质，可证得ED=DH=CF，可推出CD=3DH，就可求出DH的长，然后利用解直角三角形分别求出BN，NH的长，再利用勾股定理就可求出BH的长.
【详解】
（1）证明：∵ 四边形ABCD和四边形BCMD都是菱形，
∴BC=CD=AD，BC=DM=CM
∴CD=DM=CM=AD，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠M=60°。
（2）解： 如图2，过点E作EG∥CM交CD的延长线于点G，
∴∠G=∠HCF=60°，∠GED=∠M=60°，
∴∠G=∠GED=∠EDG=60°，
∴△EDG是等边三角形
∴EG=DE；
∵AD=CM，AE=MF，
∴DE=CF，
∴EG=CF；
在△EGH和△FCH中，
∴△EGH≌△FCH（AAS）
∴EH=FH.
（3）解： 如图3，设BD，EF交于点N，
由（1）（2）的证明过程可知BD=CD=AB=3，∠M=∠CDM=60°，DE=CF，
∵EF⊥CM，
∴∠EFM=90°，
∴∠HED=90°-60°=30°，
∠CDM=∠HED+∠EHD=60°
∴∠EHD=60°-30°=30°=∠HED=∠CHF
∴ED=DH=CF，
在R△CHF中，∠CHF=30°
∴CH=2CH=2DH，
∴CD=CH+DH=3DH=3
解之：DH=CF=1
∵菱形CBDM，EF⊥CM
∴BD∥CM
∴EF⊥BD；
∴∠DNH=∠BNH=90°，
在Rt△DHN中，∠DHN=30°，DH=1
∴DN=DHsin∠30°=，
NH=DHcs30°=；
∴BN=BD-DN=3-=，
在Rt△BHN中，
BH=.
本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
16、（1）详见解析；（2）四边形ADCF为矩形时AB＝AC，理由详见解析.
【解析】
（1）利用△AEF≌△DEB得到AF＝DB，所以AF＝DC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形ADCF为平行四边形；
（2）利用等腰三角形的性质以及矩形的性质得出即可．
【详解】
（1）∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠EDB，∠AFE＝∠EBD．
又∵AE=ED，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
又∵BD＝DC，
∴AF＝DC，
∴四边形ADCF为平行四边形；
（2）四边形ADCF为矩形时AB＝AC；
理由：∵四边形ADCF为矩形，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵D为BC的中点，
∴AB＝AC，
∴四边形ADCF为矩形时AB＝AC．
此题主要考查了矩形的性质和全等三角形的判定等知识，利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的性质是解题关键．
17、（1）-；（2）5；（3）4；（5）.
【解析】
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式和二次根式的乘法法则运算；
（3）利用平方差公式计算；
（4）根据负整数指数幂的意义、零指数幂的意义和绝对值的意义计算．
【详解】
解：（1）原式＝2﹣2+﹣3
＝；
（2）原式＝2﹣2+3+6
＝5﹣2+2
＝5；
（3）原式＝9﹣5
＝4；
（4）原式＝+2+1﹣2﹣1
＝．
本题考查了二次根式的四则混合运算，掌握运算法则是解决本题的关键.
18、（1）m﹣1；（2）①m2＝2；②m=2+2．
【解析】
（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，结合点B的坐标可得出BD的长；
（2）①过点P作PF⊥AB于点E，则PF＝m﹣1，由△PBD的面积比矩形OABC面积多8，可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
②过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥x轴于点N，易证△DPM≌△EPN，利用全等三角形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，可得出关于m的方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）当x＝1时，y=＝1，
∴点D的坐标为（1，1），
∴BD＝AB﹣AD＝m﹣1．
故答案为：m﹣1．
（2）①过点P作PF⊥AB于点E，则PF＝m﹣1，如图1所示．
∵△PBD的面积比矩形OABC面积多8，
∴BD•PF﹣OA•OC＝8，即（m﹣1）2﹣1m＝8，
整理，得：m2﹣2m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝2．
②过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥x轴于点N，如图2所示．
∵∠DOM+∠MPE＝90°，∠MPE+∠EPN＝90°，
∴∠DPM＝∠EPN．
在△DPM和△EPN中，，
∴△DPM≌△EPN（AAS），
∴PM＝PN．
∵点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴点P的坐标为（m，），
∴PM＝m﹣1，PN＝，
∴m﹣1＝，
解得：m1＝2+2，m2＝2﹣2（舍去）．
∴若点E恰好落在x轴上时，m的值为2+2．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、矩形的面积、全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出点D的坐标；（2）①由△PBD的面积比矩形OABC面积多8，找出关于m的一元二次方程；②利用全等三角形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，找出关于m的方程．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
利用勾股定理可用m表示出OB的长，根据平方的非负数性质即可得答案．
【详解】
∵点B的坐标是(m，m-4)，
∴OB==，
∵(m-2)2≥0，
∴2(m-2)2+8≥8，
∴的最小值为=，即OB的最小值为，
故答案为：
本题考查勾股定理的应用及平方的非负数性质，熟练掌握平方的非负数性质是解题关键．
20、1
【解析】
求出x1,x2即可解答.
【详解】
解：∵x2﹣x＝0，
∴x(x﹣1)＝0，
∵x1＜x2，
∴解得：x1＝0，x2＝1，
则x2﹣x1＝1﹣0＝1．
故答案为：1．
本题考查一元二次方程的根求解，按照固定过程求解即可，较为简单.
21、17
【解析】
地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，平移可得，台阶的宽之和与高之和构成了直角三角形的两条直角边，因此利用勾股定理求出水平距离即可.
【详解】
根据勾股定理，楼梯水平长度为：
＝12米，
则红地毯至少要12＋5＝17米长.
本题考查了勾股定理的应用，是一道实际问题，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，利用平移性质，把地毯长度分割为直角三角形的直角边.
22、.
【解析】
解：∵﹣=2，∴a﹣b=﹣2ab，∴原式====﹣．故答案为﹣．
23、（2，﹣2）或（6，2）
【解析】
分析：设点C的坐标为（x，﹣x+4）．分两种情况，分别以C在x轴的上方、C在x轴的下方做菱形，画出图形，根据菱形的性质找出点C的坐标即可得出D点的坐标．
详解：∵一次函数解析式为线y=﹣x+4，∴B（0，4），A（4，0），如图一．∵四边形OADC是菱形，设C（x，﹣x+4），∴OC=OA==4，整理得：x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，∴C（2，2），∴D（6，2）；
如图二．∵四边形OADC是菱形，设C（x，﹣x+4），∴AC=OA==4，整理得：x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，∴C（6，﹣2），∴D（2，﹣2）；
故答案为（2，﹣2）或（6，2）．

点睛：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质，解题的关键是确定点C、D的位置．本题属于中档题，难度不大，在考虑菱形时需要分类讨论．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、见解析.
【解析】
由已知条件证得四边形AECD是平行四边形，则CE=AD，从而得出CE=CB，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可证得结论.
【详解】
证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形.
本题考查了等腰梯形的性质，等边三角形的判定，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键.
25、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）利用给出的条件证明即可解答.
(2)先求出，再利用对边平行且相等的判定定理进行证明即可解答.
【详解】
（1）四边形是平行四边形，
，．
．
于，于，
，
，，
（2）四边形是平行四边形，
，
，
，且，
，
，且
四边形是平行四边形
本题考查三角形全等的证明和平行四边形的判定，掌握其证明和判定方法是解题关键.
26、（1）详见解析；（2）OA=OB，理由详见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据SSS定理推出全等即可；（2）根据全等得出∠OAB=∠OBA，根据等角对等边即可得出OA=OB．
试题解析：（1）证明：∵在△ADB和△BCA中，AD=BC,AB=BA,BD=AC，
∴△ADB≌△BCA（SSS）；
（2）解：OA=OB，
理由是：∵△ADB≌△BCA，
∴∠ABD=∠BAC，
∴OA=OB．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
甲
乙
丙
丁
平均数（分）
92
95
95
92
方差
3.6
3.6
7.4
8.1